“需要歸納的原理，通常通過例子呈現。”————千心
本文仍將不斷補充
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維度(Dimension)

在物理學和數學中，數學空間（或對象）的維度被非正式地定義為指定其中任何點所需的最小坐標數。
In physics and mathematics, the dimension of a mathematical space (or object) is informally defined as the minimum number of coordinates needed to specify any point within it.

維度

因此，一條曲線（line）的維數為一 (1D)，因為只需要一個坐標來指定其上的一個點——例如，數軸(number line)上5處的點。平面、圓柱體或球體等曲面的維數為二(2D)，因為需要兩個坐標來指定其上的一個點——例如，需要緯度和經度來定位平面上的一個點。球體的表面。立方體、圓柱體或球體的內部是三維 (3D)， 因為在這些空間中定位一個點需要三個坐標。

在經典力學中，空間和時間是不同的范疇，指的是絕對的空間和時間。這個世界的概念是一個四維空間，但不是描述電磁學所必需的。時空的四個維度 (4D) 由在空間和時間上沒有絕對定義的事件組成，而是相對於觀察者的運動是已知的。閔可夫斯基空間首先近似於沒有引力的宇宙；廣義相對論的偽黎曼流形用物質和引力來描述時空。 10維用於描述超弦理論（6D超空間+4D），11維可以描述超引力和M-理論（7D超空間+4D），量子力學的狀態空間是一個無限維函數空間。

維度的概念不限於物理對象。高維空間經常出現在數學和科學中。它們可能是參數空間或配置空間，例如在拉格朗日或哈密頓力學中；這些是抽象的空間，獨立於我們生活的物理空間。

數學上的例子：二重以上微積分及其應用

統一的微積分基本定理(The Unifying Fundamental Theorem)

微分的算子對在一個區域上的場作用后的積分
等於分配該算子在區域邊界上的場分量的和。

The integral of a differential operator acting on a field over a region
equals the sum of the field components appropriate to the operator over the boundary of the region.

例子

所有的曲線均可用1個參量x模長表示曲線長度，所有的曲面均可用2個參量x叉乘表示曲面面積。對曲面和曲線使用3個維度是冗余的，可以簡化為1個和2個維度。

曲線方程（三維空間下）：\(\int\limits_{C}f(x,y,z)ds = \int_{a}^{b} f(g(t),h(t),k(t))|v(t)|dt\)
將x做參量曲線方程（二維空間同濟數學）：\(\int\limits_{C}f(x,y)ds = \int_{a}^{b} f(x,y(x)){\sqrt{1+{y_x'}^2}} dx\)
曲面方程（三維空間下）：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|r_u\times r_v|dudv\)
將x，y做參量的曲面方程（三維空間同濟數學）：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(x,y,f(x,y))\sqrt{{f_x'}^2+{f_y'}^2+1}dxdy\)

而在二重三重積分轉換坐標系時，因為維度是固定的2與3，無法簡化，需要使用雅各比行列式來計算變化。
格林公式等閉合曲線曲面（可以推廣到閉合流形）無法通過簡單的積分得到，但是可以通過化邊界為區域的方法，簡單地進行計算（閉合的流形，一定可以圈出一個更高維的區域）。

四維及以上情形，微積分的一些原理會發生比較重要的變化。

格林公式及其高維推廣

例題

已知\(L\)是第一象限中從點\((0,0)\)沿圓周\(x^2+y^2=2x\)到點\((2,0)\)，再沿圓周\(x^2+y^2=4\)到點\((0,2)\)的曲線段。計算曲線積分\(I=\int\limits_{L}3x^2ydx+(x^3+x-2y)dy\)

閉合的曲線曲面可以在+1維數以非常簡便的方式運算，同時注意到，曲線積分\(I\)以分量形式，便於通過公式化為+1維度的計算。
但是注意到\(\int\limits_{L}\)的\(L\)是line，而不是\(\oint\limits_{C}\)中\(C\)的circle，所以要將非閉合曲線積分化為閉合曲線積分減去一個非閉合曲線積分的形式。
同時因為方向性得（格林公式）\(I=\oint\limits_{C}3x^2ydx+(x^3+x-2y)dy-\)\(\int_{2}^{0}-2ydy\)=\(\iint_{S}3x^2+1-3x^2dxdy\)-\(\int_{2}^{0}-2ydy\)=\(\frac{\pi}{2}-4\)

Misc

xxx1

物理中的四維特指時間。
所謂閉合的流形，本質上已經形成更高維度一個區域的邊界。

ChangeLog

歡迎討論和批評指正！

• 10月26日 應該不會再更新了，但這篇文章應該會保留下來而不會設置私有。
• 10月28日 補充格林公式及其高維推廣內容。
• 11月01日 補充Misc部分。這塊如果質量太低請聯系我讓我刪除這部分（已修改）。
• 11月07日 添加了統一的微積分基本定理。這里來自於《Thomas Calculus》，其他無法再補充了。Misc部分可能是最冗余的。