bitset 優化 01 矩乘
這里的矩乘並不狹隘地專指一般矩陣乘法，而可以指所有與一般矩乘一樣具有結合律的二元矩陣運算。
例：定義一種 01 矩陣乘法 \(A\cdot B=C\) 為下面的 C++ 代碼
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
C[i][j] |= A[i][k] & B[k][j];
其中 \(A,B,C\) 都是 01 矩陣。
顯然這種矩乘是具有結合律的，即符合 \((A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)\)
因為是 01 矩陣，可以用 bitset 優化
於是上面的代碼顯然與下面這份等價
std::bitset<N> A[N], B[N], C[N];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
if (A[i][k])
C[i][j] |= B[k][j];
即交換一下 k 與 j 的循環。
仔細一看，發現最后一維枚舉 j 時，A[i][k]不受其影響，同時C[i]與B[k]對齊了
於是利用 bitset 自帶的運算我們可以寫成
std::bitset<N> A[N], B[N], C[N];
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
if (A[i][k])
C[i] |= B[k];
因為 STL 封裝的內部優化肯定比我們自己在外部手寫的優很多
或者更准確地說
時間復雜度從 \(O(n^3)\) 降為了 \(O(n^3/\omega)\) ，其中一般 \(\omega\) 為 32 或 64 ，與計算機位數有關。
一些例題：