Mathematica數學學習快速入門指南

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目錄

• 1 進入數學快速入門官網文檔
• 2 面向數學學習的快速入門指南
  • 2.1 內容輸入
  • 2.2 分數與小數
  • 2.3 變量與函數
  • 2.4 代數
  • 2.5 二維繪圖
  • 2.6 幾何
  • 2.7 三角函數
  • 2.8 極坐標
  • 2.9 指數和對數
  • 2.10 極限
  • 2.11 導數
  • 2.12 積分
  • 2.13 序列、求和與級數
  • 2.14 更多二維繪圖
  • 2.15 三維繪圖
  • 2.16 多變量微積分
  • 2.17 矢量分析與可視化
  • 2.18 微分方程
  • 2.19 復分析
  • 2.20 矩陣與線性代數
  • 2.21 離散數學
  • 2.22 概率
  • 2.23 統計
  • 2.24 繪制數據與最佳擬合曲線
  • 2.25 群論
  • 2.26 數學難題
  • 2.27 交互模型
  • 2.28 數學排版顯示
  • 2.29 筆記本文檔
  • 2.30 雲部署

1 進入數學快速入門官網文檔

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2 面向數學學習的快速入門指南

2.1 內容輸入

在網絡或桌面 Wolfram 筆記本中，只須輸入內容，然后按下 SHIFT+ENTER 進行計算：

In[1]:=

Out[1]=

In[n] 和 Out[n] 標示出相鄰的輸入和輸出. % 符號指代最近的輸出：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

執行完計算以后，建議欄會提供下一步計算的建議：

在數學運算中可以使用標准符號：

（用空格或 * 表示乘法，不要用字符 “x”.）

In[1]:=

Out[1]=

用小括號（不是中括號或大括號）顯示不同層次的組合：

In[2]:=

Out[2]=

Wolfram 語言有大約 6,000 個內置函數，涵蓋了各個方面的數學知識.

用逗號分隔內置函數的參數，並將其置於方括號內：

In[1]:=	GCD[12, 15]

Out[1]=

如果不知道使用哪個函數，在行的開始處鍵入 = 即可進行自然語言輸入：

In[2]:=	plot a sine curve

Out[2]=

Lists 表示一些項的集合，用 { ... } 表示：

In[1]:=	{1, 2, 3} {x, y, z}

列表是有序的. 可以包含數字、變量、計算，甚至是其他列表：

許多運算是被應用到每個元素上的：

In[2]:=	{1, 2, 3} + 2

Out[2]=

從 1 開始，可以用 [[ ... ]] 來提取列表的元素：

In[3]:=	{a, b, c, d}[[3]]

Out[3]=

通過使用如 Range 這樣的函數可以輕松構建列表：

In[1]:=	Range[10]

Out[1]=

2.2 分數與小數

在 Wolfram 語言中，精確輸入（如分數）會提供精確的輸出：

（用 CTRL+ / 輸入分數.）

In[1]:=	1/4 + 1/3

Out[1]=

用 Together 寫成最小公分母的形式：

In[2]:=	Together[1/a + 1/b]

Out[2]=

任何含有小數的輸入給出近似輸出：

In[1]:=	.25 + 1/3

Out[1]=

用 N 得到結果的數字近似值：

In[2]:=	N[1/4 + 1/7]

Out[2]=

指定所示答案的准確度：

In[3]:=	N[1/4 + 1/7, 10]

Out[3]=

有些數字表示成 ScientificForm 形式會更合適：

In[1]:=	ScientificForm[0.00123]

Out[1]=

在適合的情況下，系統自動使用 ScientificForm 形式：

In[2]:=	N[100!]

Out[2]=

2.3 變量與函數

變量以字母開頭，可以含有數字：

（最好是用小寫字母，把大寫開頭留給內置函數.）

In[1]:=	a1/2

Out[1]=

兩個變量或數字間的空格表示相乘：

（換句話說，“a b” 表示 a 乘以 b，而 “ab” 則為變量 ab.）

In[2]:=	a b + 5 x x

Out[2]=

用 /. 和 -> 在表達式中進行替代操作：

（可用 -> 輸入 “rule” -> .）

In[3]:=	1 + 2 x /. x -> 2

Out[3]=

用 = 符號賦值：

In[1]:=	x = 2

Out[1]=

在表達式和命令中使用變量：

In[2]:=	1 + 2 x

Out[2]=

清除賦值，x 保持未計算狀態：

In[3]:=	Clear[x] 1 + 2 x

Out[3]=

用 f[x_]:= 來定義自己的函數：

In[1]:=	f[x_] := 1 + 2 x

x_ 表示 x 是一個模式，任何值都可以取代它.

