對給定的正整數 n，歐拉函數 φ(n) 定義為滿足 1 ≤ k ≤ n 和 gcd(k, n) = 1 的正整數 k 的個數，這里 gcd(k, n) = 1 表示 k 和 n 的最大公約數為 1，即 k 和 n 互素。
由定義易知，φ(n) 對應一個有限集合，記為 S(n) = {k | 1 ≤ k ≤ n, gcd(k, n) = 1, k ∈ N}，φ(n) 便是這個集合的元素的總個數。一個有限集合 S 的元素總個數，簡記為 size(S)。
n = 1 的情形，由定義顯然有 φ(1) = 1.
考慮 n = pm 的情形，這里 p 是素數，m 是正整數，在 1 到 pm 中，能被 p 整除的數有 p、2p、...、pm-1p，共計 pm-1 個，於是有：
φ(n) = pm - pm-1 = pm(1 - 1/p) = n(1 - 1/p)。
考慮 n = uv 的情形，這里 u 和 v 均為正整數，且滿足 gcd(u, v) = 1，此時會有：
φ(uv) = φ(u)φ(v) ①
當 u = 1 或 v = 1 時，① 顯然成立。
下面用映射的方法來證明 ① 在 u > 1、v > 1 的情形下同樣成立。
(I). 對任意一個滿足 1 ≤ k ≤ uv 的正整數 k，存在唯一的正整數對 (s,t)，滿足 1 ≤ s ≤ u，1 ≤ t ≤ v，以及 (s - 1)v + t = k. 事實上，s = [(k - 1) / v] + 1，t = (k mod v) + 1，這里 k mod v 指代 k 被 v 除后的最小非負余數。
(II). 反過來，對任意一個滿足 1 ≤ s ≤ u，1 ≤ t ≤ v 的正整數對 (s,t)，存在唯一的正整數 k，滿足 k = (s - 1)v + t。
用 【n】來表示集合 {1, 2, ..., n}，綜合 (I) 和 (II) ，實際上給出了如下一個雙射（一一映射）：
β: 【u】×【v】→【uv】
對應的函數表達式為：
β(s, t) = (s - 1)v + t，1 ≤ s ≤ u，1 ≤ t ≤ v，s, t ∈ N.
這個雙射甚至不要求 gcd(u, v) = 1，比如 u = 2，v = 4 的情形有：
β(1,1) = 1，β(1,2) = 2，β(1,3) = 3，β(1,4) = 4，
β(2,1) = 5，β(2,2) = 6，β(2,3) = 7，β(2,4) = 8.
用 ψ(n) 表示集合【n】的元素個數，由定義有 ψ(n) = n，顯然有：
ψ(uv) = ψ(u)ψ(v) ②
① 和 ② 有着一樣的形式，② 是非常直觀的，映射 β 的定義域中的全體數對可以排成如下所示的矩陣形式：
(1,1) (1,2) ... (1,v) (2,1) (2,2) ... (2,v) ... 〖A〗 (u,1) (u,2) ... (u,v)
即 n 個數正好可以排成 u 行 v 列，顯然有 n = uv.
而 ① 卻不是那么直觀。
考慮 u、v 互素且 u > 1、v > 1 的情形。假設 v 有 r 個非 1 因數，按從小到大分別記為 v1、v2、...、vr，顯然有 vr = v. 由歐拉函數的定義易知 φ(v) = v - r. 同樣，假設 u 有 q 個非 1 因數，按從小到大分別記為 u1、u2、...、uq，顯然有 uq = u 以及 φ(u) = u - q.
嘗試一：
現在對 β 的定義域和值域做如下對等的裁剪處理：
逐個考察【u】×【v】中的數對 (s,t)，若 gcd(t, v) ≠ 1，則從【u】×【v】中去掉 (s,t)，相應地，把 (s,t) 在 β 上的映像 (s - 1)v + t 從值域【uv】中去掉。
在完成上述的裁剪處理后，實際上得到了一個新的雙射，記為：
η(s, t) = (s - 1)v + t，1 ≤ s ≤ u，1 ≤ t ≤ v 且 t ≠ vi, i=1,2,...,r
映射 η 的定義域的全體數對可以排成如下矩陣形式：
(1,1) ... (1,v1) ... (1,vr-1) ... (1,v) (2,1) ... (2,v1) ... (2,vr-1) ... (2,v) ... (u,1) ... (u,v1) ... (u,vr-1) ... (u,v)
標黃的列為裁剪掉的列，一共為 r 列，裁剪后的矩陣中總元素個數為 u(v - r) = uφ(v).
