數論函數群在數論多項式生成函數集上的作用


數論函數群在數論多項式生成函數集上的作用

導言:本論文的內容是在研究數論中的莫比烏斯反演函數時,由分圓多項式的性質以及分圓多項式與歐拉函數的對應關系所引發的一系列遐想。此文僅為展現其精妙的結構,實際作用暫無。

§1.定義

【定義1.1】數論函數群

數論函數群 \(\mathfrak{f}\) 意味着集合[1]

\[\mathfrak{f}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to\mathbb{Z}\} \]

以及其上的運算 \(*\) (狄利克雷卷積):

\[(f*g)(n)=\sum_{d \mid n}{f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)} =\sum_{d \mid n}{f\left(\frac{n}{d}\right)g(d)}\qquad f,g\in\mathfrak{f},n\in\mathbb{N}^* \]

容易驗證這是一個交換群[2]。單位元為函數 \(e\)

\[e(n)= \left\{ \begin{align*} &1 &&n=1 \\ &0 &&n\neq1 \end{align*} \right. \]

【定義1.2】數論多項式生成函數

​ 稱集合 \(\mathfrak{F}\)

\[\mathfrak{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to \mathbb{Z}[x]\} \]

數論多項式生成函數集。其中的元素 \(F\in\mathfrak{F}\) 稱為數論多項式生成函數

【定義1.3】(幺半)群作用^定義1.3 1.4 出處

​ 設 \(X\) 為集合, \(M\) 為(幺半)群。\(M\)\(X\) 上的作用定義為一個映射

\[a\colon M \times X\to X \]

稱為作用映射,它必須滿足以下性質:
\((\text{i})\) 對所有 \(g,g'\in M\)\(x\in X\) ,有 \(a(g',a(g,x))=a(g'g,x)\) (結合律),
\((\text{ii})\) 對所有 \(x\in X\) ,有 \(a(1,x)=x\)
帶有 \(M\) 作用的集合稱為 \(M\)-集

​ 習慣將 \(M\)-集帶有的作用映射略去,並將 \(a(m,x)\) 寫成 \(m\cdot x\)\(mx\) ,如此作用映射的條件即:

\[m'(mx)=(m'm)x \\ 1\cdot x=x \\ \]

【定義1.4】等變映射^定義1.3 1.4 出處

​ 對於(幺半)群 \(M\)\(M\) 對集合 \(X,Y\) 分別有作用映射 \(a\colon M \times X\to X\)\(b\colon M \times Y\to Y\) 。若兩 \(M\)-集間的映射 \(f\colon X\to Y\) 滿足:

\[f(a(m,x))=b(m,f(x)) \qquad m\in M,x\in X \]

則稱為 \(M\)-等變映射。若將 \(a(m,x)\) 寫成 \(mx\)\(b(m,y)\) 寫成 \(m\times y\),這定義也就是:

\[f(mx)=m\times f(x) \]

§2.作用

—1.證明

【定義2.1】數論函數群在數論多項式生成函數集上的作用

定義 \(\mathfrak{f}\)\(\mathfrak{F}\) 的作用映射 \(a\colon \mathfrak{f}\times\mathfrak{F}\to\mathfrak{F}\) (簡記做 \(\cdot\) )如下:

\[(f\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F(d)^{f\left(\frac{n}{d}\right)}} =\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{f(d)}} \qquad f\in\mathfrak{f},F\in\mathfrak{F},n\in\mathbb{N}^* \]

​ 下面證明其良定。

​ 對於【定義1.3】\((\text{ii})\) ,顯然對任意 \(F\in\mathfrak{F}\)

\[(e\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{e(d)}} =F(n)^1\cdot\prod_{d\mid n,d\neq1}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{0}} =F(n) \]

滿足條件。

​ 對於【定義1.3】\((\text{i})\) ,取 \(f,g\in\mathfrak{f}\)\(F\in\mathfrak{F}\) ,定義:

\[G=g\cdot(f\cdot F)\\ G'=(g*f)\cdot F \]