:= 表示在計算時傳遞給 f 的任何參數將被代入右側：

In[2]:=	f[2]

Out[2]=

2.4 代數

可以因式分解或展開代數表達式：

（用 CTRL+6 輸入排版式指數.)

In[1]:=	Factor[x^2 + 2 x + 1]

Out[1]=

Wolfram 語言用 == （兩個等號）檢測是否相等：

In[1]:=	2 + 2 == 4

Out[1]=

用 == 把代數表達式組合在一起表示方程：

In[2]:=	1 + z == 15

Out[2]=

像 Solve 這樣的命令給出的是方程的精確解：

In[1]:=	Solve[x^2 + 5 x - 6 == 0, x]

Out[1]=

如果想要得到近似結果，用 NSolve：

In[2]:=	NSolve[7 x^2 + 3 x - 5 == 0, x]

Out[2]=

以列表形式把一個方程組傳遞給函數：

In[3]:=	Solve[{x^2 + 5 == y, 7 x - 5 == y}, {x, y}]

Out[3]=

求方程的根：

（|| 是 Or 的符號.）

In[1]:=	Roots[x^2 + 3 x - 4 == 0, x]

Out[1]=

如果一個多項式不易被因式分解，近似結果可能更有用：

In[2]:=	NRoots[360 + 234 x - 1051 x^2 + 11 x^3 + 304 x^4 - 20 x^5 == 0, x]

Out[2]=

Reduce 命令可把一組不等式化簡成簡單的形式：

（可鍵入 <= 得到 ≤ 符號.）

In[1]:=	Reduce[{0 < x < 2, 1 <= x <= 4}, x]

Out[1]=

簡化形式可以包含多個區間：

In[2]:=	Reduce[(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) > 0, x]

Out[2]=

NumberLinePlot 是可視化這些結果的簡便方法：

In[3]:=	NumberLinePlot[x < 1 || 2 < x < 3 || x > 4, {x, -10, 10}]

Out[3]=

通過自然語言輸入可以得到許多方程和公式：

In[1]:=	quadratic equation

Out[1]=

2.5 二維繪圖

生成多項式函數的二維曲線：

（區間 {x,min,max} 定義了繪圖范圍.）

In[1]:=	Plot[x^2 + 2 x + 1, {x, -10, 10}]

Out[1]=

或者繪制一組不等式的二維區域：

（&& 是 And 的符號.）

In[2]:=	RegionPlot[Reduce[{x^2 + y < 2 && x + y < 1}], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Out[2]=

有許多有用的選項可以用來自定義可視化，比如，可以加上圖例：

In[1]:=	Plot[{x^3, x^2, x}, {x, -2, 2}, PlotLegends -> "Expressions"]

Out[1]=

或對繪圖進行填充來查看曲線下的面積：

In[2]:=	Plot[1/x, {x, -3, 3}, Filling -> Axis]

Out[2]=

用 Show 來組合不同的繪圖類型：

In[1]:=	Show[{Plot[x^2 + 2, {x, -3, 3}], RegionPlot[2 x > y - 3, {x, -3, 3}, {y, 0, 9}]}]

Out[1]=

2.6 幾何

Graphics 命令可以生成各種各樣的二維形狀：

In[1]:=	Graphics[Disk[]]

Out[1]=

許多幾何對象接受一系列坐標（列表）作為參數：

In[2]:=	Graphics[Rectangle[{0, 0}, {4, 2}]]

Out[2]=

與指令一起以列表形式傳遞參數，把圖形組合在一起並改變它們的樣式：

In[3]:=	Graphics[{Green, Rectangle[{0, 0}, {2, 2}], Red, Disk[]}]

Out[3]=

用諸如 SASTriangle 這樣的命令生成三角形：

（鍵入 ESC+deg+ESC 可輸入 ° 符號.）

In[1]:=	tr = SASTriangle[1, 90 \[Degree], 2]

Out[1]=

可以直接算出如面積這樣的屬性：

In[2]:=	Area[tr]

Out[2]=

把該表達式傳遞給 Graphics：

In[3]:=	Graphics[tr]

Out[3]=

同樣，可以用 Graphics3D 顯示三維物體：

In[1]:=	Graphics3D[Ball[]]

Out[1]=

計算體積及其他屬性：

（如果沒有給出參數，圓柱的半徑為1，高度為 2.）

In[2]:=	Volume[Cylinder[]]

