如何理解最小作用量原理

作者：魯班七號
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最小作用量原理在物理學中是作為公理而存在的，也就是說： “依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。 ”英文名為：The principle of least action，當然更確切地應該為：the principle of stationary action。它是變分原理在動力學系統中的應用，可以用來得到體系的運動方程，后面會以具體的例子來說。

• 最小作用量原理的提出
• 極值思想的產生

最小作用量原理具有極為深刻的科學與哲學內涵：最小作用量原理的思想之源，來自與生活中的各種極值的思想，以及自然界中的各種極值現象。 通俗來說，比如：一根兩端固定的懸鏈，其自然下垂的時候重心最低；
熱力學系統平衡時，熵值最大；水珠盡可能的保持球形，在失重的空中，水珠可以保持完美的球形，因為相同體積的物體，球形表面積最小， 等等。
以上種種現象表明，造物主似乎是個精明的經濟學家，他總是盡心設計物理定律使得 “成本 ”最小。很久以前，人們認為這些極值問題僅僅是一些物理定律的偶然結果，可是隨着理論的發展，人們似乎慢慢認識到極值才是宇宙中最本質的定律。在今天，物理學家們已經找到了一種以統一的形式和精確的數學去描述這些極值問題的原理——最小作用量原理。
而人們從心理上也往往比較喜歡極值， 比如學生都想得最高分；買電腦要買性價
比最高的；上班坐公交要坐最省時間的；做生意要求利潤要最高，等等。而最小作用量原理也正是人們在這樣的社會背景下提出的，17 世紀末至18 世紀初，隨着資本主義的發展，經濟因素在人們的思想和行動上產生了很多影響。 人們總想讓社會的生產效率達到最高，經濟效益達到最好。
這使得很多哲學家將自然界的極值與人類社會的極值聯系起來，自然界的極值性和人類的經濟理論，進而發展為自然界的經濟原理。 致使很多大哲學家和科學家開始運用這一思想，尋求自然界的存在形式。 包括牛頓、萊布尼茲、歐拉等人，正是在這
樣的時代背景下，促成了最小作用量原理的創立及其規范化。

• “作用量”的概念

之前人們所提出的自然經濟原理，僅僅是一種感性的、直覺性的認識， 沒有數學的表述， 僅僅這樣，極值思想不能夠發展為一門科學——最小作用量原理。 其原因，
就是我們無法定量的描述作用量，甚至，也沒有對作用量有一個明確的認識和定義。
大多數人剛開始接觸最小作用量原理時，也都有這樣一個疑問，什么是 “作用量 ”，
既然最小作用量原理在各個物理領域都可以運用，那么這個 “作用量 ”又是怎樣定義
的，怎樣尋找的呢？
最初，作用量的提出完全來自於人們的猜測和實驗驗證。但隨着最小作用量原理的發展，以及守恆律、對稱性的理論研究，三者之間的關系也漸漸明朗起來， 1918 年，
E·諾特在題為“變分問題的不變量”論文中提出著名的 “諾特定理 ”，至此，我們已經可以從理論上尋找作用量的數學形式，通過對稱、守恆與最小作用三者之間的關系有效地寫出正確的作用量函數，這種方法進而發展為規范場論。
那么人們最初是怎樣認識作用量的呢？下面我們先看一個簡單的例子：如下圖所示： 一個落水者向岸邊的人求救，假設恰好跨欄冠軍劉翔在此時經過，
救人者劉翔此時往往有兩個選擇： 1、經過 A 點，選取最短路徑，直奔落水者實施救援。 2、經過 B 點，首先迅速跑到離落水者較近的岸邊，然后游泳到落水地點。

那么，這兩種路徑有什么區別呢？
首先，我們要明確一個目的，就是要盡快的將人救出，也就是要求到達落水者地點的時間盡可能的短。在這里，如果說我們運用最小作用量原理來研究此問
題，這里的最小 “作用量 ”就是 “時間 ”。那么為什么不是最短的路程呢？難道最短路程不等於最短時間么？
在人們看來，救人肯定是要求時間最短，而不是路徑最短，所以這里選取時間為作用量，而到達落水點的路徑只有一條是時間最短的，對劉翔來說，其跑步速度肯定遠大於游泳速度。所以，在陸地上奔跑更省時，劉翔盡可能的先跑到離落水者最近的岸邊，再選擇游泳，能更快的到達落水點。所以此時，時間是作用量，而選擇直線的
最短距離，花費的時間反而更長。 也就是由時間最短原理，我們可以得出劉翔唯一的一條運動路徑CBD。
這樣，我們就得出了作用量的概念，並從以上例子中，我們由最小作用量原理得出了唯一的一條滿足時間最短原理的路徑。那么，聯想到自然經濟原理，如果自然界也存在這樣的作用量，那么我們是否也能找到這樣一個作用量，並計算出自然界中物體的運動路徑呢？

