CF1601F Two Sorts

CF1601F Two Sorts

給定 \(n\)，將 \(1\sim n\) 按照字典序排序，\(a_i\) 表示第 \(i\) 小的數，求：

\[\left(\sum_{i=1}^{n} ((i-a_i)\bmod 998244353)\right) \bmod 10^9+7 \]

\(1\le n\le 10^{12}\)

Solution

先暴力，我們按照字典序搜索（記 \(\text{cnt}\) 和 \(\text{val}\) 表示第 \(\text{cnt}\) 小的數是 \(\text{val}\)）即可線性。

考慮根號分治（不搜索末 \(6\) 位），我們同樣搜索，處理到 \(\overline {\text{valxxxxxx}}\) 時（假設 \(\overline{\text{val999999}} \le n\)，即沒有任何上界限制），會發現可以快速計算這些值的和。

我們記 \(cnt_{x}\) 表示 \(x\) 的排名，\(cnt'_x\) 表示 \(x\) 在 \(\overline {abcdef}\) （\(0\le a,b,c,d,e,f\le 9\)，即可以有前導零）的排名。

那么， \(cnt_{\overline {\text{valxxxxxx}}}=cnt_{\overline{\text{val}}}+cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}\)，因此可以把貢獻拆成：

\[\left((cnt_{\overline{\text{val}}}-10^6\cdot val)+(cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}-\overline{\text{xxxxxx}})\right) \bmod 998244353 \]

因此，我們可以預處理 \(\overline{\text{xxxxxx}}\) 相關的信息，即 \((cnt'_{\overline{\text{xxxxxx}}}-\overline{\text{xxxxxx}})\)。

由於上述式子是 \((A+B)\bmod P\) 形式，而 \(0\le A,B<P\)，因此值為 \(A+B\) 或 \(A+B-P\)，判斷這個可以通過一個二分解決。

因此，總時間復雜度 \(\mathcal O(\sqrt{n} \log n)\)。

提一句，這個實在太難表述了，所以可以對照代碼閱讀。我的代碼碼量極小，並且是目前的最優解。