Out[2]=

還可以用自然語言輸入查找公式和其他信息：

In[3]:=	volume of a cone

Out[3]=

系統還內置有幾何變換，如 Rotate、Translate 和 Scale：

In[1]:=	Graphics[Rotate[Rectangle[], 45 \[Degree]]]

Out[1]=

2.7 三角函數

對於基本的三角函數，可以使用標准的縮寫形式（首字母大寫）：

In[1]:=	Sin[x]/Cos[x] == Tan[x]

Out[1]=

加上 “Arc” 求反函數：

In[2]:=	ArcTan[1]

Out[2]=

在弧度表達式中使用 Pi：

（鍵入 ESC+pi+ESC 來輸入 π 字符.）

In[1]:=	Sin[\[Pi]/2]

Out[1]=

或輸入 ESCd+eg+ESC 得到內置的 Degree 符號：

In[2]:=	Sin[90 \[Degree]]

Out[2]=

用恆等式自動展開（或化簡）三角表達式：

In[1]:=	TrigExpand[Sin[2 x]]

Out[1]=

因式分解三角多項式：

In[2]:=	TrigFactor[Cos[x]^2 - Sin[x]^2]

Out[2]=

也可以使用像 Solve 這樣的函數：

In[1]:=	Solve[Cos[x]^2 + Sin[x]^2 == x]

Out[1]=

指定解的值域：

In[2]:=	Solve[{Tan[x] == 1, 0 < x < 2 Pi}]

Out[2]=

2.8 極坐標

創建二維極坐標圖：

（鍵入 ESC+th+ESC 可得到 θ 符號.）

In[1]:=	PolarPlot[Sin[2 \[Theta]] + Cos[2 \[Theta]], {\[Theta], 0, 2 Pi}]

Out[1]=

顯示極坐標軸：

In[2]:=	PolarPlot[Sin[2 \[Theta]] + Cos[2 \[Theta]], {\[Theta], 0, 2 Pi}, PolarAxes -> Automatic, PolarTicks -> {0 \[Degree], 90 \[Degree], 180 \[Degree], 270 \[Degree]}]

Out[2]=

把直角坐標轉換成極坐標：

In[1]:=	ToPolarCoordinates[{1, 1}]

Out[1]=

2.9 指數和對數

Wolfram 語言用 E 表示指數常數.

Log 給出一個表達式的自然對數：

In[1]:=	Log[E^2]

Out[1]=

計算以 2 為基數的對數：

In[2]:=	Log[2, 64]

Out[2]=

在對數刻度上繪圖：

In[1]:=	LogPlot[E^x, {x, 1, 5}]

Out[1]=

把兩個坐標軸都設成對數刻度：

In[2]:=	LogLogPlot[x^2 + x^3, {x, 1, 100}]

Out[2]=

2.10 極限

計算表達式的極限值：

（鍵入 -> 可得到  符號.）

In[1]:=	Limit[(x^3 - 1)/(x - 1), x -> 1]

Out[1]=

求 Infinity 處的極限：

（鍵入 ESC+inf+ESC 可得到 ∞ 符號.）

In[2]:=	Limit[(2 x^3 - 1)/(5 x^3 + x - 1), x -> \[Infinity]]

Out[2]=

還可以指定極限的方向.

設置為 1 時從左側逼近極限：

In[1]:=	Limit[1/x, x -> 0, Direction -> 1]

Out[1]=

設置為 -1 時從右側逼近極限：

In[2]:=	Limit[1/x, x -> 0, Direction -> -1]

Out[2]=

用 HoldForm 將表達式保持為未計算狀態：

（TraditionalForm 用傳統的數學排版形式顯示.）

In[1]:=	TraditionalForm[HoldForm[Limit[1/x, x -> Infinity]]]

Out[1]=

2.11 導數

用命令 D 計算導數：

In[1]:=	D[x^6, x]

Out[1]=

或者使用角分符號：

In[2]:=	Sin'[x]

Out[2]=

對用戶定義的函數求導：

In[1]:=	f[x_] := x^2 + 2 x + 1; f'[x]

Out[1]=

繪制導數：

In[2]:=	Plot[{f[x], f'[x]}, {x, -3, 3}]

Out[2]=

還可以多次求導：

In[1]:=	D[x^6, {x, 3}]

Out[1]=

或者多次使用 ' 符號：

In[2]:=	Sin''[x]