• 自然界的最小作用量原理

通過上圖，我們發現，救人者的運動路徑很像光的折射路徑（如下圖，由此，
我們容易類比，難道光也是選擇了時間最短的運動路徑么？其實，很早之前，古代科學家（如公元前 2 世紀的埃及人 Hero）就開始猜想光的傳播遵從最短時間法則。最小作用量原理的第一個成功范例是 1650年法國數學家費馬對光的傳播原理作了一個概括性的敘述：光從空間一點 A 到另一點 B，光沿着所需的時間為極值的路徑傳播。但是，其折射的角度究竟是否對應着最短時間的路徑，還要結合折射定律
以及光在介質中的速度公式進一步計算。折射定律早在 1620 年，就由荷蘭科學家斯涅耳在實驗的基礎上得出了，又由笛卡爾在其《折射光學》中將其表述為：
( 為折射率)

介質中的光速與折射率的關系是由惠更斯在其光的波動理論上給出的，即介質折射率之比等於光在這兩種介質中的速度之比，這也使費馬原理第一次得到了證明（具體方法不再列出）。
在以上的例子中，都是作用量取最小的情況，但是，在費馬原理的表述中，並沒有說光是沿着作用量取最小的路徑傳播的，而是用 “極值 ” 代替了 “最小 ”。這里涉及到了另一個問題，更准確的來講，最小作用量原理，本就應該是極值原理。因為在上面我們就談到了極值思想的產生，這里除了極小值還有極大值。進一步，學過數學中利用導數求極值的方法后就知道，利用函數的一階導數等於零就能得到極值點。
而這個極值點還有可能既不是最大也不是最小，而是曲線的拐點。只是人們在研究此類問題時，遇到的情況更多的是涉及到最小值的，也就有了 “最小作用量原理 ”。

• 變分法與分析力學

在討論光的最小作用量時，用到了一個重要的方法—變分法，變分法作為數學的一個分支，其創立與物理學是分不開的。科學史上第一個變分原理正是幾何光學中的最短時間原理，由法國學者費馬於1662 年提出。 費馬認為 “自然界以最容易的可允許的方法起作用 ”。 他根據對以前由斯涅耳（ Snell) 發現的光的折射定律而提出了這個原理，並證明了折射定律滿足時間最短原理。
而把光的運動與力學中運動問題的首先進行比較的是伯努利（ J.Bernoulli），他所提出的最速降線問題，是變分學發展的標志。變分研究的主要內容是泛函的極值，求泛函極值有關的問題通稱為變分問題。 在其工作中，J.Bernoulli 試圖將力學與光的運動聯系起來，並由此建立折射率的力學理論，盡管他沒有取得令人滿意的結果，但這種思想為以后的 Hamilton 理論及其在其它不同領域的推廣開辟了道路，由此而揭示了最小作用量原理與費馬原理之間驚人的相似（提出費馬原理時，最小作用量原理還沒有得到更廣泛的推廣，后來最小作用量原理多用來描述動力學的原理）。
而后，莫培督最早於1744年提出了最小作用量原理，同年，歐拉發表了《尋求
具有某種極大或極小性質的曲線的方法》，該書為變分法的創立奠定了基礎。而通過把最小作用量原理看作物理學基本原理並進而導出運動方程的傑出工作則主要歸功於 Lagrange和Hamilton。在此之后亥姆霍茲等人對最小作用量原理與能量守恆之間的關系進行了進一步的研究。由此從最初的極值思想到最小作用量原理的引入，體現
了人們對於自然界本質規律的不斷追求。
總之，分析力學的思路是根據最小作用量原理，運用變分法求解粒子的真實運動，拉格朗日力學給力學一種全新的研究思路與方法，也可以說最小用量原理在拉格朗日手中變為一種真正具有可計算的、形象化的物理思想，拉格朗日證明了物體系統的絕大多數結論都能從一個根本性的公式推導出來。這種追求普遍性、簡單性、更深層物理意義的思想也正是科學源自於西方的根本原因。

