KSP理論知識
1 動量守恆&火箭方程：齊奧爾科夫斯基公式
如下：一艘火箭，燃燒過程中，噴出燃料，加速
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噴射前火箭質量：M
噴射后噴出的燃料質量：\(\Delta\)m
噴射后火箭質量：M-\(\Delta\)m
噴射前火箭速度：V
噴射后火箭速度：V+\(\Delta\)v
噴射后噴出的燃料速度：設噴出燃料速度相對於火箭速度為-\(V_f\)，則對於地面坐標系噴出燃料速度為-\(V_f\)+V+\(\Delta\)v
動量：\(P=m\cdot v\)
動量守恆方程：\(\sum P(t_1)\)=\(\sum P(t_2)\)
由上式列出動量守恆方程
\(M\cdot V=(V+\Delta v)\cdot (M-\Delta m)+(\Delta m)\cdot (-V_f+V+\Delta v)\)
展開合並得
\(0=M\cdot \Delta v-\Delta m \cdot V_f\)
在\(M\)減少時\(\Delta m\)是增加的，所以在微分上\(d M=-d m\)
所以上式對時間變量進行微分寫成\(0=M\cdot d v+d M \cdot V_f\)
我們要求速度\(dv\)的變化量，由上式變形可得\(dv=-V_f \cdot \frac{dM}{M}\)
對兩側進行積分 \(\int_0^tdv=-V_f\int_0^t\frac{1}{M}dM\)，得\(v(t)-v(0)=\Delta v=-V_f lnM(t)|_0^t=-V_f [lnM(t)-ln(0)]\)
整理得\(\Delta v = V_f ln[\frac{M(0)}{M(t)}]=V_f ln[\frac{M_{start}}{M_{end}}]=V_f ln[\frac{M_{rocket}+M_{fuel}}{M_{rocket}}]=V_f ln[1+\frac{M_{fuel}}{M_{rocket}}]\)
以上就得到齊奧爾科夫斯基公式最核心的式子\(\Delta v = V_f ln[\frac{M_0}{M_1}]\)
這個公式的意義在於，可以根據初始質量\(M_0\)和燃燒完之后的質量\(M_1\)，以及\(V_f\)來計算火箭可以達到的速度增量\(\Delta v\)。
那么關於\(V_f\)(可能有其他命名符合)即被拋出的燃料的相對速度怎么求？
ISP:
specific impulse比沖；
物理定義：燃氣噴出速度。
工程定義：單位流量(1kg/s)燃料產生的推理
比沖有兩種表述方式，對應不同的單位；一種是重量表述，另一種是質量表述；若為重量表述，則單位是秒s；若質量表述，如下
力 F=1N=1kg·m/s²
假設 F=100g N=100g kg·m/s²(g為重量加速度常量) \(ISP=\frac{F}{1kg/s}=\frac{100g kg·m/s²}{1kg/s}=100g m/s\)
所以齊奧爾科夫斯基公式寫為\(\Delta v = ISP\cdot g_0 \cdot ln[\frac{M_0}{M_1}]=ISP\cdot g_0 \cdot ln[1+\frac{M_{fuel}}{M_{rocket}}]\)
2 軌道學
向量基礎
直角坐標
\(\vec{A}=A_x\vec{e}_x+A_y\vec{e}_y+A_z\vec{e}_z\)
\(A_x=Acos\alpha\)
\(A_y=Acos\beta\)
\(A_z=Acos\gamma\)
\(\vec{A}=A\vec{e}_A\)
\(\vec{e}_A=\vec{e}_xcos\alpha+\vec{e}_ycos\beta+\vec{e}_zcos\gamma\)
\(\vec{A}=A(\vec{e}_xcos\alpha+\vec{e}_ycos\beta+\vec{e}_zcos\gamma)\)
三維向量 \(\vec{a}\)={a,b,c}，則向量的模 \(|\vec{a}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
向量的加法和減法：減法：方向由減方指向被減方
矢量代換公式
1、\(\vec{A}\pm\vec{B}=\vec{e}_x(A_x\pm B_x)+\vec{e}_y(A_y\pm B_y)+\vec{e}_z(A_z\pm B_z)\)
交換律：\(\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\)
結合律：\((\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\)
2、\(\vec{A}\cdot\vec{B}=標量=ABcos\theta=A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z\)
交換律：\(\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}\)
3、\(\vec{A}\times \vec{B}=矢量=\vec{e}_nABsin\theta\)
\(\vec{A}\times \vec{B}=-\vec{B}\times \vec{A}\)
\((\vec{A} \times \vec{B})_z=A_x B_y - A_y B_x\)
\((\vec{A} \times \vec{B})_x=A_y B_z - A_z B_y\)
\((\vec{A} \times\vec{B})_y=A_z B_x - A_x B_z\)
\(\vec{A}\times \vec{B}=\vec{e}_x(A_y B_z - A_z B_y)+\vec{e}_y(A_z B_x - A_x B_z)+\vec{e}_z(A_x B_y - A_y B_x)\)
\(\vec{A}\times \vec{B}=\left| \begin{matrix} {\vec{e}_x} & {\vec{e}_y} & {\vec{e}_z}\\ {A_x} & {A_y} & {A_z}\\ {B_x} & {B_y} & {B_z} \end{matrix} \right|\)
\(\vec{A}\cdot(\vec{A} \times \vec{B})=0\)
向量的數量積（是個數量）： \(\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a},\vec{b})=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\)
