高中數學競賽培優教程 · 一試閱讀筆記

閑的沒事學點數學，叫閱讀筆記主要是因為看了很多答案（

§ 0.1 實數基本知識

例 5

求證：\(\tan 3\degree\) 為無理數。

證明：

​ 有理數運算具有封閉性。由二倍角公式得 \(\tan 6 \degree = \frac{2 \tan 3 \degree}{1-\tan ^2 3 \degree }\)，是有理數。同理 \(\tan 12 \degree, \tan 24 \degree\) 也是有理數。和差角公式得 \(\tan(24 + 6)\degree = \tan 30 \degree\) 也是有理數，但 \(\tan 30 \degree = \frac {\sqrt3}3\)，矛盾。

賽題演練-9

設 \(a, b, c\) 為正有理數，且 \(a + \frac 1{bc},b + \frac{1}{ac}, c + \frac{1}{ab}\) 都是正整數，求 \(a + b + c\) 的值。

解：

​ 簡單整理得 \(a(1 + \frac 1{abc}) \in \Z\)，設 \(a = \frac {a_1}{a_2}(a_1,a_2 \in \Z,\gcd(a_1,a_2)=1)\)，有 \(a_1(1 + \frac1{abc}) \in \Z\)。同理有 \(b_1(1+\frac 1{abc}) \in \Z\)，\(c_1(1+\frac 1{abc}) \in \Z\)。

​ 設 \(m = \gcd(a_1,b_1,c_1)\)，由裴蜀定理得 \(m(1+\frac 1{abc}) \in \Z\)。若有 \(m \ge 2\)，應滿足 \(\frac{ma_2b_2c_2}{a_1b_1c_1} \in \Z\)，因為 \(m^3 \mid a_1b_1c_1\)，且 \(m \nmid a_2b_2c_2\)，矛盾。所以有 \(m = 1\)。

​ 所以 \(\frac 1{abc} \in \Z\)，不妨設 \(\frac 1{abc} = n\)，有 \(a(1 + \frac 1{abc})\times b(1 + \frac 1{abc}) \times c(1 + \frac 1{abc}) \in \Z\)，整理得 \(\frac{(n + 1)^3}{n} \in \Z\)，由於 \((n,n + 1) = 1\)，所以有 \(n = 1\)，帶入得 \((2a)\times(2b)\times(2c)=8\)。由於 \(2a,2b,2c\) 都是整數，所以簡單討論記得得到 \(a + b + c = 3,\frac 72, 5\)

§ 0.2 方程（組）

例 2

已知 \(\alpha,\beta \in \R\)，直線 \(\large \frac x{\sin \alpha+\sin\beta}+\frac{x}{\sin \alpha+\cos \beta}=1\) 和直線 \(\large \frac x{\cos \alpha+\sin\beta}+\frac{x}{\cos \alpha+\cos \beta}=1\) 的交點在直線 \(y = -x\) 上，求 \(\sin \alpha+\cos \alpha+ \sin \beta + \cos \beta\) 的值。

解：

​ 設兩直線交點為 \((x_0, -x_0)\)，且 \(\sin \alpha,\cos \alpha\) 為方程 \(\frac{x_0}{t+\sin \beta}+\frac{-x_0}{t+\cos \beta}=1\) 的兩個根。由韋達定理得 \(\sin \alpha + \cos \alpha = -\cos \beta-\sin \beta\)。

例 3

解方程 \(2x^4+3x^2-16x^2+3x+2=0\)。

解：

​ 注意到系數對稱，並且 \(x \neq 0\)，兩邊同除 \(x^2\) 得 \(2(x^2+\frac 1{x^2})+3(x+\frac 1x)-16=0\)。設 \(y = x + \frac 1x\)，\(x^2+\frac 1{x^2}+2=y^2\)，可以先解 \(y\)，然后求解 \(x\)。