Ch1.質點振動學
1.1質點振動系統的概念
集中參數系統：質量塊的質量認為是集中在一點的，構成整個振動系統的質量塊與彈簧的運動狀態都是均勻的。
1.2質點的自由振動
| \(M_{m}\) | 堅硬物體的質量 |
| \(K_{m}\) | 彈簧的彈性系數或勁度系數 |
| \(F_{k}\) | 質點\(M_{m}\)上受到的彈簧彈力 |
| \(C_{m}\) | 彈簧的順性系數或力順 |
| \(\xi\) | 質點離開平衡位置的位移 |
| \(\xi_{a}\) | \(\xi\)的振幅，位移振幅 |
| \(\xi_{st}\) | 彈簧\(K_{m}\)在重力\(M_{m}g\)作用下產生的靜位移 |
| \(\omega_{0}\) | 振動圓頻率或角頻率 |
| \(\varphi_{0}\) | 振動起始時刻的相位 |
1.2.1自由振動方程
胡克定律：\(F_{k}=-K_{m}\xi\)
牛頓第二定律：\(M_{m}\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}=-K_{m}\xi\)
引入一個參量振動圓頻率\(\omega_{0}\)，改寫：\(\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}\xi=0\)
上式稱為質點的自由振動方程
自由振動的頻率公式：\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}}{M_{m}}}\),稱為系統的固有頻率
降低固有頻率的兩個方法：1）增加系統的質量2）減少系統的彈性系數
彈簧質量對系統固有頻率的影響
- 能量守恆定律：\(E=E_{k}+E_{p}=C\)
- \(E_{p}=\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}\)
- \(E_{k}=E_{km}+E_{ks}\)
- \(E_{km}=\frac{1}{2}M_{m}v^{2}\)
- \(dE_{ks}=\frac{1}{2}(M_{s}\frac{dx}{l})(v\frac{x}{l})^{2}\)
- \(E_{ks}=\int dE_{ks}=\frac{1}{2}\int_{0}^{l}(\frac{M_{s}}{l^{3}}v^{2})x^{2}dx=\frac{1}{6}M_{s}v^{2}\)
- \(\frac{1}{2}(M_{m}+\frac{M_{s}}{3})v^{2}+\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}=0\)
- \((M_{m}+\frac{M_{s}}{3})\frac{d\xi^{2}}{dt^{2}}+K_{m}\xi=0\)
- \(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}}{M_{m}+\frac{M_{s}}{3}}}\)
- 即系統的總質量除了質量塊的質量外，還附加了1/3的彈簧質量
考慮了彈簧質量后，固有頻率變低
求系統的固有頻率
質點靜態平衡：\(M_{m}g-K_{m}\xi_{st}=0\)
固有頻率的另一種表達式：\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt\frac{g}{\xi_{st}}\)
如果我們測出了系統的靜位移\(\xi_{st}\)就無需再知道系統的固有參量\(M_{m}、K_{m}\)
1.2.2自由振動的一般規律
質點的自由振動方程———對時間t的齊次二階常微分方程
其一般解應是兩個簡諧函數的線性疊加\(\xi=Acos\omega_{0}t+Bsin\omega_{0}t\)
也可以寫為：\(\xi=\xi_{a}cos(\omega_{0}t-\varphi_{0})\)，其中\(A=\xi_{a}cos\varphi_{0},B=\xi_{a}sin\varphi_{0},\varphi_{0}=arctan\frac{B}{A},\xi_{a}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\)，表示簡諧振動
知道了位移，也可以求振動速度\(v=\frac{d\xi}{dt}=v_{a}sin(\omega_{0}t-\varphi_{0}+\pi)\)，其中\(v_{a}=\omega_{0}\xi_{a}\)
若初始條件\(\xi_{(t=0)}=0,v=(\frac{d\xi}{dt})_{(t=0)}=v_{0}\)
則質點的位移與速度為\(\xi=\xi_{a}cos(\omega_{0}t-\frac{\pi}{2}),v=v_{a}cos\omega_{0}t\)，其中\(\xi_{a}=\frac{v_{a}}{\omega_{0}},v_{a}=v_{0}\)
1.2.3自由振動的能量
能量保守系統
外部給予系統的能量，只有初動能：\(E_{0}=\frac{1}{2}M_{m}v_{0}^{2}\)
系統的位能\(E_{p}=\int_{0}^{\xi}K_{m}\xi d\xi=\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}\)
系統所具有的動能\(E_{k}=\frac{1}{2}M_{m}v^{2}\)
系統的總振動能\(E=E_{p}+E_{k}=\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}+\frac{1}{2}M_{m}v^{2}=\frac{1}{2}K_{m}\xi_{a}^{2}cos^{2}(\omega_{0} t-\varphi_{0})+\frac{1}{2}M_{m}\omega_{0}^{2}\xi_{a}^{2}sin^{2}(\omega_{0} t-\varphi_{0})=\frac{1}{2}K_{m}\xi_{a}^{2}=\frac{1}{2}M_{m}v_{a}^{2}\)
已知有\(v_{a}=v_{0}\)，證得\(E=E_{0}\)
1.2.4雙彈簧串聯與並聯系統的振動
雙彈簧串聯
\(M_{m}g=K_{1m}\xi_{1st}=K_{2m}\xi_{2st}\)
\(\xi_{st}=\xi_{1st}+\xi_{2st}\)
\(\xi_{st}=M_{m}g(\frac{1}{K_{1m}}+\frac{1}{K_{2m}})=M_{m}g\frac{1}{K_{m}^{'}}\)，其中\(K_{m}^{'}=\frac{K_{1m}K_{2m}}{K_{1m}+K_{2m}}\)
\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\xi_{st}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}^{'}}{M_{m}}}\)
若兩個相同的彈簧串聯，可使系統的彈性減少一半，固有頻率降低\(\sqrt{2}\)倍
雙彈簧並聯
\(M_{m}g=K_{1m}\xi_{st}+K_{2m}\xi_{st}\)
\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\xi_{st}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}^{''}}{M_{m}}}\)其中\(K_{m}^{''}=K_{1m}+K_{2m}\)
若兩個相同的彈簧並聯，可使系統的彈性比單根時增加一倍，固有頻率增加\(\sqrt{2}\)倍