定義常量 \(e\) 有
\[e=\lim_{n\to +\infty} (1+\frac1n)^n \]
這個定義在如下導函數性質證明中發揮巨大威力：
\[f(x)=\log_ax,f'(x)=\frac{1}{x\ln a} \]
\[f(x)=a^x ,f'(x)=x^a\ln a \]
具體推導均可以使用定義式進行，即
\[f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta\ x} \]
中間都會遇到
\[\lim_{\Delta x\to 0}\log_a(1+\frac{\Delta x}x )^\frac{x}{\Delta x} \]
而該式就是 \(e\) 的定義式
范式推導：
\[f(x)=\ln(x),f'(x)=\frac 1x \]
證明：先帶入導數定義式觀察
\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x} \]
\[=\lim_{\Delta x\to 0} \frac 1{\Delta x}\ln (1+\frac{\Delta x}x) \]
\[=\lim_{\Delta x\to 0} \ln [(1+\frac{\Delta x}x)^{\frac x{\Delta x}}]^{\frac1{x}} \]
\[=\frac 1x\lim_{\Delta x\to 0} \ln e=\frac 1x \]
下有導函數的另一個性質：
\[\lim_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\times \Delta x \]
也就是說 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 處的導數是其在 \(x_0\) 處的斜率
這條性質在證明
\[[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) \]
\[[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} \]
\[[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]
時會發揮巨大作用，而具體的和式變換是相對平凡的