Out[2]=

和前面討論過的主題一樣，也可以通過自然語言輸入得到微積分公式：

In[1]:=	product rule formula

Out[1]=

2.12 積分

用 Integrate 計算積分：

In[1]:=	Integrate[8 x^4, x]

Out[1]=

或輸入 ESC+intt+ESC 得到一個可填充的數學表達式：

（如果想了解更多關於可填充表達式的信息，請參閱數學排版顯示.）

In[2]:=	\[Integral]8 x^4 \[DifferentialD]x

Out[2]=

對於定積分，輸入 ESC+dintt+ESC 並指定上下限：

In[1]:=	\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(\[Pi]\)]\(Sin[ x] \[DifferentialD]x\)\)

Out[1]=

用 NIntegrate 來得到數值近似：

In[2]:=	NIntegrate[x^3 Sin[x] + 2 Log[3 x]^2, {x, 0, Pi}]

Out[2]=

2.13 序列、求和與級數

在 Wolfram 語言中，用列表表示整數序列.

用 Table 來定義一個簡單的序列：

In[1]:=	Table[x^2, {x, 1, 7}]

Out[1]=

系統內置有大家熟知的序列：

In[2]:=	Table[Fibonacci[x], {x, 1, 7}]

Out[2]=

用 RecurrenceTable 定義遞歸序列：

（注意 {x,min,max} 表示法的使用.）

In[1]:=	RecurrenceTable[{a[x] == 2 a[x - 1], a[1] == 1}, a, {x, 1, 8}]

Out[1]=

計算序列的 Total：

In[2]:=	Total[%]

Out[2]=

根據母函數計算序列的 Sum：

In[1]:=	Sum[i (i + 1), {i, 1, 10}]

Out[1]=

用 ESC+sumt+ESC 得到可填充的排版形式：

In[2]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(10\)]\(i \((i + 1)\)\)\)

Out[2]=

可以進行不定求和與多重求和計算：

In[3]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 1\), \(n\)]i\ j\)\)

Out[3]=

計算序列的母函數：

In[1]:=	FindSequenceFunction[{2, 4, 6, 8}, n]

Out[1]=

生成幾乎任意內置函數的組合的冪級數近似：

In[1]:=	Series[Exp[x^2], {x, 0, 8}]

Out[1]=

O[x]⁹ 表示省略掉的更高次數的項；用 Normal 來截斷這些項：

In[2]:=	Normal[%]

Out[2]=

給定一個未知或未定義的函數，Series 返回用導數表示的冪級數：

In[3]:=	Series[2 f[x] - 3, {x, 0, 3}]

Out[3]=

系統可自動化簡收斂級數：

In[1]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = 0\), \(\[Infinity]\)] \*SuperscriptBox[\(0.5\), \(n\)]\)

Out[1]=

2.14 更多二維繪圖

用 ParametricPlot 來繪制一組參數方程：

In[1]:=	ParametricPlot[{2 Cos[t] - Cos[2 t], 2 Sin[t] - Sin[2 t]}, {t, 0, 2 Pi}]

Out[1]=

用多個變量繪制函數的 ContourPlot：

In[1]:=	ContourPlot[Sqrt[x^2 + y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Out[1]=

用 DensityPlot 繪制連續形式的圖：

In[2]:=	DensityPlot[Sqrt[x^2 + y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Out[2]=

2.15 三維繪圖

Plot3D 可繪制三維的笛卡爾曲線或曲面：

In[1]:=	Plot3D[x^2 - y^2 , {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Out[1]=

用 ParametricPlot3D 繪制三維空間曲線：

In[2]:=	ParametricPlot3D[{Sin[u], Cos[u], u/10}, {u, 0, 20}]

Out[2]=

如果想在球面坐標系中繪圖，用 SphericalPlot3D：

In[3]:=	SphericalPlot3D[Sin[\[Theta]], {\[Theta], 0, Pi}, {\[Phi], 0, 2 Pi}]

Out[3]=

RevolutionPlot3D 通過繞軸旋轉一個表達式構建曲面：

In[1]:=	RevolutionPlot3D[x^4 - x^2, {x, -1, 1}]

Out[1]=

2.16 多變量微積分

D 可用於求偏導數，只需指定對哪個或哪些變量求導：

In[1]:=	D[x^3 z + 2 y^2 x + y z^3, y, z]

Out[1]=

或使用 ∂ 符號：

（鍵入 ESC+pd+ESC 可以輸入 ∂，CTRL+- 產生下標.）

In[2]:=	\!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(x, y\)]\(( \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)] - 2 x\ y + x\ y\ z)\)\)

Out[2]=

多重積分與單個積分的符號是一樣的：

(鍵入 ESC+int+ESC 可得到 ∫，用 ESC+dd+ESC 得到 .)