• 對稱、守恆與最小作用量

根據最小作用量原理，力學系統的作用量 ，全部性質都集中在其拉格朗日函數上，要找到作用量的表達式只需確定拉格朗日函數 即可，將 代入拉格朗日方程就
能求出運動方程，但是 的函數形式是如何確定的呢？在諾特爾定理發現之前，物理學家們在尋找守恆量的時候需要經過不知多少次嘗試，甚至連所研究的物理過程究竟有多少守恆量都不知道，如果這樣，最小作用量原理就不能成為一種很好的物理學研究思想。
幸運的是，對稱與守恆有着一種深刻而神秘的聯系，這一聯系是19世紀的一位女數學家——艾米·諾特爾（ Emmy Noether）發現的，后人將其命名為諾特爾定理：
作用量的每一種連續對稱性都有一個守恆量與之對應。 通過三者之間的關系，可以進行互相推導，進而獲得作用量的表達式。
時間或者空間的均勻性（對稱性）具體的表示出來就是拉格朗日函數 在時間軸平移變換或空間坐標上的變換不變性。拉格朗日函數 反映了力學系統的全部性質，拉格朗日函數 在時間或者空間坐標上的變換不變性，稱為系統對這種變換的不變性，同時有一個守恆量與之對應。
然后我們就知道時間平移對稱性對應於能量守恆，空間平移對稱性對應於動量守恆，空間轉動對稱性對應於角動量守恆等。此外，還有很多對稱、守恆關系，比如鏡像對稱與宇稱守恆；規范場與粒子數守恆等等。這樣，最小作用量原理、對稱、守恆，就聯系起來了：世界的運行滿足最小作用量原理，作用最量的形式受對稱性的約束，對稱性又與某個守恆定律等價。這不是巧合，這是正是物理美的所在，也許總有一個最高的物理准則在統治着所有的物理規律，最小作用量原理的出現給了我們一個很好的啟示。那么能否從最小作用量原理的角度來解讀整個物理學，似乎還存在着一些困難。但是，在現代物理的發展過程中，最小作用量原理在各種物理學領域中更廣泛的應用，使其變為最有可能解讀一切物理規律的最高理論。
下面着重介紹作用量與量子力學的路徑積分法的聯系

• 作用量與量子力學的路徑積分法

最小作用量原理還有一個神奇之處，就是費曼先生曾在他的“最小作用量原理”中做過的闡述：從微分的觀點，粒子的運動是容易理解的。由於粒子受到力的作用，所以它的速度發生了變化，又由於粒子有速度，所以位置也改變了。換言之，每一時刻當粒子獲得一加速度時僅僅知道在該時刻應該做什么。可是如果你講粒子會做出決定以選取將能給出最小作用量的那條路線，這就完全是另一回事了。粒子怎么能知道周圍其他的路線作用量來得要更大呢？或者說粒子會對不同路線的作用量進行比較嗎？答案是肯定的！ 就像光的衍射一樣，當你在光的路徑中放置一些障礙物，以至於光子不能實驗出每一條路徑時，光就無法算出該走哪一條路，也就出現了光的衍射，但這必須用量子力學的觀點來解釋。
量子力學中的路徑積分法是由狄拉克於1933年在一篇“量子力學的拉格朗日函數”的文章中提出，之后由美國科學家理查德·費曼 Richard Feynman（ 1918 年 5 月
11 日-1988 年 2 月 15 日）進一步發展而來。 費曼是一個天才，他對任何事情都不想當然的認為，總是以自己的方式去理解問題的本質，然后對自然界的行為得出一種新穎而深刻的解釋，他討厭死板的灌輸式教育，認為學習就像是一種快樂的游戲，同時他自己又不失幽默感，有人評價他是一個天才，也是一個滑稽的演員。
那么什么是路徑積分法呢？我們知道量子力學已經有了比較成熟的兩種表示方
式，一是薛定諤的波動力學，一是狄拉克的矩陣力學。 傳統的量子力學正是在它否定了粒子的軌道運動之后建立起了自己的完美的理論形式的，在波動力學里，粒子一會兒是波， 一會兒又成了粒子，雖然符合了實驗現象，但這使人完全無法理解。 路徑積分法可以說是量子力學的第三種表示方法，並且比前兩種方法更具優越性。當然，路徑積分法也並非完全是粒子形態的路徑積分，而是場論形式的泛函積分方法。那么這種方法與“粒子會對不同路線的作用量進行比較”有什么關系呢？
當然首先，我們要了解什么是幾率幅和幾率，這是基於波的疊加現象引出的概念，那么按照費曼的路徑積分法，粒子從點1到點2時，由於不確定性關系的影響，將不再只有一條和作用量有關的路徑，而是具有無窮多可能的路徑。
如圖，一個粒子從時刻所處的點1出
發，在時刻到達點2的幾率，等於一個幾率幅的平方。

兩點間每一個可能路線都會對幾率幅有貢獻，而總的幾率幅則是所有這些貢獻之和。對於每個能想象出的軌跡 ，就能得到一個幾率幅，將每條路徑所對應的幾率幅都相加起來，就是粒子到達點2的幾率幅，其平方就是粒子在該點出現的概率。 而其中任意一條路徑對幾率幅的貢獻與量子化的傳播子有關，即：

其中 [ ( )]為作用量，與經典力學的拉格朗日函數相對應，ℏ是由不確定性關系引出的常量，代表了量子力學的特征，那么所有可能路徑的幾率幅之和可表示為：

 

