二端口網絡分析基礎(一)


一、輸入&輸出阻抗

如圖1所示的二端口網絡,$Z_i$、$Z_o$分別為輸入輸出阻抗,由歐姆定律:

輸入阻抗:

$z_i=\frac{{\dot{E}}_i}{{\dot{I}}_i} $(歐姆,Ω)

輸出阻抗:

$z_0=\frac{{\dot{E}}_0}{{\dot{I}}_v}\left|{\atop{\dot{E}}_i=0V}\right.$(歐姆,Ω)

 

                                                  圖1

二、空載&有載電壓增益

如圖2所示,二端口網絡的電壓增益為:

${\dot{A}}_{v_{NL}}=\frac{{\dot{E}}_o}{{\dot{E}}_i}$

                圖2

 如圖三所示為有載電壓增益:

${\dot{A}}_v=\frac{{\dot{E}}_0}{{\dot{E}}_i}\left|{\atop\ni R_L}\right.$ 

考慮電壓源的內阻,即總的電壓增益為:

 ${\dot{A}}_{v_T}=\frac{{\dot{E}}_o}{{\dot{E}}_g}$

由於信號源在內阻上的損耗,電壓增益${\dot{A}}_{v_T}$總是小於有載電壓增益${\dot{A}}_v$或無載電壓增益${\dot{A}}_{v_{NL}}$。

 

                  圖3

由上式可整理:

${\dot{A}}_{v_T}=\frac{{\dot{E}}_o}{{\dot{E}}_g}=\frac{{\dot{E}}_o}{{\dot{E}}_{\dot{i}}}·\frac{{\dot{E}}_i}{{\dot{E}}_g}$

${\dot{A}}_{v_T}=\dot{A}v·\frac{{\dot{E}}_i}{{\dot{E}}_g}$(有載)

${\dot{A}}_{v_T}={\dot{A}}_{v_{NL}}\frac{{\dot{E}}_i}{{\dot{E}}_g}$(空載)

${\dot{E}}_i$為輸入阻抗$z_i$上的電壓,可以由圖三得出${\dot{E}}_i$與${\dot{E}}_g$的關系:

${\dot{E}}_i=\frac{Z_i{\dot{E}}_g}{Z_i+R_g}$

$\frac{{\dot{E}}_i}{{\dot{E}}_g}=\frac{Z_i}{Z_i+R_g}$

代入增益:

${\dot{A}}_{v_T}=\dot{A}v\frac{Z_i}{Z_i+R_g}$(有載)

${\dot{A}}_{v_T}={\dot{A}}_{v_{NL}}\frac{Z_i}{Z_i+R_g}$(空載)

無負載二端口網絡等效模型如圖四,$Z_i$和$Z_o$大多為純電阻,$Z_i$和$Z_o$有電抗分量時,此等效電路依然適用,在添加了負載$R_L$后如圖五。

                 圖4                                 圖5

 

 

應用分壓定律:

${\dot{E}}_o=\frac{R_L\left({\dot{A}}_{v_{NL}}{\dot{E}}_i\right)}{R_L+R_o}$

${\dot{A}}_v=\frac{{\dot{E}}_0}{{\dot{E}}_i}={\dot{A}}_{v_{NL}}\frac{R_L}{R_L+R_o}$

由上式可得,對於固定的輸出電阻$R_o$,負載$R_L$越大,有載增益越接近無載增益。

實驗確定輸出電阻$R_o$的方法:

${\dot{A}}_v=\frac{R_L}{R_L+R_0}{\dot{A}}_{v_{NL}}$

整理得:

$R_0=R_L\left(\frac{{\dot{A}}_{v_{NL}}}{{\dot{A}}_v}-1\right)$

由上式知求得無載增益${\dot{A}}_{v_{NL}}$和有載增益${\dot{A}}_v$就可以求得輸出電阻$R_0$。

三、電流增益

二端口網絡的電流增益通常用電壓計算,不能夠定義電流增益,由於${\dot{I}}_o=0/R_L=0A$得${\dot{A}}_i={\dot{I}}_o/I_i=0$。

 

                      圖6

如圖六所示的有載二端口網絡:

${\dot{I}}_o=-\frac{{\dot{E}}_o}{R_L}$

${\dot{I}}_i=\frac{{\dot{E}}_i}{Z_i}$

有載電流增益:

${\dot{A}}_i=\frac{{\dot{I}}_o}{{\dot{I}}_i}=\frac{-{\dot{E}}_o/R_L}{{\dot{E}}_i/Z_i}=-\frac{{\dot{E}}_o}{{\dot{E}}_i}\left(\frac{Z_i}{R_L}\right)$

即:

${\dot{A}}_i=-{\dot{A}}_v\frac{Z_i}{R_L}$

由上式知,要計算有載電流增益,可以通過有載電壓增益和$Z_i/R_L$計算出電流增益。

計算總的電流增益${\dot{A}}_{i_T}=I_o/I_g$

${\dot{I}}_0=-\frac{{\dot{E}}_o}{R_L},{\dot{I}}_i=\frac{{\dot{E}}_g}{Rg+Z_i}$

${\dot{A}}_{i_T}=\frac{{\dot{I}}_o}{Ig}=-\frac{{\dot{E}}_o/R_L}{{\dot{E}}_g/\left(R_g+Z_i\right)}=-\left(\frac{{\dot{E}}_0}{{\dot{E}}_g}\right)\left(\frac{Rg+Z_i}{R_L}\right)$