In[1]:=	\[Integral]\[Integral]\[Integral](x^2 + y^2 + z^2) \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x \[DifferentialD]z

Out[1]=

符號式結果常常相當復雜：

In[2]:=	\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(-1\), \(1\)]\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(-2\), \(x\)]\((x\ Sin[ \*SuperscriptBox[\(y\), \(2\)]] + y\ Cos[ \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]])\) \[DifferentialD]y \ \[DifferentialD]x\)\)

Out[2]=

這種情況下，總可以通過使用 N 命令得到近似結果：

In[3]:=	N[%, 5]

Out[3]=

2.17 矢量分析與可視化

在 Wolfram 語言中，用長度為 n 的列表表示 n 維矢量.

計算兩個矢量的點積：

In[1]:=	{1, 2, 3}.{a, b, c}

Out[1]=

輸入 ESC+cross+ESC 得到叉乘符號：

In[2]:=	{1, 2, c}\[Cross]{a, b, c}

Out[2]=

計算矢量的模：

In[1]:=	Norm[{1, 1, 1}]

Out[1]=

求矢量在 x 軸上的投影：

In[2]:=	Projection[{8, 6, 7}, {1, 0, 0}]

Out[2]=

求兩個矢量的夾角：

In[3]:=	VectorAngle[{1, 0}, {0, 1}]

Out[3]=

計算矢量的梯度：

（用 ESC+grad+ESC 輸入 ∇ 符號.）

In[1]:=	\!\( \*SubscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\)]\({ \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)] + y, x + \*SuperscriptBox[\(y\), \(2\)]}\)\)

Out[1]=

計算向量場的散度或旋度：

In[2]:=	Div[{f[x, y, z], g[x, y, z], h[x, y, z]}, {x, y, z}]

Out[2]=

Wolfram 語言擁有適合於可視化向量場的二維和三維函數：

In[1]:=	VectorPlot[{y, -x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Out[1]=

In[2]:=	VectorPlot3D[{y, -x, z}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}]

Out[2]=

在切片曲面上繪制向量場：

In[3]:=	SliceVectorPlot3D[{y, -x, z}, "CenterPlanes", {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]

Out[3]=

2.18 微分方程

Wolfram 語言可以求解常微分方程、偏微分方程和時滯微分方程 （ODE、PDE 和 DDE）.

DSolveValue 接受微分方程並返回通解：

（C[1] 表示積分常數.）

In[1]:=	sol = DSolveValue[y'[x] + y[x] == x, y[x], x]

Out[1]=

用 /. 替換常數：

In[2]:=	sol /. C[1] -> 1

Out[2]=

或為特解加上條件：

In[3]:=	DSolveValue[{y'[x] + y[x] == x, y[0] == -1}, y[x], x]

Out[3]=

NDSolveValue 可求出數值解：

In[1]:=	NDSolveValue[{y'[x] == Cos[x^2], y[0] == 0}, y[x], {x, -5, 5}]

Out[1]=

可直接繪制 InterpolatingFunction：

In[2]:=	Plot[%, {x, -5, 5}]

Out[2]=

如果想要求解微分方程組，把所有方程和條件都放在列表中：

（注意：換行符沒有任何影響.）

In[1]:=	{xsol, ysol} = NDSolveValue[ {x'[t] == -y[t] - x[t]^2, y'[t] == 2 x[t] - y[t]^3, x[0] == y[0] == 1}, {x, y}, {t, 20}]

Out[1]=

用參數圖可視化解：

In[2]:=	ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, 20}]

Out[2]=

2.19 復分析

虛部單位 表示為 I：

In[1]:=	I^2

Out[1]=

許多運算可以自動處理復數：

In[2]:=	(1 + I) (2 - 3 I)

Out[2]=

展開復數表達式：

In[1]:=	ComplexExpand[Sin[x + I y]]

Out[1]=

在指數形式和三角函數形式之間轉換表達式：

In[2]:=	ExpToTrig[E^(I x)]

Out[2]=

In[3]:=	TrigToExp[%]

Out[3]=

輸入 ESC+co+ESC 可得到 Conjugate 符號：

In[1]:=	(3 + 2 I)\[Conjugate]

Out[1]=

提取表達式的實部和虛部：

In[2]:=	ReIm[3 + 2 I]

Out[2]=

或求絕對值和輻角：

In[3]:=	AbsArg[(1 + I)]

