點線面位置關系

前言

給定直線 \(a\)和平面\(\alpha\)，若直線在平面內，則表述為\(a\subsetneqq\alpha\)，讀作 直線 \(a\) 在平面 \(\alpha\) 內，此處不按照集合的讀法，讀作直線 \(a\) 真包含於平面 \(\alpha\) .

典例剖析

【2022屆高三文科月考用題】在空間四邊形 \(ABCD\) 的各邊 \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) 上依次取點 \(E\), \(F\), \(G\), \(H\), 若 \(EH\) 、 \(FG\) 所在 直線相交於點 \(P\)， 則【\(\qquad\)】

$A$.點 $P$ 必在直線 $AC$ 上

$B.$點 $P$ 必在直線 $BD$ 上

$C.$點 $P$ 必在平面 $DBC$ 外

$D.$點 $P$ 必在平面 $ABC$ 內

【解答】解：如圖: 連接 \(EH\) 、 \(FG\) 、 \(BD\)，由於\(EH\) 、 \(FG\) 所在直線相交於點 \(P\)，

則點 \(P\in EH\) 且 \(P \in FG\)， 且 \(EH\subsetneqq\) 平面 \(ABD\)， \(FG\subsetneqq\) 平面 \(BCD\)，

故點 \(P\in\) 平面 \(ABD\)， 且 \(P\in\) 平面 \(BCD\)，

由平面 \(ABD\cap\) 平面 \(BCD=BD\)， \(P\in BD\)， 故選： \(B\).

【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】已知\(l\)，\(m\)是空間中兩條不同的直線，\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同的平面，則下列說法一定正確的是【\(\qquad\)】

$A$.若$l//\alpha，\alpha//\beta，m\subset \beta，l\not\subset \beta$，則$l//m$；

$B$.若$\alpha\perp \beta，l//\alpha，m\perp l，m\not\subset \beta$，則$m\perp \beta$；

$C$.若$l//m，m//\alpha，l\perp\beta，l\not\subset \alpha$，則$\alpha\perp \beta$；

$D$.若$l\perp\alpha，m\perp\beta，\alpha\perp \beta$，則$l//m$；

分析：選\(C\)；可以借助長方體模型或正方體模型來判斷線面位置關系；主要使用排除法；

【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，點\(O\)是四邊形\(ABCD\)的中心，關於直線\(A_1O\)，下列說法正確的是【\(\qquad\)】

$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1O\perp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1O\perp平面AB_1D_1$

分析：由於題目中給定點\(O\)是下底面的中心，故我們想到也做出上底面的中心\(E\)，如圖所示，

當連結\(CE\)時，我們就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以說明；

由於\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，則可知\(A_1O//CE\)，

又由於\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故選\(C\)，

此時，我們也能輕松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三個選項是錯誤的。

【數學常識整理儲備】如圖所示的是正方體\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用結論：

(1)體對角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如圖1)

證明：令體對角線\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交點是\(N\)，由正四面體\(B'-ACD'\)可知，

\(N\)是三角形底面的中心，連接\(OD'\)，則易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，

同理\(AD'\perp B'D\)，故體對角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。

(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如圖1，利用等體積法)

(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如圖2)

(4)平面\(ACD'\)與平面\(A'BC'\)的間距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即體對角線的\(\cfrac{1}{3}\)(如圖2)

(5)三棱錐\(B'-ACD'\)是正四面體。三棱錐\(D-ACD'\)是正三棱錐。

(6)如果需要將正四面體或者牆角型的正三棱錐恢復還原為正方體，我們可以先畫出正方體，然后在里面找出需要的正四面體或者牆角型正三棱錐。

(7)圓內接正方形的中心就是圓心，正方形的對角線的長度就是圓的直徑；球內接正方體的中心就是球心，正方體的體對角線的長度就是球的直徑。

(8)正方形的棱長設為\(2a\)，則正方形的內切圓半徑為\(a\)，正方形的外接圓半徑為\(\sqrt{2}a\)，三者的關系之比為\(2:1:\sqrt{2}\)；

正方體的棱長設為\(2a\)，則正方體的內切球半徑為\(a\)，正方體的外接球半徑為\(\sqrt{3}a\)，三者的關系之比為\(2:1:\sqrt{3}\)；

(9)正三角形的棱長設為\(2a\)，則正三角形的內切圓半徑為\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圓半徑為\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的關系之比為\(2\sqrt{3}:1:2\)；

正四面體的棱長設為\(2a\)，則正四面體的內切球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面體的外接球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的關系之比為\(2\sqrt{6}:1:3\)；