Dirichlet 函數初探

狄利克雷函數是一個特殊的函數，對於其本身以及數學發展史而言，都有一定的意義，它的定義是：

\[\begin{equation} D(x)=\left\{ \begin{array}{lr} 1,&x\in \Q\\ 0,&x\notin \Q \end{array} \right. \end{equation} \]

請准確畫出此函數的圖象

它引導我們思考這樣一個問題：函數需要解析式么？函數需要圖象么？

性質

• 偶函數

• 處處無極限（都是第二類間斷點）

• 有界

口胡一下為什么處處無極限，對於 \(\forall x_0\)，我們可以找一個有理數序列 \(\{a_n\}\subset U_0(x_0,r)\) ,無理數序列 \(\{b_n\}\subset U_0(x_0,r) \ (a_n\to x_0,b_n \to x_0,n\to \infin)\)

顯然當 \(n\to \infin\) 時， \(\lim_{n\to \infin}f(a_n)\neq\lim_{n\to\infin}f(b_n)\)

所以 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 不存在

歷史意義

摘錄自：神奇的狄利克雷(Dirichlet)函數

函數概念最早出現在17世紀英國數學家格雷戈里的文章《論圓和雙曲線的求積》(1667年)中，他定義函數是這樣一個量：它是從一些其他量經過一系列代數運算或者任何其他可以想象到的運算而得到的，自從牛頓於1665年開始微積分（研究曲線的弧長、不規則圖形的面積等的一個數學分支）的研究工作后，他一直使用“流量”一詞來表示變量間的關系。
17世紀德國著名數學家萊布尼茨1673年在一篇手稿里使用了“函數”這一概念后來，萊布尼茨又引進“常量”、“變量”和“參變量”的概念，在數學史上，這是一大進步，它使得人們可以從數量上描述運動了。當時的函數指的是可以用解析式表示的函數，但這種概念對數和科學的進一步發展來說實在是太狹隘了。

1734年，瑞士數學家歐拉用f(x)作為函數的記號。f(x)中的f是function（函數）的第一個字母。歷史上第一個給出函數一般定義的是19世紀德國數學家狄利克雷(Dirichlet)。這也促成了微積分的嚴格性的開始。事實上，如果嚴格性沒有進入定義，那就無法在推理中體現嚴格性。當時，數學家們處理的大部分數學對象都沒有完全的、嚴格的定義數學家們習慣借助於直覺和想象來描述數學對象，他們還沒有推理賴以展開的精確定義。

首先最好來感受一下這個函數。當取有理數的時候，函數值為1；當x取無理數的時候，函數值為0。這里糾結的地方在哪里呢？無理數和有理數密密麻麻地摻雜在一起，任意兩個有理數之間有無窮多個無理數。也就是不管x的區間取得多么小，函數值會急劇地在0與1之間反復跳動。

這種跳動不是一般的函數波動，而是捉摸不到的、極其迅速的跳變。因此狄利克雷函數是極度不連續的。
所以，狄利克雷函數的一個重要特點就是：無法作圖。你可以試着把x軸上的有理數和無理數進行分離，屬於有理數的點上升一個單位，屬於無理數的點停留在原處。當然，這只能存在於想象中，圖形無法表示。

這就使得函數的概念擴大了。函數不一定需要表達式，甚至不需要圖像，它成為了一個抽象的概念。只要存在某種對應關系，我們就可以稱之為函數。

狄利克雷函數的出現，表示數學家們對數學的理解發生了深刻的變化，數學的一些“人造”特征開始展現出來這種思想也標志着數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”。

狄利克雷是數學史上第一位重視概念的人，並且是有意識地“以概念代替直覺”的人。在狄利克雷之前，數學家們主要研究具體函數，進行具體計算，他們不大考慮抽象問題。但狄利克雷之后，事情逐漸變化了，人們開始考慮函數的各種性質，例如（圖象的）對稱性、增減性、連續性等，具體函數、具體函數的計算逐漸淡化了。

1837年，狄利克雷給出了與我們現在所熟知的函數定義非常相近的函數的如下定義（區間一般是指兩個實數之間的所有實數）：
如果對於給定區間上的每一個x值，都有唯一的y值與它對應，那么y是x的函數。

數學意義

其主要的作用是在於列舉反例和辨析概念

參考：利用Diriehlet函數制作的幾種反例

1.任何周期函數必有最小周期？

顯然 \(D(x)\) 是一個周期函數

顯然，任何大於 \(0\) 的有理數都是它的周期

顯然，沒有最小周期

2.廣義極限 \(*\) 有界函數=廣義極限？

設 \(f(x)=x\) ，知道當 \(x\to\infin\) 時，\(f(x)\) 為廣義極限，知 \(D(x)\) 有界

那么 \(f(x)·D(x)=x*D(x)\) 不是廣義極限

容易根據廣義極限的定義證明，\(\forall M>0,\forall X,s.t.\exist \ |x|>X,|f(x)·g(x)|<M\)

\(x\) 只要取無理數即可

3.復合函數極限存在性

命題：若 \(\lim_{x\to a}f(x)=b,\lim_{y\to b}\varphi(y)=1\) ,那么復合函數 \(\varphi(f(x))\) 當 \(x\to a\) 時極限不一定存在

證明：設 （即黎曼函數）

\[\begin{equation} f(x)=R(x)= \left\{ \begin{array}{lr} \frac 1p,&x=\frac pq\ (p,q\text{為互質正整數},0<x<1)\in \Q\\ 0,&x=0,1 \text{和} (0,1)\text{內無理數}\notin \Q \end{array} \right. \end{equation} \]

又設：

\[\begin{equation} \varphi(x)= \left\{ \begin{array}{lr} 0,&x=0\\ 1,&x\neq0 \end{array} \right. \end{equation} \]

我們知道 \(\forall a\in[0,1],\lim_{x\to a}f(x)=0\) ，那么 \(f(x)\) 在所有無理點連續，所有有理點為可去間斷點

且 \(\lim_{y\to 0}\varphi (y)=1\)

這里我們也給出 \(D\) 函數的另外一種定義： \(D(x)=\varphi(R(x))\)

發現這個復函函數極限不存在。