直線和圓求交點（向量法）

原文鏈接：https://blog.csdn.net/fengkeyleaf/article/details/117692135

 

如果看過上一節的直線交點，那么這里求直線和圓的交點思路是非常相似的：

1、用直線到圓心的距離和半徑相比，判斷是否和圓有交點；
2、求出圓心在直線上面的投影點(projectPoint)；
3、算出直線的單位向量e；
4、求出一側交點(Intersection)到projectPoint的長度(sideLength)；
5、求出sideLength和這側端點到projectPoint距離的比例(ratio)；
6、projectPoint +/- ratio * e = 兩側交點；

同樣，我們還是通過一個圖例來講解。我們給定圓，圓心為C，半徑為r，和直線AB，以及它們兩個交點E和F：

 

現在我們以求交點E為例來進行講解。使用求直線交點的思路，如果我們首先會考慮從B出發，求得BE和某個向量的比例，即可通過B來計算交點E，但是這樣不是很好找比例，所以我們換一種思路，先求C在直線AB上面的投影Pr：

 那么顯然，我們可以得到一組向量的比例關系：BPr 和 EPr（加粗表示向量），因為圓和直線可能有兩個交點，分別位於Pr的兩邊，所以我們選Pr作為起點求交點比較方便：

有了這個比例關系(ratio)，我們只要知道BA的單位向量e，用 ratio * e，就可以得到EPr和PrF。因為根據垂徑定理1，|EPr| = |PrF|。所以我們先假設求得了Pr，那么|EPr|和|BPr|怎么求呢？我們連接BC和EC看看：

從圖中可知，|EPr|不難求，直角三角形CEPr可用勾股定理求得；那么|BPr|呢？現在又需要向量的幫助了，大家還記得向量得點積么？兩個向量a和b的點積表示a在b上面的投影，所以|BPr| = BC * BPr。那么到現在，還剩下兩個問題就能解決交點了：1）如何求C在直線AB上面的投影；2）如何求C到直線AB的距離；

2.2 點在直線上面的投影
在文章開頭，我們曾經提到下面的思路去求解交點：

現在我們以求交點E為例來進行講解。使用求直線交點的思路，如果我們首先會考慮從B出發，求得BE和某個向量的比例，即可通過B來計算交點E

雖然這個方法求交點不是很好，但是我們可以用它來求解點在直線上面的投影。還是上面圓的圖例：

 所以我們只需要求出BPr和BA的比例關系，即可以求解Pr，而且|BPr|可以BC和BA的點積來求得，因為兩者點積是BC在BA上面的投影，通過這樣，我們就能求得比例關系了，如下圖所示：

2.3 點到直線的距離

點到直線的距離，我們可以看成平行四邊形的高，然后用叉積來求得，還是剛才的圖例：

 

 我們看到C到AB的距離(CPr)其實平行四邊形BADC的高，所以我們可以利用BC和BA的叉積來求解。

 

代碼來源於https://blog.csdn.net/qq_40998706/article/details/87521165：

這是一個題目：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<assert.h>
using namespace std;

#define EPS (1e-10)
#define equals(a, b) (fabs((a) - (b)) < EPS)

class Point {//Point類，點 
    public:
        double x, y;
        
        Point(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) {}

        Point operator + (Point p) { return Point(x + p.x, y + p.y); }
        Point operator - (Point p) { return Point(x - p.x, y - p.y); }
        Point operator * (double a) { return Point(a * x, a * y); }
        Point operator / (double a) { return Point(x / a, y / a); }

        double abs() { return sqrt(norm()); }
        double norm() { return x * x + y * y; }
        
        bool operator < (const Point &p) const {
            return x != p.x ? x < p.x : y < p.y;
        }

        bool operator == (const Point &p) const {
            return fabs(x - p.x) < EPS && fabs(y - p.y) < EPS;
        }
};

typedef Point Vector;//Vector類，向量 

struct Segment{//Segment 線段 
    Point p1, p2;
};

typedef Segment Line;

class Circle {//Circle 圓 
    public:
        Point c;
        double r;
        Circle(Point c = Point(), double r = 0.0): c(c), r(r) {}
};

double dot(Vector a, Vector b) {//內積 
    return a.x * b.x + a.y * b.y;
}

double cross(Vector a, Vector b) {//外積 
    return a.x*b.y - a.y*b.x;
}

Point project(Segment s, Point p) {//投影 對於給定的三個點p1、p2、p，從點p向通過
//p1、p2的直線引一條垂線，求垂足x的坐標。（點p在直線p1p2上的投影） 
    Vector base = s.p2 - s.p1;
    double r = dot(p - s.p1, base) / base.norm();
    return s.p1 + base * r;
} 

double getDistanceLP(Line l, Point p) {//直線l和點p的距離
    return abs(cross(l.p2 - l.p1, p - l.p1) / (l.p2 - l.p1).abs() );
}

bool intersect(Circle c, Line l) {
    if(getDistanceLP(l, c.c) > c.r) {
        return false;
    } else {
        return true;
    }
}
Point getCrossPoint(Segment s1, Segment s2) {
    Vector base = s2.p2 - s2.p1;
    double d1 = abs(cross(base, s1.p1 - s2.p1));
    double d2 = abs(cross(base, s1.p2 - s2.p1));
    double t = d1 / (d1 + d2);
    return s1.p1 + (s1.p2 - s1.p1) * t;
}

pair<Point, Point> getCrossPoints(Circle c, Line l) {
    assert(intersect(c, l));
    Vector pr = project(l, c.c);
    Vector e = (l.p2 - l.p1) / (l.p2 - l.p1).abs();
    double base = sqrt(c.r * c.r - (pr - c.c).norm() );
    return make_pair(pr + e * base, pr - e * base);
}

int main(){
    Circle c;
    cin>>c.c.x>>c.c.y>>c.r;
    
    int q;
    cin>>q;
    
    Line l;
    pair<Point, Point> p;
    
    while(q--){
        cin>>l.p1.x>>l.p1.y>>l.p2.x>>l.p2.y;
        p = getCrossPoints(c, l);
        if(p.first.x < p.second.x || (p.first.x == p.second.x && p.first.y <= p.second.y) ) {
            printf("%.6f %.6f %.6f %.6f\n", p.first.x, p.first.y, p.second.x, p.second.y);
        } else {
            printf("%.6f %.6f %.6f %.6f\n", p.second.x, p.second.y, p.first.x, p.first.y);
        }
    }
}