下證 \(G=G'\) 。根據定義,展開 \(G\)\(G'\)

\[G(n)=(g\cdot(f\cdot F))(n) =\prod_{d\mid n}{(f\cdot F)\left(\frac{n}{d}\right)^{g(d)}} =\prod_{d\mid n}{\left(\prod_{k\mid\frac{n}{d}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)}}\right)^{g(d)}} =\prod_{d\mid n}{\prod_{k\mid\frac{n}{d}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} \]

\[G'(n)=((g*f)\cdot F) =\prod_{k\mid n}{F(k)^{(g*f)\left(\frac{n}{k}\right)}} =\prod_{k\mid n}{F(k)^{\sum_{d\mid\frac{n}{k}}{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} =\prod_{k\mid n}{\prod_{d\mid\frac{n}{k}}{F(k)^{f\left(\frac{n}{dk}\right)g(d)}}} \]

\(d\mid n,k\mid\frac{n}{d}\) 當且僅當 \(k\mid n,d\mid\frac{n}{k}\) ,故上下兩式的兩層枚舉效果相同,所以 \(G=G'\) ,滿足條件。

​ 綜上,我們定義了數論函數群 \(\mathfrak{f}\) 在數論多項式生成函數集 \(\mathfrak{F}\) 上的作用。

—2.應用

​ 定義三個數論多項式生成函數 \(\Sigma,\text{ID},\Phi \in\mathfrak{F}\) 如下:

\[\begin{align*} \Sigma(n) & =\prod_{d\mid n}{(x^d-1)} \\ \text{ID}(n) & =x^n-1 \\ \Phi(n) & =\text{n階分圓多項式}=\prod_{d<n,\gcd(d,n)=1}{\left(x-e^{\frac{d}{n}2\pi i}\right)} \end{align*} \]

以及四個個數論函數(恆一函數、約數個數函數、莫比烏斯反演函數、莫比烏斯函數的自卷積):

\[\begin{align*} \text{i}(n) &= 1 \\ \text{d}(n) &=(\text{i}*\text{i})(n) =\sum_{d\mid n}{1} \\ \mu(n) &= \left\{ \begin{aligned} & 0 && \text{n有非平凡平方因子} \\ & (-1)^k && \text{n的質因子個數為k} \end{aligned} \right. \\ \text{m}(n) &= (\mu*\mu)(n) =\left\{ \begin{aligned} & 0 && \text{n有非平凡立方因子} \\ & (-2)^k && \text{n的非平方質因子個數為k} \end{aligned} \right. \\ \end{align*} \]

其中 \(\text{i}*\mu=e\)\(\text{d}*\text{m}=e\) ,也就是其間有兩對互逆關系。

​ 我們有連等式(上下兩式由如上兩對互逆關系的存在而等價):

\[\begin{matrix} &\Sigma &=& \text{i} \cdot \text{ID} &=& \text{i}\cdot(\text{i}\cdot\Phi) &=& (\text{i}*\text{i})\cdot \Phi &=& \text{d}\cdot \Phi \\ &\Phi &=& \mu\cdot\text{ID} &=& \mu\cdot(\mu\cdot\Sigma) &=& (\mu*\mu)\cdot\Sigma &=& \text{m}\cdot\Sigma \end{matrix} \]

這實則是分圓多項式的性質:

\[x^n-1=\prod_{d\mid n}{\Phi_d(x)}\ ,\ \Phi_n(x) =\prod_{d\mid n}{(x^d-1)^{\mu\left(\frac{n}{d}\right)}} \]

​ 對於三個數論多項式生成函數 \(\Sigma,\text{ID},\Phi \in\mathfrak{F}\) ,可以發現分別與之對應的三個數論函數 \(\sigma,\text{id},\varphi\in\mathfrak{f}\) (約數和函數,恆等函數,歐拉函數):

\[\begin{align*} \sigma(n) & =\prod_{d\mid n}{d} \\ \text{id}(n) & =n \\ \varphi(n) & =\prod_{d<n,\gcd(d,n)=1}{1} \end{align*} \]

它們滿足近似的連等式:

\[\begin{matrix} &\sigma &=& \text{i}\ *\text{id} &=& \text{i}*\text{i}*\varphi &=& \text{d}*\varphi \\ &\varphi &=& \mu*\text{id} &=& \mu*\mu*\sigma &=& \text{m}*\sigma \end{matrix} \]

如果將 \(\mathfrak{f}\) 上的運算看作 \(\mathfrak{f}\) 在自身上的作用(容易驗證這個作用良定),並定義一個 \(\mathfrak{f}\)-等變映射 \(\chi\colon \mathfrak{f}\to\mathfrak{F}\) ,那么如上的兩組連等式相當於說:

\[\chi(\sigma)=\Sigma \ ,\ \chi(\text{id})=\text{ID} \ ,\ \chi(\varphi)=\Phi \]