考察任意一個被裁剪掉的數對 (s, vi), i=1,...,r，這個數對在 β 上的映像為 k = (s - 1)v + vi，顯然 gcd(k, uv) = vi > 1，即 k 不屬於 S(uv).
上述的裁剪處理得到的新雙射，函數表達式並沒有變，只是定義域從【u】×【v】縮減為【u】× S(v)，相應地，【uv】中所有滿足 gcd(k, v) ≠ 1 的 k 都已經排除在新的值域 Y 之外，即有：
η: 【u】× S(v) → Y
η(s, t) = (s - 1)v + t，1 ≤ s ≤ u，1 ≤ t ≤ v 且 t ≠ vi, i=1,2,...,r
綜上易知有，size(Y) = size(【u】× S(v)) = uφ(v).
因為 u > 1，由定義易知 u 不屬於 S(u)，即有 φ(u) < ψ(u) = u，於是
size(Y) = uφ(v) > φ(u)φ(v)
下一步考慮對雙射 η 做某種處理得到一個新的雙射 ρ，使其定義域縮減為 S(u) × S(v)，而值域相應縮減為 S(uv)，① 的證明便告完成。
雙射 η 的定義中，定義域中有 uφ(v) 個正整數對 (s,t)，對應地，值域中有 uφ(v) 個正整數 k。
考慮如下的雙射：
θ: 【u】× S(v) → Z
θ(t, s) = (t - 1)u + s，1 ≤ s ≤ u，1 ≤ t ≤ v 且 t ≠ vi, i=1,2,...,r
這里 (s,t) 的含義做了改變，但這會引發問題。以 u = 5，v = 6 為例對照 η(s, t) 和 θ(t, s) 說明一下：
此時 r = 4，v1 = 2，v2 = 3，v3 = 4，v4 = 6
η(1, 1) = 1，η(2, 1) = 7，η(3, 1) = 13，η(4, 1) = 19，η(5, 1) = 25，
η(1, 5) = 5，η(2, 5) = 11，η(3, 5) = 17，η(4, 5) = 23，η(5, 5) = 29
Y = {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29}
標黃的兩項含有因數 5，待進一步做裁剪處理。
θ(1, 1) = 1，θ(5, 1) = 21，
θ(1, 2) = 2，θ(5, 2) = 22，
θ(1, 3) = 3，θ(5, 3) = 23，
θ(1, 4) = 4，θ(5, 4) = 24，
θ(1, 5) = 5，θ(5, 5) = 25
Z = {1, 2, 3, 4, 5, 21, 22, 23, 24, 25}
雖然，θ 的像集（即 Z）里正好也有兩項含有因數 5，但是 Z ≠ Y.
至此，嘗試一宣告失敗。
嘗試二：
（嘗試一雖然失敗了，但為嘗試二提供了思路）
由上述矩陣〖A〗可知，【uv】中滿足 gcd(k, v) ≠ 1 的正整數 k 有 ur 個，這 ur 個正整數的集合記為 S1；由對稱性，【uv】中滿足 gcd(k, u) ≠ 1 的正整數 k 有 vq 個，這 vq 個正整數的集合記為 S2.
u 有 q 個非 1 因數，v 有 r 個非 1 因數，且 gcd(u,v) = 1，即 u 和 v 沒有共同的非 1 因數，因此【uv】中有 qr 個元素同屬於 S1 和 S2，於是
φ(uv) = uv - ur - vq + qr = (u - q)(v - r) = φ(u)φ(v).
附言：
歐拉函數等式 φ(uv) = φ(u)φ(v) 的映射法證明是在馮承天所著的《從一元一次方程到伽羅瓦理論》里看到的，如下圖所示：
因表述過於簡略，遂有上面的兩次推導嘗試。
在 https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html 上看到一個利用中國剩余定理的證明，如下：
