最長的括號子串

最長的括號子串

問題描述

給出一個長度為 n 的，僅包含字符 '(' 和 ')' 的字符串，計算最長的格式正確的括號子串的長度。

示例：

輸入："(())"

輸出：4

解析：對於"(())"來說，最長格式正確的子串是"(())"，所以為4。

分析問題

對於括號匹配問題，最直觀的想法就是采用棧來求解。所以，我們也可以采用棧來求解這道題。具體來說，我們在遍歷給定字符串的過程中，需要始終保證棧底元素為當前已經遍歷過的元素中，最后一個沒有被匹配的右括號的下標，棧中的其它元素維護左括號的下標。

1. 如果遇到的是左括號‘（’，我們就把它的下標放入棧中；
2. 如果遇到的是右括號‘）’，此時有兩種情況；
   • 如果此時棧為空，說明當前的右括號是沒有被匹配的右括號，
   • 如果此時棧不為空，右括號的下標減去棧頂元素即為「以該右括號為結尾的最長有效括號的長度」，然后用它來更新最大值即可。

這里需要注意一點，因為一開始棧為空，如果此時第一個字符為左括號時，我們會將其對應的下標放入棧中，這樣就不滿足棧底始終保存的是最后一個沒有被匹配的右括號的下標這個條件，為了保證該條件成立，我們在開始時需要往棧中放入一個元素-1。

我們以“())(())”為例，來看一下執行過程。

下面我們來看一下代碼實現。

class Solution(object):
    def longestValidParentheses(self, s):
        stack=[]
        n=len(s)
        stack.append(-1)
        maxlen=0
        for i in range(0,n):
            #如果是左括號，將其對應的下標加入棧中
            if s[i]=='(':
                stack.append(i)
            else:
                #如果是右括號，棧頂元素pop出去
                stack.pop()
                if not stack:
                    stack.append(i)
                else:
                    maxlen = max(maxlen, i - stack[-1])

        return maxlen

該算法的時間復雜度和空間復雜度都是O(n)。

動態規划解法

對於求最優解問題，我們一般首先需要考慮的就是動態規划的解法。顯然，求最長的括號子串是最優解問題，所有我們也可以采用動態規划的思想來求解。

首先我們定義dp[i]表示以下標i字符結尾的最長有效括號的長度，初始時數組dp全為0。對於有效的括號子串來說，顯然是以字符‘）’結尾的，因此我們可以知道以‘（’結尾的子串對應的dp值必然為0，所以我們只需要求解字符‘）’在dp數組中對應位置的值即可。

我們從前往后遍歷字符串s。

1. 如果s[i]=‘）’且 s[i-1]=‘（’，也就是字符串是 “....()....()....”的形式，那么我們可以得出狀態轉移方程為dp[i] = dp[i-2] + 2。

2. 如果s[i]=‘）’且 s[i-1]=‘）’，也就是字符串是“.........))...”的形式，此時如果s[i-dp[i-1]-1] = ‘（’，那么

   dp[i] = dp[i-1] + 2 + dp[i - dp[i-1] - 2]

   解釋：如果 s[i-1] 對應的 ‘）’ 是有效子字符串的一部分，我們假設為sub₁，那么它的的長度為dp[i-1]，如果s[i]對應的‘）’是一個更長子字符串的一部分，那么一定有一個對應的‘（’與子相匹配，且它的位置在sub₁的之前。如果sub₁的前面恰好是‘（’，即“ (sub₁) ”的形式，那么dp[i]=dp[i-1] + 2 + dp[i-dp[i-1] - 2] ，其中dp[i-dp[i-1] - 2] 表示字符串“(sub₁)”前面的有效子串的長度，我們需要加上。

下面我們來看一下代碼的實現。

class Solution(object):
    def longestValidParentheses(self, s):
        maxlen=0
        n=len(s)
        dp=[0] * n
        for i in range(1,n):
            #如果s[i]==')'並且s[i-1]=='(',那么dp[i] = dp[i-2]+2
            if s[i]==')':
                if s[i-1]=='(':
                    dp[i] = 2 + (dp[i-2] if i>=2 else 0)
                elif i-dp[i-1]-1 >= 0 and s[i-dp[i-1]-1]=='(':
                    dp[i] = dp[i - 1] + 2 + (dp[i - dp[i - 1] - 2] if i-dp[i-1]>=2 else 0)

                maxlen=max(maxlen,dp[i])
        return maxlen

該算法的時間復雜度是O(n)，空間復雜度也是O(n)。

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