即:

${\dot{A}}_{i_T}=\frac{{\dot{I}}_o}{{\dot{I}}_g}=-{\dot{A}}_{v_T}\left(\frac{R_g+Z_i}{R_L}\right)$

由於${\dot{I}}_g={\dot{I}}_i$,其實${\dot{A}}_i$與${\dot{A}}_{i_T}$是一樣的。

使用銘牌上的空載電壓增益和輸入輸出電阻,計算有載電流增益:

 

                圖7 

 如圖七,由歐姆定律:

${\dot{I}}_o=-\frac{\dot{A}v_{NL}{\dot{E}}_i}{R_L+R_o}$

${\dot{E}}_i={\dot{I}}_iR_i$

即:

${\dot{I}}_o=-\frac{\dot{A}v_{NL}\left({\dot{I}}_iR_i\right)}{R_L+R_o}$

 

得:

${\dot{A}}_i=\frac{{\dot{I}}_o}{I_i}=-{\dot{A}}_{v_{NL}}\frac{R_i}{R_L+R_o}$

由上式知:$R_L$越大放大器得有載電流增益越小。

四、功率增益

計算圖7的功率增益:

$A_G=\frac{P_o}{P_i}=\frac{E_o^2/R_L}{E_i^2/R_i}=\left(\frac{E_o}{E_i}\right)^2\frac{R_i}{R_L}$

$A_G=\left|{\dot{A}}_v\right|^2\frac{R_i}{R_L}$

展開

$A_G=\left|{\dot{A}}_v\right|\left|{\dot{A}}_v\frac{R_i}{R_L}\right|=\left|{\dot{A}}_v\right|\left|{\dot{A}}_i\right|$

得:

$A_G=\left|{\dot{A}}_v\right|\left|{\dot{A}}_i\right|$

將$\dot{A}v=-{\dot{A}}_iR_L/R_i$帶入上式得:

$A_G=\left|{\dot{A}}_v{\dot{A}}_i\right|=\left|\frac{{\dot{A}}_iR_L}{R_i}{\dot{A}}_i\right|=\left|{\dot{A}}_i\right|^2\frac{R_L}{R_i}$

$A_G=\left|{\dot{A}}_i\right|^2\frac{R_L}{R_i}$

總得功率增益為:

$A_{G_T}=\frac{P_L}{P_g}=\frac{E_o^2/R_L}{E_gI_g}=\frac{E_o^2/R_L}{E_g^2/\left(R_g+R_i\right)}=\left(\frac{E_o}{E_g}\right)^2\left(\frac{R_g+R_i}{R_L}\right)$

$A_{G_T}=\left|{\dot{A}}_{v_T}\right|^2\left(\frac{R_g+R_i}{R_L}\right)$

展開:

$A_{G_T}=\left|{\dot{A}}_{v_T}\right|\left(\left|\dot{A}v_T\right|\frac{R_g+R_i}{R_L}\right)$

得:

$A_{G_T}=\left|{\dot{A}}_{v_T}\right|\left|{\dot{A}}_{i_T}\right|$

五、二端口網絡級聯

計算二端口網絡相關參數時:級聯網絡的公式要使用每一級的有載電壓增益和電流增益,不是手冊上的空載增益。

 

                                           圖八 

 

圖八所示,總的電壓與電流增益(有載):

${\dot{A}}_{v_T}=\dot{A}v_1\cdot{\dot{A}}_{v_2}\cdot{\dot{A}}_{v_3}$

${\dot{A}}_{i_T}={\dot{A}}_{i_1}\cdot{\dot{A}}_{i_2}\cdot{\dot{A}}_{i_3}$

任意兩級間的電壓增益:

${\dot{A}}_i=-{\dot{A}}_v\frac{Z_i}{R_L}$

如圖八所示的3級放大器有:

由:

${\dot{A}}_i=-{\dot{A}}_v\frac{Z_i}{R_L}$

得前兩級電流增益:

${{\dot{A}}_i}^\prime=-{\dot{A}}_v^\prime\frac{Z_{i_1}}{Z_{i_3}}$

式中:

${\dot{A}}_i^\prime=\frac{{\dot{I}}_{o_2}}{{\dot{I}}_{i_1}},{\dot{A}}_v^\prime=\frac{{\dot{E}}_{o_2}}{{\dot{E}}_{i_1}}$

級聯網絡得總功率為:

$A_{G_T}=\left|{\dot{A}}_{v_T}\right|\cdot\left|{\dot{A}}_{i_T}\right|$

特定兩級之間得功率增益為每一級電壓和電流增益得乘積,對於上圖的前兩級:

$A_G^\prime=\left|{\dot{A}}_{v_2}^\prime\right|\left|{\dot{A}}_{i_2}^\prime\right|$

其中:

${\dot{A}}_{v_2}^\prime={\dot{A}}_{v_1}\cdot{\dot{A}}_{v_2},{\dot{A}}_{i_2}^\prime={\dot{A}}_{i_1}\cdot{\dot{A}}_{i_2}$

 


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