ACM學習筆記：線段樹

title : 線段樹
date : 2021-8-15
tags : ACM，數據結構

 

線段樹

線段樹基礎

首先上個板子來復習一下線段樹的基本寫法。

//基礎板 P3372 【模板】線段樹 1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,l,r,k,q; 
long long arr[100005],tree[270000],lazy[270000];
​
void build(int node,int l,int r){  //建樹 
 if(l==r){
  tree[node]=arr[l];
  return;
 }
 int mid=(l+r)/2;
 build(node*2,l,mid); //左區間建樹 
 build(node*2+1,mid+1,r); //右區間建樹 
 tree[node]=tree[node*2]+tree[node*2+1]; //區間和 
}
​
void pushdown(int node,int start,int end){ //下傳操作 
 int mid=(start+end)/2;
 if(lazy[node]){ 
  tree[node*2]+=lazy[node]*(mid-start+1); //更新區間和 
  tree[node*2+1]+=lazy[node]*(end-mid);
  lazy[node*2]+=lazy[node]; //懶標記下傳 
  lazy[node*2+1]+=lazy[node];
 }
 lazy[node]=0;
}
​
void update(int node,int start,int end,int l,int r,int c){ //更新操作 
 if(l<=start&&end<=r){ //如果區間在更新范圍內，直接標記返回 
  tree[node]+=(end-start+1)*c; //區間和加上Len倍的c 
  lazy[node]+=c; //打標記 
  return;
 }
 int mid=(start+end)/2;
 pushdown(node,start,end); //下傳 
 if(l<=mid){update(node*2,start,mid,l,r,c);} //更新左區間 
 if(r>mid){update(node*2+1,mid+1,end,l,r,c);}//更新右區間 
 tree[node]=tree[node*2]+tree[node*2+1];  //pushup
}
​
long long query(int node,int start,int end,int l,int r){ //查詢操作 
 int mid=(start+end)/2;
 if(l<=start&&end<=r) return tree[node]; //如果在查詢范圍內，直接返回 
 pushdown(node,start,end);
 long long sum=0;
 if(l<=mid) sum=query(node*2,start,mid,l,r); //查詢左區間 
 if(r>mid) sum+=query(node*2+1,mid+1,end,l,r); //查詢右區間 
 return sum;
}
​
int main(){
 scanf("%d%d",&n,&m);
 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&arr[i]);
 build(1,1,n);  
 while(m--){
  scanf("%d%d%d",&q,&l,&r);
  if(q==1){
   scanf("%d",&k);
   update(1,1,n,l,r,k); //區間修改 
  }else printf("%lld\n",query(1,1,n,l,r)); //區間查詢 
 }
return 0;
}

延遲標記

延遲標記，也叫lazy tag,是在區間中新增一個標記，在下一次訪問該區間時，向左右區間下放（pushdown）節點的標記，以便完成區間修改+區間詢問。

 

區間染色

例題：POJ 2528 Mayor's posters

區間離散化

對於區間[1,5],[2,7],[7,100],[3,1e7],我們肯定不能直接對區間[1,1e7]進行修改，而是應該先進行排序並離散化，1->1,2->2,3->3,5->4,7->5,100->6,1e7->7，之后區間可以表示為[1,4],[2,5],[5,6],[3,7]。然而這樣的表示實際上擴大了訪問的區間，因此我們要在間隔大於1的兩個元素中間再加數字，正確的表示方法如下:

$$
x[1]=1,x[2]=2,x[3]=3,x[4]=4,x[5]=5,x[6]=6,x[7]=7,x[8]=100,x[9]=101,x[10]=1e7
$$

 

發現了新增的節點x[4],x[6]和[x8]，這有什么用呢？

比如我要塗色[1,3]->顏色1,[5,7]->顏色2，加點前[1,3]->顏色1,[4,5]顏色2，可以發現最終兩種顏色把[1,5]覆蓋掉了，事實上中間還有一片(3,4)顏色未處理；我們增加節點后的效果是塗掉[1,3],[5,7]，那么數顏色數量的時候就能答案就修正了。

//Mayor's posters
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define MID int mid=(p->l + p->r)>>1
using namespace std;
struct Post{ // 海報
    int l,r;
} pst[10100];
int nodenum,cnt,ans;
int t,n,hs[10000010];
vector<int>vt;
​
struct Node{
    int l,r;
    bool full; // 區間[l,r]是否被完全覆蓋
    Node *ls, *rs; 
}tr[1000000];
​
void buildTree(Node *p, int l, int r){ //建樹 
    p->l=l;
    p->r=r;
    p->full=0; //初始化節點 
    if(l==r)return; //如果是葉子，直接返回 
    nodenum++;
    p->ls=tr+nodenum; //建立左右子樹 
    nodenum++;
    p->rs=tr+nodenum;
    MID;
    buildTree(p->ls,l,mid); //左區間建樹 
    buildTree(p->rs,mid+1,r); //右區間建樹 
}
bool check(Node *p,int l,int r){ //判斷該區間是否有覆蓋 
    if (p->full) return false; //已經被覆蓋了，這份海報就看不到了 
    if (p->l==l&&p->r==r){
        p->full=1; //覆蓋此區間 
        return true;
   }
    bool res;
    MID;
    if(r<=mid) res=check(p->ls,l,r); //全在左區間，找左子樹 
    else if(l>mid) res=check(p->rs,l,r);
    else{
        bool b1=check(p->ls,l,mid);
        bool b2=check(p->rs,mid+1,r);
        res=b1||b2; //其中一點沒覆蓋即可 
   }
    if (p->ls->full&&p->rs->full){
    p->full=1;//如果左右區間都被覆蓋，那么這個區間也被覆蓋了 
 }
    return res;
}
​
signed main(){
 ios::sync_with_stdio(0);
 cin.tie(0);
 cout.tie(0);
    cin>>t;
    while(t--){
    cin>>n;
    nodenum=0,cnt=0,ans=0; //清空數據 
        for(int i=0;i<n;i++) {
        cin>>pst[i].l>>pst[i].r;
        vt.push_back(pst[i].l); //把區間端點放入容器 
        vt.push_back(pst[i].r);
       }
        sort(vt.begin(),vt.end());//排序 
        vt.erase(unique(vt.begin(),vt.end()),vt.end()); //去重 
        for(int i=0;i<vt.size();i++){
            hs[vt[i]]=cnt++; //記錄元素所在數的節點編號 
            if(i<vt.size()-1){
                if(vt[i+1]-vt[i]>1) cnt++; //中間再插一個點 
           }
       } 
        buildTree(tr,0,cnt);//開始建樹 
        for(int i=n-1;i>=0;i--){ //這里倒序，要從沒被覆蓋的開始數 
            if(check(tr,hs[pst[i].l],hs[pst[i].r])){
            ans++; //可見海報增加 
   }
       }
        cout<<ans<<endl;
   }
    return 0;
}