Out[3]=

用 ParametricPlot 繪制保角映射：

In[1]:=	ParametricPlot[ReIm[E^(I \[Omega])], {\[Omega], 0, 2 \[Pi]}]

Out[1]=

在 PolarPlot 中使用 AbsArg：

In[2]:=	PolarPlot[AbsArg[E^(I \[Omega])], {\[Omega], 0, \[Pi]}]

Out[2]=

用 DensityPlot 可視化復分量：

In[3]:=	DensityPlot[Im[ArcSin[(x + I y)^2]], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Out[3]=

2.20 矩陣與線性代數

Wolfram 語言用列表的列表表示矩陣：

In[1]:=	{{1, 2}, {3, 4}}

輸入一個表格，用 CTRL+ ENTER 輸入行，用 CTRL+ , 輸入列：

In[2]:=	{ {a, b}, {c, d} }

Out[2]=

MatrixForm 將輸出顯示為一個矩陣：

In[3]:=	MatrixForm[{{a, b}, {c, d}}]

Out[3]=

可以用迭代函數構建矩陣：

In[1]:=	Table[x + y, {x, 1, 3}, {y, 0, 2}]

Out[1]=

或導入表示矩陣的數據：

In[2]:=	Import["data.csv"]

Out[2]=

IdentityMatrix、DiagonalMatrix 和其他類似命令為內置符號.

標准的矩陣運算對元素進行操作：

In[1]:=	{1, 2, 3} {a, b, c}

Out[1]=

計算兩個矩陣的點積：

In[2]:=	{{1, 2}, {3, 4}}.{{a, b}, {c, d}}

Out[2]=

求行列式：

In[3]:=	Det[{{a, b}, {c, d}}]

Out[3]=

獲取矩陣的逆：

In[4]:=	Inverse[{{1, 1}, {0, 1}}]

Out[4]=

用 LinearSolve 求解線性系統：

In[1]:=	LinearSolve[{{1, 1}, {0, 1}}, {x, y}]

Out[1]=

還有用於最小化和矩陣分解的函數.

2.21 離散數學

進行基本的數論運算，如因子分解：

In[1]:=	FactorInteger[30]

Out[1]=

求任意兩個整數的最大公約數（或最小公倍數 ）：

In[2]:=	GCD[24, 60]

Out[2]=

顯示第 4 個質數：

In[1]:=	Prime[4]

Out[1]=

判斷一個數是否是質數：

In[2]:=	PrimeQ[%]

Out[2]=

也可以進行互質判定：

In[3]:=	CoprimeQ[51, 15]

Out[3]=

用 Mod 函數求余數：

In[1]:=	Mod[17, 5]

Out[1]=

獲取一個列表所有可能的排列：

In[1]:=	Permutations[{a, b, c}]

Out[1]=

用不相交 Cycles 對列表應用 Permute：

（Cycles 接受列表的列表作為參數.）

In[2]:=	Permute[{a, b, c, d}, Cycles[{{2, 4}, {1, 3}}]]

Out[2]=

求置換階數：

In[3]:=	PermutationOrder[Cycles[{{2, 4}, {1, 3}}]]

Out[3]=

根據邊的列表生成 Graph：

（用 ESC+ue+ESC 輸入 UndirectedEdge，或用 ESC+de+ESC 輸入 DirectedEdge.）

In[1]:=	Graph[{1 <-> 2, 2 \[DirectedEdge] 3, 3 \[DirectedEdge] 4, 4 <-> 1, 3 \[DirectedEdge] 1, 2 \[DirectedEdge] 2}, VertexLabels -> All]

Out[1]=

求兩個頂點間最短的路徑：

In[2]:=	FindShortestPath[%, 3, 2]

Out[2]=

用自然語言輸入了解眾所周知的圖：

In[3]:=	pappus graph image

Out[3]=

2.22 概率

Wolfram 語言含有范圍廣泛的概率函數，以及幾百個符號分布.

用數學符號計算階乘：

In[1]:=	5!

Out[1]=

對於組合，可使用 Binomial：

In[2]:=	Binomial[4, 3]

Out[2]=

計算二項分布的概率：

（鍵入 ESC+dist+ESC 可得到 符號.)