§3.映射

​ 現在細觀所定義的 \(\mathfrak{f}\)-等變映射 \(\chi\colon \mathfrak{f}\to\mathfrak{F}\) ,由【定義1.4】:

\[\chi(g*f)=g\cdot\chi(f)\qquad f,g\in\mathfrak{f} \]

令其中的 \(f=e\) ,則對任意 \(g\in\mathfrak{f}\) ,有:

\[\chi(g)=\chi(g*f)=g\cdot\chi(e) \]

也就是說,如果定義了 \(\chi(e)\) ,就可以由上式定義出任意 \(g\in\mathfrak{f}\)\(\chi(g)\in\mathfrak{F}\)

​ 反之,對於給定的一組互不矛盾的:

\[F_i=\chi(f_i) \qquad \{f_i\}\in\mathfrak{f},\{F_i\}\in\mathfrak{F} \]

總能解出合適的 \(\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i\) 使其滿足上述一切條件。下面簡單說明其對任意 \(i\) 的一致性:若對於 \(f_i,f_j\in\mathfrak{f}\) ,有 \(f_i=g*f_j\ (g\in\mathfrak{F})\) ,則 \(f_j^{-1}=f_i^{-1}*g\) ,那么:

\[\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i =f_i^{-1}\cdot\chi(g*f_j)=f_i^{-1}\cdot(g\cdot\chi(f_j)) =(f_i^{-1}*g)\cdot F_j=f_j^{-1}\cdot F_j \]

無矛盾。故 \(\chi(e)=f_i^{-1}\cdot F_i\) 良定。

​ 由上,我們就可以根據所需,選取合適的 \(E=\chi(e)\in\mathfrak{F}\) ,從而導出一整套 \(\mathfrak{f}\)\(\mathfrak{F}\) 的對應。例如基於 \(\chi(\text{id})=\text{ID}\) ,定義:

\[E(n)=\chi(e)(n)=(\text{id}^{-1}\cdot\text{ID})(n) =\prod_{d\mid n}{(x^{\frac{n}{d}}-1)^{d\mu(d)}} \]

則容易驗證 §2.—1. 中的 \(\Phi=\chi(\varphi)=\varphi\cdot\chi(e)\ , \ \Sigma=\chi(\sigma)=\sigma\cdot\chi(e)\)

§4.推廣

—1.作用

​ 由於對群作用的證明中只使用了數論函數定義域為自然數這一性質,我們可以自然地做出推廣。

【定義4.1】廣義數論函數群

廣義數論函數群 \(\mathcal{F}\) 意味着集合(其中 \(R\) 為交換環,加、乘法幺元為 \(0,1\) ):

\[\mathcal{F}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to R\} \]

以及其上的運算 \(*\)

\[(f*g)(n)=\sum_{d \mid n}{f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)} =\sum_{d \mid n}{f\left(\frac{n}{d}\right)g(d)} \]

容易驗證這是一個交換群。其單位元為 \(e_f\)

\[e_f(n)= \left\{ \begin{align*} &1 &&n=1 \\ &0 &&n\neq1 \end{align*} \right. \]

【定義4.2】廣義數論生成函數

​ 稱集合 \(\mathscr{F}\) (其中 G 為交換群):

\[\mathscr{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to G\} \]

廣義數論生成函數集。其中的元素 \(F\in\mathscr{F}\) 稱為廣義數論多生成函數

【定義4.3】模^定義4.3 出處

​ 對於交換環 \(R\) (其運算為 \(+\)\(\cdot\) ,乘法幺元為 \(1_R\) )和交換群 \(G\) (其運算為 \(\times\) ),定義映射 \(a\colon R\times M\to M\) ,滿足( \(r,r_1,r_2\in R\,;m,m_1,m_2\in M\) ):

\[a(r,m_1\times m_2)=a(r,m_1)\times a(r,m_2)\\ a(r_1,m)\times a(r_2,m)=a(r_1+r_2,m) \\ a(r_2,a(r_1,m))=a(r_2r_1,m) \\ a(1_R,m)=m \]

則稱 \(M\)\(R\)-模。

【定義4.4】廣義數論函數群在廣義數論生成函數集上的作用:

​ 對於一個廣義數論函數群 \(\mathcal{F}\)

\[\mathcal{F}=\{f \vert f\colon\mathbb{N}^*\to R\} \]

和一個廣義數論生成函數集 \(\mathscr{F}\)

\[\mathscr{F}=\{F \vert F\colon\mathbb{N}^*\to M\} \]

\(M\)\(R\)-模(記 \(a(r,m)\)\(m^r\) ),定義 \(\mathcal{F}\)\(\mathscr{F}\) 的作用映射 \(\mathcal{F}\times\mathscr{F}\to\mathscr{F}\) (簡記做 \(\cdot\) )如下:

\[(f\cdot F)(n)=\prod_{d\mid n}{F(d)^{f\left(\frac{n}{d}\right)}} =\prod_{d\mid n}{F\left(\frac{n}{d}\right)^{f(d)}} \qquad f\in\mathcal{F},F\in\mathscr{F} \]

​ 【定義4.4】的良定性可同 §2.—1. 證明。

—2.對應

​ 如果我們定義 \(\mathcal{F}\) 上的顯然加法:

\[(f+g)(n)=f(n)+g(n)\qquad f,g\in\mathcal{F},n\in\mathbb{N}^* \]

以及 \(\mathscr{F}\) 上的顯然交換乘法:

\[(F\times G)(n)=F(n)\times G(n)\qquad F,G\in\mathscr{F},n\in\mathbb{N}^* \]

此時 \(\mathcal{F}\) 稱為交換環而 \(\mathscr{F}\) 成為交換群,那么可以驗證 \(\mathscr{F}\)\(\mathcal{F}\)-模(模定義中的映射即為作用映射, \(f,g\in\mathcal{F}\,;F,G\in\mathscr{F}\) ):

\[f\cdot(F\times G)=(f\cdot F)\times (f\cdot G) \\ (f\cdot F)\times(g\cdot F)=(f+g)\cdot F \\ g\cdot(f\cdot F)=(g*f)\cdot F \\ e_f\cdot F=F \]

驗證這些僅需展開作用的定義式,並套用模的運算法則即可。

​ 如果我們定義如下映射來表示這些對象間的關系[3]

\[\mathfrak{N} \colon X\to(\mathbb{N}^*\to X)\qquad X\in\mathbf{Set} \\ \text{Mod}\colon R\to M\qquad R\in\mathbf{CRing},M\in \textit{R-}\mathbf{Mod} \]

那么就能得到下圖( \(\mathfrak{N}\) 在此語境下是環同態和模同態):

\[\begin{matrix} & \large R & \xrightarrow{\quad\text{Mod}\quad} & \large M \\ &\quad\left\downarrow \begin{align} \\ \mathfrak{N}\\ \\ \end{align}\right. & &\quad\left\downarrow \begin{aligned} \\ \mathfrak{N}\\ \\ \end{aligned}\right. \\ & \large\mathcal{F} & \xrightarrow{\quad\text{Mod}\quad} & \large\mathscr{F} \end{matrix} \]

這何嘗不是又一種奇妙的對應呢。

§5.問題

  1. 此結構有何作用?是否有更多此結構的有意義的(非為了構造而構造的)實例?
  2. \(\mathfrak{N} \colon X\to(\mathbb{N}^*\to X)\) 中的 \(\mathbb{N}^*\) 能否換成其他集合?換言之是 \(\mathbb{N}^*\) 的什么結構保證了群作用?
  3. 文末的交換圖應用什么結構加以描述?

​ 作者才疏學淺,對如上問題(以及可能存在的更多問題)尚無明確的認知和解答。望有志於此的同人能給出答案或建設性的觀點。

\[\ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \\ \ \mathtt{Square-Circle} : 2021.10.15 \sim 2021.12.12 \ \\ \]



  1. \(\mathbb{N}^*\) 正整數集合; \(\mathbb{Z}\) 整數集合; \(\mathbb{Z}[x]\) 整系數多項式集合。 ↩︎

  2. 事實上它僅僅是幺半群,但我們大部分時候只考慮其可逆的部分。 ↩︎

  3. 全體集合構成的類記作 \(\mathbf{Set}\) ,全體交換環構成的類記作 \(\mathbf{CRing}\) ,全體 \(R\)-模構成的類記作 \(\textit{R-}\mathbf{Mod}\)↩︎


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