前言
判別式法求值域，使用的頻度不是很高，但是其原理需要注意，其常與分式型函數有關。
原理解析
分析：觀察這個分式函數的結構特征，注意到函數的定義域為 \(R\)，將函數轉化為以 \(x\) 為未知數的一元二次方程[此時的因變量 \(y\) 看成系數方程的對應系數]，
由於這個函數不是空函數，即這個方程一定是有解的，分類討論如下：
1\(^{\circ}\). 當\(y=2\)時，此時方程變形為一次方程，簡化為\(3x+1=0\)，
解得\(x=-\cfrac{1}{3}\)，故\(y=2\)的值是滿足題意的，
2\(^{\circ}\). 當\(y\neq 2\)時，此時方程為二次方程，那么由定義域為\(R\)可知，
這個二次方程在實數范圍內一定有解，故\(\Delta \ge 0\)，
即\(\Delta =(y+1)^2-4(y-2)(y-1)\ge 0\)且\(y\neq 2\)，
解得\(y\in[\cfrac{7-2\sqrt{7}}{3}，2)\cup(2，[\cfrac{7+2\sqrt{7}}{3}]\)。
綜上所述，函數的值域為\(y\in[\cfrac{7-2\sqrt{7}}{3}，\cfrac{7+2\sqrt{7}}{3}]\)。
〔解后反思〕：
1、為什么判別式法要求函數的定義域要是\(R\)？由上述分類討論中的第二步可知，二次方程在實數范圍內一定有解才能得到\(\Delta \geqslant 0\)，如果定義域不是\(R\)(比如是\(x\neq 2\))，那么這時候僅僅限制\(\Delta \ge 0\)是不夠的，還需要限制\(x\neq 2\)，反倒就體現不出來判別式法的簡潔性了。
2、能順利使用判別式法的分式函數，一般分母的\(\Delta <0\)，這樣就保證了定義域是\(R\)，且都是形如這樣的分式函數，如\(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)，或者\(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{ax+b}{dx^2+ex+f}\) 型；
3、這樣的函數\(h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)能用判別式嗎？一般怎么求解值域？
分析：大家能看到這個函數的定義域是\(x\neq 2\)，所以我們一般不用判別式法，否則你僅僅利用條件\(\Delta \ge 0\)來限制是不夠的，肯定要出錯，那么我們一般怎么做呢，注意到分子分母的最高次是二倍的關系，故常常朝對勾函數轉化，
到此可以看到，函數圖像的左右平移變換不會影響值域，故所求函數\(h(x)\)的值域一定和函數\(g(t)=t+\cfrac{1}{t}\)的值域是一樣的。用基本不等式法，我們知道這個函數的值域是\((-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)。故函數的值域為\(h(x)\in (-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)。
廓清認知
- 為什么定義域不是 \(R\) 的分式函數也能使用判別式法求值域呢？
解：當定義域不是 \(R\) [即分母函數的\(\Delta\geqslant 0\)]時，我們必須先研究函數的定義域，否則在算理上是有漏洞的，
由\(x^{2}+x-1\neq0\)，解得\(x\neq\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，
即定義域為\((-\infty\)\(,\)\(\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2})\)\(\cup\)\((\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)\(,\)\(\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2})\)\(\cup\)\((\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)\(,\)\(+\infty)\)，
由於函數解析式為 \(y=\cfrac{3x^{2}+3x+1}{x^{2}+x-1}\)，將 \(y\) 視為系數，分式化為整式，
整理得到關於\(x\)的仿二次方程，即 \((y-3)x^{2}+(y-3)x-(y+1)=0\)，分類討論如下：
當 \(y=3\) 時， 上述方程即 \(0\times x^2+0\times0-4=0\)，方程無解；
當 \(y \neq 3\) 時，要使方程有解時，需滿足 \(\Delta=(y-3)^{2}+4(y-3)(y+1)\geqslant 0\) ，
且必須滿足\(x\neq\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，否則原分式函數不存在為了驗證\(y\)的取值能保證分母不為零，此時從正面驗證不好做，可以這樣考慮，若\(y\)的取值使得方程變為\(x^2\)\(+\)\(x\)\(-\)\(1\)\(=\)\(0\)的形式，會解得\(x\)\(=\)\(\cfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)，而只有當\(\left\{\begin{array}{l}y-3=k\\y+1=k\end{array}\right.\)時[方程的系數可能成比例]，方程\((y-3)\)\(x^{2}\)\(+\)\((y-3)\)\(x\)\(-\)\((y+1)\)\(=\)\(0\)才會變成\(x^2\)\(+\)\(x\)\(-\)\(1\)\(=\)\(0\)，而現在的情形是滿足\(\left\{\begin{array}{l}y-3=k\\y+1=k\end{array}\right.\) 的\(y\)值是不存在的，說明\(y\)的取值不會導致原函數分母為零，故此時僅利用\(\Delta\geqslant 0\)求解是不會出錯的。那么是不是任意的系數都能保證這一點，沒有經過嚴謹的證明我們不好說。，
即 \(5y^{2}-14y-3\geqslant 0\)， 解得 \(y \leqslant-\cfrac{1}{5}\) 或 \(y>3\)，
所以 \(y=\cfrac{3 x^{2}+3 x+1}{x^{2}+x-1}\) 的值域為 \(\left(-\infty,-\cfrac{1}{5}\right] \cup(3,+\infty)\).
對應練習
提示： \(y>0\) 或 \(y\leqslant-\cfrac{8}{9}\)