In[1]:=	Probability[x == 1, x \[Distributed] BinomialDistribution[1, 1/2]]

Out[1]=

計算多項式的期望：

In[2]:=	Expectation[2 x + 3, x \[Distributed] NormalDistribution[]]

Out[2]=

獲取正態分布的符號式 PDF：

In[1]:=	PDF[NormalDistribution[0, 1], x]

Out[1]=

對結果繪圖：

In[2]:=	Plot[%, {x, -5, 5}, Filling -> Axis]

Out[2]=

自由格式輸入可用來計算現實世界事件的概率：

In[1]:=	birthday problem 18 people

Out[1]=

2.23 統計

在 Wolfram 語言中，統計函數可接受列表或符號分布作為參數：

計算一組數字的均值：

In[1]:=	Mean[{1, 2, 4, 5}]

Out[1]=

求多個列表的相關：

In[2]:=	Correlation[{1, 3, 5}, {6, 4, 2}]

Out[2]=

求泊松分布的標准差：

In[3]:=	StandardDeviation[PoissonDistribution[2]]

Out[3]=

計算一組符號的矩：

In[1]:=	Moment[{x, y, z}, 2]

Out[1]=

獲取分布的矩母函數：

（鍵入 ESC+m+ESC 可得到 μ，或鍵入 ESC+s+ESC 得到 σ.)

In[2]:=	MomentGeneratingFunction[NormalDistribution[\[Mu], \[Sigma]], t]

Out[2]=

用 RandomVariate 產生統計數據：

（用 //Short 來得到輸出的簡短總結.）

In[1]:=	RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], {500, 2}] // Short

Out[1]=

可視化所得數據：

In[2]:=	Histogram3D[%]

Out[2]=

2.24 繪制數據與最佳擬合曲線

用 ListPlot 繪制數據點：

In[1]:=	ListPlot[{1, 3, 4, 7, 9, 15}]

Out[1]=

或用圖表顯示信息：

In[2]:=	BarChart[{1, 2, 3, 4, 5}]

Out[2]=

有專門的函數繪制時間序列、金融數據，還有許多其他繪圖函數.

自動對多個數據集添加不同的顏色以示區分：

In[1]:=	ListLinePlot[{{1, 2, 3, 4, 5}, {1, 3, 7, 10, 17}}]

Out[1]=

通過使用如 PlotTheme 這樣的選項可以改變繪圖的樣式和外觀.

用 Fit 命令找到最佳擬合曲線：

（{1,x,x²} 表示 x 的二次擬合.）

In[1]:=	Fit[{2, 3, 5, 7, 11, 13}, {1, x, x^2}, x]

Out[1]=

用 Show 將曲線與數據點相比較：

In[2]:=	Show[{Plot[%, {x, 1, 6}], ListPlot[{2, 3, 5, 7, 11, 13}]}]

Out[2]=

2.25 群論

SymmetricGroup、AlternatingGroup、DihedralGroup 和許多其他已命名群屬於內置符號.

獲取群的元素列表：

In[1]:=	GroupElements[SymmetricGroup[2]]

Out[1]=

確定群的生成元：

In[2]:=	GroupGenerators[SymmetricGroup[3]]

Out[2]=

用兩個生成元創建一個置換群：

In[1]:=	PermutationGroup[{Cycles[{{3, 1, 2}}], Cycles[{{2, 5, 6}}]}]

計算階數：

In[2]:=	GroupOrder[%]

Out[2]=

顯示群的乘法表：

In[1]:=	TableForm[GroupMultiplicationTable[DihedralGroup[2]], TableHeadings -> Automatic]

Out[1]=

用 Cayley 圖可視化：

In[2]:=	CayleyGraph[DihedralGroup[2]]

Out[2]=

2.26 數學難題

Wolfram 語言是解決極具挑戰性的數學難題和游戲的絕佳平台. 一旦明白其中的原理，用它來做研究就會得心應手.

假設你想在 100 萬以內找出與 100 萬沒有公因子的正整數的個數.

那就從用 CoprimeQ 把前 100 萬個正整數與 100 萬相比開始.

In[1]:=	CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] // Short

Out[1]=

通過用 Nothing 替換結果為 False 的項，自動將其移除：

In[2]:=	% /. False -> Nothing // Short

Out[2]=

然后計算所得列表的長度：

In[3]:=	Length[%]

Out[3]=

把這些步驟放在一條命令中：

In[4]:=	Length[CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] /. False -> Nothing]

Out[4]=

符號表達式經常能給出直接解. 給定一個正整數 k，你能找出計算 1^k+2^k+...+n^k 的和的公式嗎？

k=2 時的解：

In[1]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)] \*SuperscriptBox[\(i\), \(2\)]\)

Out[1]=

通用解是第 n 個階數為 −k 的調和數：

In[2]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)] \*SuperscriptBox[\(i\), \(k\)]\)