上式中的 為歸一化常數， 的平方即為粒子在終點的幾率，這就是費曼所創立的量子理論的嶄新表述——路徑積分法。將量子力學完全表述為幾率幅的疊加原理，幾率幅作為量子力學的基本特征，而不是非對易關系。
它所描述的粒子運動具有這樣的特征：幾率幅與exp(iS/ℏ)相關， i /ℏ即為幾率幅的相位，作用量 和ℏ的取值對相位的影響很大，也就是對幾率幅疊加的影響很大。假設對所有路線， 都比ℏ大很多，每一路線貢獻一定的幾率幅，對於臨近的一些路徑，相位的變化就以非常巨大與繁多，因此，對於這些路徑貢獻的幾率幅，相互疊加之后都互相抵消了。除了一個區域以外，這個區域就是當一條路徑與其臨近路線在第一次近似上全都會給出同一個相位時（更准確的說，在ℏ范圍內的同一個作用量）。只有這些路線才不會相互抵消。
因此，在宏觀世界中，由於ℏ近似為0，量子現象就過渡到了經典的運動軌跡，這就是最小作用量原理與量子力學的關系， 為作用量，而ℏ被稱為作用量子。也就是說，宏觀世界里，粒子不是沒有嗅探所有路徑，而是由於作用量子趨於0，其它路徑都很容易被疊加抵消了，只有作用量 取得最小值的那一條，沒有其它路徑將其抵消而已。
這與光學中的惠更斯原理相似，不同的是路徑積分法中幾率幅的大小都是相等的，而惠更斯原理中的振幅大小是與距離相關的。
可以說，路徑積分法中 “量子力學的幾率概念並沒有改變 ” ，在《量子力學與路徑積分》這本著作中，費曼開門見山地指出： “所改變了的，並且根本地改變了的，是計算幾率的方法。 ” 但對於幾率幅究竟是怎么一回事，就無人知曉了，對此費曼發出感嘆 “幾率幅幾近不可思議 ” 。

• 對最小作用量原理的討論

在最小作用量原理中，通過選擇不同的作用量幾乎可以建立全部的理論物理學。
最小作用量原理的形成歷史是曲折的，給予 以作用量命名，也反映了物質世界的統一性，更揭示了物理學不同分支之間的統一性。
從最小作用量原理出發，在時問均勻的前提下可以得到能量守恆定律。 若時間不均勻,能量守恆定律的成立問題仍處於研究之中，這種情況在廣義相對論中尤為突出。
在廣義相對論中， 時空彎曲、時間非均勻、引力能無法局域化， 廣義相對論中能量守恆問題至今還未得到解決。 作用量S或許比能量概念更為重要。 能量反映了各種運動之間相互轉化的共同量度，作用量則反映各種運動過程必須滿足的共同性質，作用量的量綱是[能量·時間]，是能量與時間的統一。 為此，我們可以認為能量僅反映了作用量中的一部分聯系。
在量子力學中，有一個作用量常數(即普朗克常數) ，給出了粒子性與波動性之間的聯系，成為物理世界統一性的橋梁。在規范場(或相位因子場)路徑積分表達式中，常數 起着重要作用，它決定波函數相角的大小。 物理學中的任何一種基本力總是對應着相應的規范場，可見，力與常數 相關聯。 我們認為，將 命名為作用量就是因為 將力、能量兩概念聯系起來了，成為描寫物質世界相互作用的一個最為重要的物理量。
然而，盡管人們做出了艱苦努力，但仍未從最小作用量原理滿意地推導出熱力學定律。 其原因可能是，熱力學是研究大量微觀粒子組成的宏觀系統，存在熱效應。熱
力學過程是不可逆過程，存在耗散因素，時間具有不對稱性。正如普朗克斷定，作為
建立統一的世界物理圖景之基礎的最小作用量原理，是所有可逆過程的普遍原理。 本世紀60年代以來，非線性科學(如混沌學)成為舉世矚目的科學熱點。混沌學揭示出系統固有地存在內在隨機性，它給牛頓力學又加以新的限制，事實上牛頓力學對多體問題無從下手。 如此看來，最小作用量原理在非線性科學中將會受到限制。
愛因斯坦指出，一切科學發現的偉大目標在於 “尋找一個能把觀察到的事實聯系在一起的思想體系，它將具有更大可能的簡單性。 ”最小作用量原理不僅幾乎把已知的事實，而且也將未知的事實納入到一個思想體系中，其簡單、優美，其具有高度的抽象性，又不失各種形象化的案例，在物理規律總又具有高度的統一性，最小作用量原理無疑已成為物理學的最高理論。
參考資料：最小作用量原理及其應用—秦偉