向量的向量積（是個向量）： \(\vec{a}\times \vec{b}={\left [ \begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{array} \right ]}=\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \end{Bmatrix}\quad\)
方向：右手定則，大小：\(|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot sin(\vec{a},\vec{b})\)
4、
\((\vec{A}+\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\vec{B}\cdot\vec{C}\)
\((\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}=\vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}\)
\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times \vec{C})=(\vec{A} \times \vec{B})\cdot\vec{C}=(\vec{A} \times \vec{C})\cdot\vec{B}\)
\(\vec{A}\times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})\)
證明矢量混合積：\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times \vec{C})=(\vec{A} \times \vec{B})\cdot\vec{C}=(\vec{A} \times \vec{C})\cdot\vec{B}\)
矢量模值求導：\(\frac{d|\vec{r}|}{dt}\)
\(\frac{d|\vec{r}|}{dt}=\frac{d\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}}}{dt}=(\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}})'=\frac{1}{2}(\vec{r}\cdot \vec{r})^{-\frac{1}{2}}\cdot 2\vec{r}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{\vec{r}}{\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}}} \frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \frac{d\vec{r}}{dt}\)
證明矢量三重積： \(\vec{A}\times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})\)
矢量微分
矢量點乘微分： \(d(\vec{f}\cdot \vec{g})=d\vec{f} \cdot \vec{g}+\vec{f}\cdot d\vec{g}\)
矢量叉乘微分：\(d(\vec{f}\times \vec{g})=d\vec{f} \times \vec{g}+\vec{f}\times d\vec{g}\)
證明略
牛頓萊布尼茨公式
\(F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx,F(x)為f(x)原函數\)
證明: 介值定理=>積分中值定理=>積分基本定理=>N-L公式
介值定理：\(f(x)\in c[a,b],\forall \eta \in [m,M],\exists\xi \in [a,b],f(\xi)=\eta\)
積分中值定理：\(f(x)\in c[a,b],\exists \in [a,b],使\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)
積分基本定理：\((\int_a^x f(t)dt)'=f(x)\)
牛頓-萊布尼茨公式：\(F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx,F(x)為f(x)原函數\)
橢圓預備知識
橢圓方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)
焦點：\(c\) ，離心率：\(e=\frac{c}{a}\)
橢圓第二定律：橢圓上的任意一點到焦點的距離與該點到一條定直線的距離的比是一個常數e。那條定直線方程為\(x=±\frac{a^2}{c}\)
橢圓面積：直接用二重積分求第一象限的面積的四倍
先將方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)展開為解析式
\(y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2})=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)\)
\(y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\)
\(S=4\int\int_{D1}d\sigma=4\int_0^adx\int_0^{\frac{a}{b}\sqrt{a^2-x^2}}dy=4\frac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx\)
三角換元得\(4\frac{b}{a}\int_{\frac{\pi}{2}}^0 a^2sint (-sint)dt=4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sint)^2dt=4ab\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}=ab\pi\)
向心加速度&萬有引力
向心加速度的推導\(a=\frac{V^2}{R}\)
如上所示，運用微分和相似三角形可以推出向心加速度的公式\(a=\frac{V^2}{R}\)
