一般的二重和交换符号无难度，例如一个m*n矩阵元素和
$\sum _{i=1}^{m}{\sum _{j=1}^{n}}{aij}=\sum _{j=1}^{n}{\sum _{i=1}^{m}}{aij}$
而含有双标限定的求和则较为困难，其一般形式为
$\sum_{i\in p}{\sum _{f(i,j)\in q}{aij}}$
注意内层不仅对j有限定同时对i有限定，此为双标限定
外层对i求和，求和中使内层参数i相对固定，从而内层的流动参数为j
这样的和式有时交换和号求解会有意想不到的效果
交换和号顺序规则：入内求交，出外求并
入内：外层流动参数i移到内层，同时受到内层求和对i的限定，取两个限定的交集，作为内层对i的新限定
出外：内层流动参数j移到外层，同时受到外层求和对j的限定，取两个限定的并集，作为内层对j的新限定
下以矩阵(aij)n*n上三角求和$\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=i}^{n}{aij}}$为例
为方便交换采用集合描述形式
$\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=i}^{n}{aij}}$(穷举形式）=$\sum_{1\leq i \leq n}{\sum _{n \geq j \geq i}{aij}}$(描述形式）
$\begin{pmatrix}
\color{Red}{a_{11}} & \color{Red}{a_{12}} & \cdots & \color{Red}{a_{1,n-1} } & \color{Red}{a_{1n} }\\
a_{21} & \color{Red}{a_{22} } & \cdots & \color{Red}{a_{2,n-1} } & \color{Red}{a_{2n} }\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & \color{Red}{a_{n-1,n-1} } & \color{Red}{a_{n-1,n} }\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & \color{Red}{a_{n,n}}
\end{pmatrix}$
将内层的j移动到外层 ，j的限定变为“ $\ i\leq j \leq n $”但还需与$\ 1\leq i \leq n $求并得$ \ j \in\bigcup _{i=1}^{n}{\left[ i,n \right]}=\left[ 1,n \right]$外层求和变为$\sum _{1\leq j\leq n}$
将外层的i移动到内层 ，i的限定变为“ $\ 1\leq i \leq n $”但还需与$ \ i\leq j \leq n $求交得$ \ i \in\left[ 1,n \right]\bigcap \left[ 1,j \right]=\left[ 1,j \right]$内层求和变为$\sum _{1\leq i\leq j}$
于是$\sum_{1\leq i \leq n}{\sum _{n \geq j \geq i}{aij}}=\sum_{1\leq j \leq n}{\sum _{1 \leq i \leq j}{aij}}$即$\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=i}^{n}{aij}}=\sum_{j=1}^{n}{\sum _{i=1}^{j}{aij}}$
下面我们来几道练习，以求复杂情况下不借助几何关系也可以迅速写出结果
1，下三角 $\sum_{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{i}{aij}}=\sum_{1\leq i \leq n}{\sum _{1 \leq j \leq i}{aij}}=\sum_{1\leq j \leq n}{\sum _{j \leq i \leq n}{aij}}=\sum_{j=1}^{n}{\sum _{i=j}^{n}{aij}}$
2，$\sum _{k=1}^{n-r+1}{\sum _{i=1}^{k}{f(i,r,k)}}=\sum _{1\leq k\leq n-r+1}{\sum _{1\leq i\leq k}{f(i,r,k)}}=\sum _{1\leq i\leq n-r+1}{\sum _{i\leq k\leq n-r+1}{f(i,r,k)}}=\sum _{i=1}^{n-r+1}{\sum _{k=i}^{n-r+1}{f(i,r,k)}}$
3.$\sum _{k=1}^{n}{\sum _{l\leq n,k|l}}{f(k,l)}=\sum _{l=1}^{n}{\sum _{k|l}}{f(k,l)}$
4,$ \sum _{m=1}^{n}{\sum _{d|(m,n)}}{f(d)}=\sum _{d|n}{\sum _{m=1,d|m}^{n}}{f(d)}$
5.$\sum _{d|n}{\sum _{\delta |\frac{n}{d}}}{f(d)}=\sum _{\delta|n}{\sum _{d |\frac{n}{\delta}}}{f(d)}$
可以看出，交换和号也是数论中惯用的手法
参考单墫教授《算两次》以及跃峰奥数相关内容