一般的二重和交換符號無難度，例如一個m*n矩陣元素和
$\sum _{i=1}^{m}{\sum _{j=1}^{n}}{aij}=\sum _{j=1}^{n}{\sum _{i=1}^{m}}{aij}$
而含有雙標限定的求和則較為困難，其一般形式為
$\sum_{i\in p}{\sum _{f(i,j)\in q}{aij}}$
注意內層不僅對j有限定同時對i有限定，此為雙標限定
外層對i求和，求和中使內層參數i相對固定，從而內層的流動參數為j
這樣的和式有時交換和號求解會有意想不到的效果
交換和號順序規則：入內求交，出外求並
入內：外層流動參數i移到內層，同時受到內層求和對i的限定，取兩個限定的交集，作為內層對i的新限定
出外：內層流動參數j移到外層，同時受到外層求和對j的限定，取兩個限定的並集，作為內層對j的新限定
下以矩陣(aij)n*n上三角求和$\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=i}^{n}{aij}}$為例
為方便交換采用集合描述形式
$\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=i}^{n}{aij}}$(窮舉形式）=$\sum_{1\leq i \leq n}{\sum _{n \geq j \geq i}{aij}}$(描述形式）
$\begin{pmatrix}
\color{Red}{a_{11}} & \color{Red}{a_{12}} & \cdots & \color{Red}{a_{1,n-1} } & \color{Red}{a_{1n} }\\
a_{21} & \color{Red}{a_{22} } & \cdots & \color{Red}{a_{2,n-1} } & \color{Red}{a_{2n} }\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & \color{Red}{a_{n-1,n-1} } & \color{Red}{a_{n-1,n} }\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & \color{Red}{a_{n,n}}
\end{pmatrix}$
將內層的j移動到外層 ，j的限定變為“ $\ i\leq j \leq n $”但還需與$\ 1\leq i \leq n $求並得$ \ j \in\bigcup _{i=1}^{n}{\left[ i,n \right]}=\left[ 1,n \right]$外層求和變為$\sum _{1\leq j\leq n}$
將外層的i移動到內層 ，i的限定變為“ $\ 1\leq i \leq n $”但還需與$ \ i\leq j \leq n $求交得$ \ i \in\left[ 1,n \right]\bigcap \left[ 1,j \right]=\left[ 1,j \right]$內層求和變為$\sum _{1\leq i\leq j}$
於是$\sum_{1\leq i \leq n}{\sum _{n \geq j \geq i}{aij}}=\sum_{1\leq j \leq n}{\sum _{1 \leq i \leq j}{aij}}$即$\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=i}^{n}{aij}}=\sum_{j=1}^{n}{\sum _{i=1}^{j}{aij}}$
下面我們來幾道練習，以求復雜情況下不借助幾何關系也可以迅速寫出結果
1，下三角 $\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{i}{aij}}=\sum_{1\leq i \leq n}{\sum _{1 \leq j \leq i}{aij}}=\sum_{1\leq j \leq n}{\sum _{j \leq i \leq n}{aij}}=\sum_{j=1}^{n}{\sum _{i=j}^{n}{aij}}$
2，$\sum _{k=1}^{n-r+1}{\sum _{i=1}^{k}{f(i,r,k)}}=\sum _{1\leq k\leq n-r+1}{\sum _{1\leq i\leq k}{f(i,r,k)}}=\sum _{1\leq i\leq n-r+1}{\sum _{i\leq k\leq n-r+1}{f(i,r,k)}}=\sum _{i=1}^{n-r+1}{\sum _{k=i}^{n-r+1}{f(i,r,k)}}$
3.$\sum _{k=1}^{n}{\sum _{l\leq n,k|l}}{f(k,l)}=\sum _{l=1}^{n}{\sum _{k|l}}{f(k,l)}$
4,$ \sum _{m=1}^{n}{\sum _{d|(m,n)}}{f(d)}=\sum _{d|n}{\sum _{m=1,d|m}^{n}}{f(d)}$
5.$\sum _{d|n}{\sum _{\delta |\frac{n}{d}}}{f(d)}=\sum _{\delta|n}{\sum _{d |\frac{n}{\delta}}}{f(d)}$
可以看出，交換和號也是數論中慣用的手法
參考單墫教授《算兩次》以及躍峰奧數相關內容