性質1 若直線上的兩點在平面內，則直線在平面內
大寫字母表示點 l表示線 α β γ表示面
性質2 不共線的三點確定一個平面
推論1 直線和直線外一點 確定一個平面 例如：相框 三條腿的椅子
利用性質2 的公理證明 推論1 直線上找2點 與直線為的一點 確定一個平面 性質1+性質2
推論2 兩條相交的直線確定一個平面 例如 電腦椅子
交叉點 與不在同一直線的兩點 確定一個平面 性質2+2次性質1
推論3 兩條平行直線確定一個平面 例如滑雪 兩條滑雪板
平行的兩條線確定平面 只需再用性質2證明面的唯一性即可
性質為公理 推論為定理 公理不證明 定理需要證明
性質3 若兩個平面有公共點 則存在唯一的過公共點的交線
P屬於 α P屬於β 存在唯一的l P屬於l α交β=l
性質4 平行於同一直線的兩直線平行 空間平行線的傳遞性
公理： 過直線外一點 有且只有一條直線與已知直線平行 不用證明
等角定理：若兩個角對應邊平行且方向相同 則兩個角大小相等。
三點共線轉化為三線共點 利用性質3 點屬於線 線包含於面 兩面相交於線
求截面 同面延長 到一點 再連接
空間平行關系
1.線線的關系
定義：同一個平面內不相交的兩條直線 平行 為定義
傳遞性： m平行於l l平行與n 則 m n平行
位置：共面中 平行或者相交
異面中
2.線面的關系
定義：直線l與平面 α 無公共點
l平行於 α
傳遞性：兩條直線與同一個平面平行 ，此兩條直線不一定平行 所以傳遞性不成立
l平行與 α m平行於β l不一定平行於m
判定定理：平面外直線與平面內直線平行，則線面平行
m不包含於α n包含於α m平行於n 則可以推出 m平行於α
證明的過程中 定義不好用 而定理好用 所以常用
性質：若線面平行，過直線的平面與原平面相交 直線與交線平行
判定定理為從不知道 到知道
性質定理為已經知道了 然后再運用
如下圖所示 從線線平行運用判定定理可以推出線面平行
從線面平行可以運用性質定理知道 線和過線的平面與面的交線平行
從上圖可以看出線---》面為一維到二維 證明時利用判定定理
面---》線為高維到低維 證明時利用性質定理
3.面面的關系
定義：沒有公共點 α平行於β
傳遞性：α平行於β，β平行於γ，α則平行於γ 成立
判定定理：
直線m，n相交 且m，n平行於平面α m n包含於 β 則β平行於α
推論：線m交n於A 線a交b於B m n分別與a b平行 這 兩個面平行
若一個平面內兩條相交直線分別與另一個平面內直線平行，則面面平行
性質定理：已知面面平行 推出線線平行
如果一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行
證明題：方法假設結論已知，推性質
逆過程就是證明的過程
總結 ：如何“找” 就利用上面的假設成立
線面 面面===》線線平行
1.中位線
2.平行四邊形
3.相似比例
二：垂直關系
1.線線垂直
定義：本身或者平移之后垂直的 都叫做空間中的線線垂直
m⊥n
平面中的線線垂直 兩條直線相交 且夾角為90度 則垂直
異面的直線 平移之后與線相交 且為90度 則垂直
傳遞性：m⊥n n⊥l m不一定⊥l 但是m與l平行或異面
2.線面垂直
定義：直線垂直於平面內任意一條直線 則直線垂直與平民啊
m⊥面α
判定定理：直線垂直與平面內兩條相交直線 則線面垂直
性質定理：兩條線已經垂直於面 則兩條線平行
判定定理的推論：l平行與m l⊥α 可以得出m⊥α
總結：1.倒推分析
2.異面 和共面
3.平移 （ 利用平行四邊形 中位線 等） 線面 互相倒
4.共面 中點考慮三線合一 三角形考慮勾股定理 條件
3.線面垂直
定義：兩個平面相交 第三個平面垂直於交線 與兩個平面相交 兩交線垂直 則面面垂直
α交β=l γ垂直於l γ交α=m γ交β=n m垂直於n 推出α垂直於β
判定定理：一條直線垂直於一個平面 則過這條直線的平面垂直於這個平面
l包含於β l垂直於α 則α垂直於β
性質定理：α垂直於β 兩面交線為m 一個面中的線l垂直於m 則 l 垂直於另一個平面
圖示1
圖示2
