Ch1.质点振动学
1.1质点振动系统的概念
集中参数系统：质量块的质量认为是集中在一点的，构成整个振动系统的质量块与弹簧的运动状态都是均匀的。
1.2质点的自由振动
| \(M_{m}\) | 坚硬物体的质量 |
| \(K_{m}\) | 弹簧的弹性系数或劲度系数 |
| \(F_{k}\) | 质点\(M_{m}\)上受到的弹簧弹力 |
| \(C_{m}\) | 弹簧的顺性系数或力顺 |
| \(\xi\) | 质点离开平衡位置的位移 |
| \(\xi_{a}\) | \(\xi\)的振幅，位移振幅 |
| \(\xi_{st}\) | 弹簧\(K_{m}\)在重力\(M_{m}g\)作用下产生的静位移 |
| \(\omega_{0}\) | 振动圆频率或角频率 |
| \(\varphi_{0}\) | 振动起始时刻的相位 |
1.2.1自由振动方程
胡克定律：\(F_{k}=-K_{m}\xi\)
牛顿第二定律：\(M_{m}\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}=-K_{m}\xi\)
引入一个参量振动圆频率\(\omega_{0}\)，改写：\(\frac{d^{2}\xi}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}\xi=0\)
上式称为质点的自由振动方程
自由振动的频率公式：\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}}{M_{m}}}\),称为系统的固有频率
降低固有频率的两个方法：1）增加系统的质量2）减少系统的弹性系数
弹簧质量对系统固有频率的影响
- 能量守恒定律：\(E=E_{k}+E_{p}=C\)
- \(E_{p}=\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}\)
- \(E_{k}=E_{km}+E_{ks}\)
- \(E_{km}=\frac{1}{2}M_{m}v^{2}\)
- \(dE_{ks}=\frac{1}{2}(M_{s}\frac{dx}{l})(v\frac{x}{l})^{2}\)
- \(E_{ks}=\int dE_{ks}=\frac{1}{2}\int_{0}^{l}(\frac{M_{s}}{l^{3}}v^{2})x^{2}dx=\frac{1}{6}M_{s}v^{2}\)
- \(\frac{1}{2}(M_{m}+\frac{M_{s}}{3})v^{2}+\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}=0\)
- \((M_{m}+\frac{M_{s}}{3})\frac{d\xi^{2}}{dt^{2}}+K_{m}\xi=0\)
- \(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}}{M_{m}+\frac{M_{s}}{3}}}\)
- 即系统的总质量除了质量块的质量外，还附加了1/3的弹簧质量
考虑了弹簧质量后，固有频率变低
求系统的固有频率
质点静态平衡：\(M_{m}g-K_{m}\xi_{st}=0\)
固有频率的另一种表达式：\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt\frac{g}{\xi_{st}}\)
如果我们测出了系统的静位移\(\xi_{st}\)就无需再知道系统的固有参量\(M_{m}、K_{m}\)
1.2.2自由振动的一般规律
质点的自由振动方程———对时间t的齐次二阶常微分方程
其一般解应是两个简谐函数的线性叠加\(\xi=Acos\omega_{0}t+Bsin\omega_{0}t\)
也可以写为：\(\xi=\xi_{a}cos(\omega_{0}t-\varphi_{0})\)，其中\(A=\xi_{a}cos\varphi_{0},B=\xi_{a}sin\varphi_{0},\varphi_{0}=arctan\frac{B}{A},\xi_{a}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\)，表示简谐振动
知道了位移，也可以求振动速度\(v=\frac{d\xi}{dt}=v_{a}sin(\omega_{0}t-\varphi_{0}+\pi)\)，其中\(v_{a}=\omega_{0}\xi_{a}\)
若初始条件\(\xi_{(t=0)}=0,v=(\frac{d\xi}{dt})_{(t=0)}=v_{0}\)
则质点的位移与速度为\(\xi=\xi_{a}cos(\omega_{0}t-\frac{\pi}{2}),v=v_{a}cos\omega_{0}t\)，其中\(\xi_{a}=\frac{v_{a}}{\omega_{0}},v_{a}=v_{0}\)
1.2.3自由振动的能量
能量保守系统
外部给予系统的能量，只有初动能：\(E_{0}=\frac{1}{2}M_{m}v_{0}^{2}\)
系统的位能\(E_{p}=\int_{0}^{\xi}K_{m}\xi d\xi=\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}\)
系统所具有的动能\(E_{k}=\frac{1}{2}M_{m}v^{2}\)
系统的总振动能\(E=E_{p}+E_{k}=\frac{1}{2}K_{m}\xi^{2}+\frac{1}{2}M_{m}v^{2}=\frac{1}{2}K_{m}\xi_{a}^{2}cos^{2}(\omega_{0} t-\varphi_{0})+\frac{1}{2}M_{m}\omega_{0}^{2}\xi_{a}^{2}sin^{2}(\omega_{0} t-\varphi_{0})=\frac{1}{2}K_{m}\xi_{a}^{2}=\frac{1}{2}M_{m}v_{a}^{2}\)
已知有\(v_{a}=v_{0}\)，证得\(E=E_{0}\)
1.2.4双弹簧串联与并联系统的振动
双弹簧串联
\(M_{m}g=K_{1m}\xi_{1st}=K_{2m}\xi_{2st}\)
\(\xi_{st}=\xi_{1st}+\xi_{2st}\)
\(\xi_{st}=M_{m}g(\frac{1}{K_{1m}}+\frac{1}{K_{2m}})=M_{m}g\frac{1}{K_{m}^{'}}\)，其中\(K_{m}^{'}=\frac{K_{1m}K_{2m}}{K_{1m}+K_{2m}}\)
\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\xi_{st}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}^{'}}{M_{m}}}\)
若两个相同的弹簧串联，可使系统的弹性减少一半，固有频率降低\(\sqrt{2}\)倍
双弹簧并联
\(M_{m}g=K_{1m}\xi_{st}+K_{2m}\xi_{st}\)
\(f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\xi_{st}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_{m}^{''}}{M_{m}}}\)其中\(K_{m}^{''}=K_{1m}+K_{2m}\)
若两个相同的弹簧并联，可使系统的弹性比单根时增加一倍，固有频率增加\(\sqrt{2}\)倍