導數章節題型和思維導圖

思維導圖

• 利用 mermaid 制作的思維導圖，用純文字繪制思維導圖；

graph LR A[(導數及
其應用)] --> B[導數概念和運算]; B--> B1[導數的概念]; B1--> B6[平均變化率
類比平均速度]; B1--> B7{{瞬時變化率
也叫導數
類比瞬時速度}}; B--> B2[公式法求導數]; B--> B3[導數的運算法則]; B--> B4[復合函數的求導]; A --> C[導數幾何意義及應用]; C--> C1[求切線方程]; C1--求導得斜率
點斜式寫切線方程--> C4{{求在點處的切線}}; C1--設切點求切點
注意高次方程的求解--> C5{{求過點處的切線}}; C--> C2[求切點坐標/斜率等]; C--> C3[求參數值或取值范圍]; C3--轉化為二次函
數有兩個實根--> C6[過某點有兩條切線求參數]; C3--利用三個斜率
相等建立方程--> C7[已知公切線求參數]; A --> D[(用導數工
具研究函
數性質)]; D --> D1[相關知識儲備] D1 --> E1>函數的單調性與導函數的關系] D1 --> E2[利用導數判斷函數單調性的一般步驟] D1 --> E3>利用導數研究函數極值的步驟] D1 --> E4[利用導數研究函數最值的步驟] D --> D2[圖象類題目
的考查] D2 --原函數的增減
對應導函數
的正負--> F1[利用原函數的圖象確定導函數的圖象] D2 --導函數的正負
對應原函數
的增減--> F2[利用導函數的圖象確定原函數的圖象]

graph LR B[(用導數工具
研究函數
性質)] B-->A[其他類型
的函數] B---> C[(對三次函數
的研究考查)] C--> D[三次函數
有極大值和極小值] D--> D1[二次的導函數有兩個變號零點,
對應的二次方程有兩個不同的
實根,即其判別式大於零] C--> E[三次函數
與x軸有三個不同的交點] E--> D2[函數的極大值與極小值異號] C--> F[三次函數
恰有三個單調區間] F--> D1 C--> M[三次函數與x軸
恰有一個交點] M--> L[函數是單調函數
或函數的極大值
和極小值同號] C--> G[三次函數
沒有極值或極值點] G--> G1[三次函數
是單調函數] C--> H[三次函數
是單調函數] H--> H1[二次導函數
恆為非正或
恆為非負,
即其判別式
小於等於零] G1--> H1 C--> I[三次函數
不是單調函數,
必有三個單調區間] I--> I1[二次導函數
有變號零點,
或二次導函數
方程有穿根解] I--> I2[可先求函數單
調時的取值范圍,
再求其補集即可] style C fill:#bbf,stroke:#f66,stroke-width:2px,color:#fff,stroke-dasharray: 5 5; click C href "https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/5906951.html" _blank;

典例剖析

已知曲線 \(C: y=x \mathrm{e}^{x}\) 過點 \(A(a, 0)\) 的切線有且僅有兩條，則實數\(a\)的取值范圍是【\(\qquad\)】

$A.(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$ $B.(0,+\infty)$ $C.(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ $D.(-\infty,-1)$

解：對函數 \(y=xe^{x}\) 求導得， \(y'=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=(1+x)e^{x}\)，

設切點坐標為 \(P\left(x_{0}, x_{0}{e}^{x}\right)\),

則曲線 \(y=xe^{x}\) 過點 \(A(a, 0)\) 的切線的斜率 \(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}\)

又經過點\(A(a,0)\)和切點\(P\)的直線的斜率為\(k=\cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a}\)，

由於是同一條直線，故\(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}=\cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a}\)，

[備注：上述方程的兩邊同時約去\(e^{x_0}\)，這樣原來的超越方程就變化為代數方程，]

分式化整式，化簡得到 \(x_{0}^{2}-a x_{0}-a=0\)，依題意知，

上述關於\(x_{0}\)的二次方程有兩個不相等的實數根由於此方程有兩個不相等的實根，故由\(k=\left(1+x_{0}\right)e^{x}_{0}\)就能得到兩個不同的斜率，結合點\(A(a,0)\)，則能得到兩條不同的切線，從而滿足過點\(A(a,0)\)的切線有且僅有兩條；，

所以\(\Delta =(-a)^{2}-4\times1\times(-a)>0\)， 解得 \(a<-4\) 或 \(a>0\)， 故選 \(A\) .

已知函數\(f(x)=x^3+ax^2+(a+6)x+1\)有極大值和極小值，則\(a\)的取值范圍是【\(\qquad\)】

$A.-1< a <2$ $B.-3< a <2$ $C.a<-1或a>2$ $D.a<-3或a>6$

分析：由題可知，\(f'(x)=3x^2+2ax+(a+6)\)，

因為函數有極大值和極小值，所以方程 \(f'(x)=0\) 有兩個不相等的實數根,

即 \(3x^2+2ax+(a+6)=0\) 有兩個不相等的實數根， 即\(\Delta>0\)，則\((2a)^2-4\times 3\times(a+6)>0\)，

解得: \(a<-3\)或\(a>6\)，故選 \(D\)。

[解后反思] 本題考查導數在求函數極值的應用，將函數有極大值和極小值，轉化為方程 \(f^{\prime}(x)=0\) 有兩個不相等的實數根是解題的關鍵。

若函數\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a\) 的圖像與 \(x\) 軸有三個不同的交點，則實數\(a\) 的取值范圍是___________.

分析：由於\(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)，

故當\(x\in (-\infty,-1)\)和\((3,+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，

當\(x\in(-1,3)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\) 單調遞誠，

故\(f(x)_{\text{極大}}=f(-1)=\cfrac{5}{3}-3a\)， \(f(x)_{\text{極小}}=f(3)=-9-3a\),

又\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a\) 的圖像與 \(x\) 軸有三個不同的交點，

所以 \(\left\{\begin{array}{l}\cfrac{5}{3}-3a>0\\-9-3a<0\end{array}\right.\)，解得\(a\in(-3, \cfrac{5}{9})\).

[解后反思]：函數的零點個數問題或方程解的個數問題，可借助函數的導數符號，得到函數的單調性，再數形結合求得參數的取值范圍。

【2020高三文數訓練題】若函數\(f(x)=ax^{3}+3x^{2}-x\) 恰好有三個單調區間，則實數\(a\)的取值范圍是_____________.

解析：由題意知 \(f'(x)=3ax^{2}+6x-1\)，

由函數 \(f(x)\) 恰好有三個單調區間，

得\(f'(x)\)有兩個不相等的變號零點，

故需滿足\(a \neq 0\)，且 \(\Delta=36+12a>0\)，

解得\(a>-3\)，所以實數 \(a\) 的取值范圍是 \((-3,0) \cup(0,+\infty)\)，

故答案 \(:(-3,0) \cup(0,+\infty)\)

延申閱讀

導數中的常見題型和破解思路01

導數中的常見題型和破解思路02