 

區間第K大

由於篇幅問題這個問題另開一篇主席樹的博文講吧。

 

掃描線線段樹

掃描線算法可用於解決多個矩形圍成的周長和面積問題。

掃描線算法

用一根線對圖像從下往上進行掃描，掃描到邊的時候對答案進行計算。相當於給妙計分層，然后計算每一層的面積，最后匯總到答案當中。

矩陣面積並

給定多個矩形，邊一定平行於x或y軸。求所有矩形的面積之和。

$$
(1)每個矩形的上下邊加入掃描線並標記，下邊標記為1，上邊標記為-1\\ (2)讓掃描線從從低到高排序，而矩形的左右邊從小到大排序\\ (3)考慮數據范圍，我們進行離散化處理\\ (3)建立線段樹，那么區間可表示為區域的y1,y2，以及長度。\\ (4)遍歷所有相鄰左右邊，每次通過線段樹詢問出高度，然后面積相加。\\
$$

 

注意我們這里要維護的是線段長度而非點的值，所以我們要對線段樹進行修改，即左孩子的右值=右孩子的左值，這樣才能使維護不出現縫隙。

// luoguP5490 【模板】掃描線
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+7;
​
struct L{
 ll x,y1,y2,flag;
 L(ll X=0,ll Y1=0,ll Y2=0,ll T=0){
  x=X,y1=Y1,y2=Y2,flag=T;
 }
}line[N<<1];
​
struct node{
 int l,r;
 ll len;
 ll lazy;
}t[N<<2];
​
int n,cnt;
ll seg[N];
map<ll,int>val;
​
ll len(int p){
 //獲得區域p的高度，即兩掃描線相減 
 return seg[t[p].r+1]-seg[t[p].l]; 
}
​
void update(int p){
 if(t[p].lazy) t[p].len=len(p); //如果該區間被標記過 
 else if(t[p].l==t[p].r) t[p].len=0; //區間長度為0 
 else t[p].len=t[p<<1].len+t[p<<1|1].len; //兩區間相加 
}
​
void build(int p,int l,int r){ 
 t[p].l=l; //建樹時只需記錄區間左右就可以了 
 t[p].r=r;
 if(l==r) return;
 int mid=l+r>>1;
 build(p<<1,l,mid); //對左邊建樹 
 build(p<<1|1,mid+1,r); //對右邊建樹 
}
​
void change(int p,int l,int r,int k){
 if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){ //如果區間在所求上下邊中 
  t[p].lazy+=k; //打上標記 
  update(p); //更新區間長度 
  return;
 }
 int mid=t[p].l+t[p].r>>1;
 if(l<=mid) change(p<<1,l,r,k); //向下更新 
 if(r>mid) change(p<<1|1,l,r,k);  //向上更小 
 update(p); //最后要更新整個區間 
}
​
bool cmp(L a,L b){
 return a.x<b.x; //按照x坐標排序 
}
​
signed main(){
 ios::sync_with_stdio(0); //讀入優化 
 cin.tie(0);cout.tie(0);
 cin>>n;
 for(int i=1;i<=n;i++){
  ll x1,y1,x2,y2;
  cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
  seg[++cnt]=y1; //加入掃描線 
  line[cnt]=L(x1,y1,y2,1); //加入豎線 
  seg[++cnt]=y2;
  line[cnt]=L(x2,y1,y2,-1);
 }
 sort(line+1,line+cnt+1,cmp); //對豎線排序 
 sort(seg+1,seg+1+cnt); //掃描線從低到高排序 
 int m=unique(seg+1,seg+1+cnt)-(seg+1); //去重 
for(int i=1;i<=m;i++) val[seg[i]]=i; //離散化 
build(1,1,m); //建樹 
ll ans=0; //記錄答案 
for(int i=1;i<cnt;i++){ //對於cnt-1條豎邊 
int x=val[line[i].y1],y=val[line[i].y2]-1; //區域的上下邊 
change(1,x,y,line[i].flag); //查詢並更新區域的高 
ans+=t[1].len*(line[i+1].x-line[i].x); //累加區域面積 
 }
printf("%lld",ans); //輸出答案 
return 0;
}

 

動態開點

動態開點線段樹可以避免離散化。

如果權值線段樹的值域較大，離散化比較麻煩，可以用動態開點的技巧。

省略了建樹的步驟，而是在具體操作中加入結點。

 

參考資料

https://oi-wiki.org/geometry/scanning/

https://mirasire.xyz/2019/11/17/SMX/

https://wmathor.com/index.php/archives/1176/

https://www.bilibili.com/video/BV1FU4y1t79g