具體過程，假設圓上的一個點繞圓形旋轉了一個角度，沿着前后兩個點的切線即兩個速度矢量\(V_A和V_B\)，這個矢量的變化為\(\Delta V\)，繞過的弧線為\(\Delta S\)，半徑為\(R\)，在\(\Delta V\)趨向0即微分情況下，\(\Delta S\)可近似為直線，則兩個三角形可看做相似三角形，即滿足\(\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta S}{R}\)，根據加速度的定義\(a=\frac{\Delta V}{\Delta t}\)（方向指向圓心），代入可得\(a=\frac{\Delta S}{\Delta t}\frac{V}{R}=\frac{V^2}{R}\)
萬有引力的推導（用到開普勒第三定律\(\frac{R^3}{T^2}=K\)）
根據牛頓力學公式\(F=ma=m\frac{V^2}{R}\)
天體運動的速度一般用周期T進行代換，即\(V=\frac{2\pi R}{T}\)，代入上式得\(F=\frac{4{\pi}^2mR}{T^2}\)
用開普勒第三定律\(T^2=\frac{R^3}{K}\)代換得\(F=4{\pi}^2mR\cdot \frac{K}{R^3}=\frac{4{\pi}^2mK}{R^2}\)
除了R之外都是常量，由於是兩個星體作用，所以可以簡寫成\(F\propto \frac{Mm}{R^2}\)，則萬有引力公式為\(F=G \frac{Mm}{R^2}\)，其中G為常量，科學家測出G=6.67259×10N·m²/kg²
軌道機械能守恆
機械能=動能+勢能
勢能=重力做功
物體做功：\(W=F\cdot L\)
勢能=重力做功\(E_P=-\int_a^\infty FdR=-GmM\int_a^\infty \frac{1}{R^2}dR=GmM(-\frac{1}{R})|_a^\infty=-GMm(-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{a})=-\frac{GmM}{a}\)
動能\(E_K=\frac{1}{2}mv^2\)
機械能\(E=E_K+E_P=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GmM}{a}\)
證明機械能\(E\)為常量
a為矢徑，為\(\vec{r}\)的模
\(\vec{r}\)定義為方向是中心天體指向圍繞天體，大小是中心到圍繞距離的矢量
對上式的時間進行求導
\(\frac{d E}{dt}=\frac{d (\frac{1}{2}mv^2-\frac{GmM}{a})}{d t}\)
將矢量展開\(\frac{d E}{dt}=\frac{d (\frac{1}{2}m(\frac{d\vec{r}}{dt})^2-\frac{GmM}{|\vec{r}|})}{d t}=\frac{1}{2}m\cdot 2\frac{d\vec{r}}{dt}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-GmM(\frac{1}{|\vec{r}|})'\)
\((\frac{1}{|\vec{r}|})'=\frac{-\frac{d|\vec{r}|}{dt}}{|\vec{r}|^2}\)，代入矢量模值求導的結論\(\frac{d|\vec{r}|}{dt}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \frac{d\vec{r}}{dt}\)得\((\frac{1}{|\vec{r}|})'=-\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \frac{d\vec{r}}{dt}\)，再次代入上式\(\frac{d E}{dt}=m\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+GmM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \frac{d\vec{r}}{dt}'\)
萬有引力引入矢量(加速度方向指向中心天體,\(\vec{r}\)是指向圍繞天體)得\(\vec{F}=-G \frac{Mm}{\vec{r}^2}\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=m\vec{a}\)，\(\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\frac{GM\vec{r}}{|\vec{r}|^3}\)，代入到機械能公式中，得\(\frac{d E}{dt}=m\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}(-\frac{GM\vec{r}}{|\vec{r}|^3})+GmM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \frac{d\vec{r}}{dt}'=0\)，所以天體運動機械能守恆。
機械能守恆：1.重力勢能和動能互相轉化 2.不受外力，機械能不變。
軌道恆在一個平面上
證明：軌道恆在一個平面上
角動量\(\vec{\rho}=m\cdot \vec{r}\times \vec{v}\)
對角動量進行求導\(\frac{d\vec{\rho}}{dt}=m\cdot \frac{d(\vec{r}\times \vec{v})}{dt}=m\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\times \frac{d\vec{r}}{dt}+m\cdot \vec{r}\times \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=0+m\cdot \vec{r}\times (-\frac{GM\vec{r}}{|\vec{r}|^3})=0\)(叉乘同向為0)，所以角動量守恆。
\(\vec{\rho}\)垂直\(\vec{r}\times \vec{v}\)，而上面證得\(\vec{\rho}\)不變，所以\(\vec{r}\times \vec{v}\)每時每刻都在同一個平面上
開普勒定律
開普勒第二定律
對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積
開普勒第一定律
所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓
開普勒第三定律
所有行星軌道的半長軸的三次方和他的公轉周期的二次方的比值都相等
入軌和軌道
sub-orbit 亞軌道 : 高點在卡門線以外，低點在卡門線以內
karman line卡門線 : 大氣和真空的分界點，地球為100K，坎星為70K
transfer-orbit 轉移軌道