（二維）判斷一個點是否在凸多邊形內 & 已知圓上三點求圓心和半徑

一、判斷一個點是否在凸多邊形內 

根據向量叉乘的右手定則：

右手除姆指外的四指合並，姆指與其他四指垂直，四指由A向量的方向握向B向量的方向，這時姆指的指向就是A，B向量向量積的方向。就是說，AB向量積的方向垂直於AB向量確定的平面。如下圖所示：

 

根據右手定則判斷點是否在凸多邊形內原理（原文鏈接：https://blog.csdn.net/qq_35465996/article/details/100054558）：

二維向量叉乘，最終會得到一個(0,0,z)的向量，z的正負方向符合右手定則。已知凸多邊形質心在多邊形內，如果一點在凸多邊形內部，則這個點一定屬於質心與多邊形邊的內部；反之，點拘於圖形外。
如圖，做點至多邊形頂點構成多條向量，按照某個方向（順時針/逆時針），則必然存在相鄰向量的向量積彼此反向，即點在圖形外，如p b pbpbXp c pcpc與p c pcpcXp d pdpd，根據右手定則，知叉乘結果必然相反。

將圖多邊形所有點和點p連線，按照順時針/逆時針，相鄰向量做叉乘，得到的相鄰結果里面有異號的，即為外點。否則點在凸多邊形內

C++代碼：

#include <iostream>
#include <array>
#include <vector>

using namespace std;
using vector2d = array<double, 2>;

//向量積
double crossProduct(vector2d &p1, vector2d &p2)
{
    return (p1[0]*p2[1]-p2[0]*p1[1]);
}

//判定點在凸多邊形內 
bool pointInConvexPolygon(vector2d p, vector<vector2d>& polygon)
{
    int i, iNext, i2Next;
    double preCross, nextCross;
    vector2d v1, v2, v3;
    int polySize= polygon.size();
    
    if(polySize < 3)
    {
        return false;
    }
    for(i = 0; i < polySize; i++)
    {
        iNext = (i + 1) %  polySize;
        i2Next = (iNext + 1) % polySize;
        
        //注意v1, v2, v3最好歸一化一下，防止圖像坐標過大，導致叉乘結果溢出
        v1={polygon[i][0]-p[0], polygon[i][1]-p[1]};
        v2={polygon[iNext][0]-p[0], polygon[iNext][1]-p[1]};
        preCross = crossProduct(v1,v2);
        
        v3={polygon[i2Next][0]-p[0], polygon[i2Next][1]-p[1]};
        nextCross = crossProduct(v2,v3);
        
        if(preCross * nextCross < 0)
        {
            return false;
        }
    }
    
    return true;
}
    
int main()
{
    vector<vector2d> poly{{0,0}, {0, 2}, {2, 0}};
    vector2d p{4, 4};
    
    if(pointInConvexPolygon(p, poly))
    {
        cout<<"this point is in the polygon.\n";
    }
    else
    {
        cout<<"this point is not in the polygon.\n";
    }
    
    return 0;
}

 

二、已知圓上三點求圓心和半徑

原文：https://blog.csdn.net/weixin_44957370/article/details/116455334

原理：圓上的任意兩點的連線稱作弦，弦的中垂線必過圓心，取三點組成的兩條弦的中垂線的交點，即為圓心，再通過圓心求半徑.

其中三點坐標為 (dx1,dy1) (dx2,dy2) (dx3,dy3)

h1 h2 是弦的的中垂線的 斜率 x y 為圓心坐標 radius 為半徑

代碼：

double midx1,midy1,midx2,midy2;
double h1,h2;
 
//求前兩個點的中心點
midx1 = (dx1 + dx2) / 2;
midy1 = (dy1 + dy2) / 2;
 
//兩條垂線斜率乘積為 -1
h1 = - (dx2 - dx1) / (dy2 - dy1);
 
//求后兩個點的中心點
midx2 = (dx2 + dx3) / 2;
midy2 = (dy2 + dy3) / 2;
 
//兩條垂線斜率乘積為 -1
h2 = - (dx3 - dx2) / (dy3 - dy2);
 
//對應的垂線表示為
 
// y = h1(x - midx1) + midy1;
// y = h2(x - midx2) + midy2;
 
//轉化得
double x = (midy2 - midy1 + midx1*h1 - midx2*h2) / (h1 - h2);
double y = h1 * ( x - midx1) + midy1;
 
double radius = _hypot(fabs(x - dx1), fabs(y - dy1));