Out[2]=

利用內置圖形可以很容易地可視化幾何問題. 來看下面的圖形：

In[1]:=	Labeled[Graphics[ shape = {Rectangle[], Rectangle[{0, 1}], Rectangle[{1, 0}]}], n]

Out[1]=

對於給定的基底長度 n，可不可能用類似的基底長度為 1 的形狀來填充這個圖形？

n=2 時的解：

In[2]:=	Graphics[{ Scale[shape, 2, {0, 0}], {Yellow, shape}, {Green, Translate[shape, {1, 1}]}, {Blue, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]}, {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]} }]

Out[2]=

n=3 時的解：

In[3]:=

Graphics[{ Scale[shape, 3, {0, 0}], {Orange, shape}, {Magenta, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]}, {Green, Translate[shape, {1, 1}]}, {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]}, {Black, Translate[shape, {0, 4}]}, {Blue, Translate[Rotate[shape, 180 \[Degree]], {1, 4}]}, {Gray, Translate[shape, {2, 2}]}, {Purple, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {4, 1}]}, {Yellow, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {4, 0}]} }]

Out[3]=

可以通過自然語言輸入獲取有名的游戲、難題和謎題：

In[1]:=	Tower of Hanoi 2 disk solution

Out[1]=

2.27 交互模型

通過 Manipulate 命令可以交互式地實時查看改變參數會發生什么：

In[1]:=	Manipulate[Plot[Sin[f x], {x, -3, 3}, Filling -> Axis], {f, 1, 5}]

Out[1]=

一個單獨的 Manipulate 命令中可以有多個控件，Wolfram 語言將自動選擇控件最合適的布局：

In[1]:=	Manipulate[Plot[Sin[f*x + p], {x, -3, 3}, Filling -> fill, PlotStyle -> color], {f, 1, 5}, {p, 3, 9}, {fill, {Bottom, Top, Axis}}, {color, Red}]

Out[1]=

Wolfram 語言中的任意表達式都可被操控，包括非圖形表達式：

In[1]:=	Manipulate[Expand[(a + b)^n], {n, 1, 20, 1}]

Out[1]=

2.28 數學排版顯示

用鍵盤快捷鍵（如 CTRL+/ 可用於分數的輸入）插入可填充的排版表達式：

（點擊方框突出顯示並填充，或按下 TAB 在各方框間移動.）

這是輸入指數 (CTRL+6)、下標 (CTRL+-) 和其他常見表達式的簡單方法.

在筆記本中按下 ESC 鍵得到 符號，可用在鍵盤快捷輸入形式

（在文檔中常記為 ESC+alias+ESC )中.

鍵入正確的別名，當右側的輸入完成后，表達式就會發生改變：

（偏微分 “partial derivative” 的別名是 “pd”.）

產生求和、積分和其他高級表達式的方法為：

（定積分 “definite integral” 的別名是 “dintt”.）

許多希臘字母和其他特殊字符也使用這種形式.

在桌面版的筆記本中，可以選擇面板菜單中的“數學助手”查看可用的排版形式.

點擊面板上的按鈕即可在鼠標所在處插入一個可填充表達式：

使用 TraditionalForm 命令以傳統數學符號顯示任意表達式：

In[1]:=	TraditionalForm[(y + 3)^2/((y - 2) (y + 5))]

Out[1]=

用 SHIFT+CMD+T （SHIFT+ALT+T)把現有單元轉換成 TraditionalForm：

（TraditionalForm 形式的表達式仍然是可計算的.）

In[2]:=	Limit[(x^2 - 1)/(x - 1), x -> 0]

In[3]:=	\!\(\*UnderscriptBox[\(lim\), \(x \[Rule] 0\)]\)( x^2 - 1)/(x - 1)

Out[3]=

2.29 筆記本文檔

可以在桌面或網頁上使用 Wolfram 筆記本，它成功地把文字、圖形、界面等與計算融合在一起：

筆記本是按單元組織的，並由右邊的方括號指定，

雙擊單元方括號打開或關閉單元組，

在單元間點擊可以獲取水平插入條，以便創建一個新的單元；

拷貝、粘貼、刪除任何單元集合等.

選中任何單元集合並按住 SHIFT+ENTER 對輸入進行計算.

在筆記本中可以加上標題、章節或文本單元：

把筆記本轉換成幻燈片也是易如反掌：

與 Wolfram 語言的其他內容一樣，文檔也是可被程序化改變的符號表達式.

2.30 雲部署

CloudDeploy 可把對象部署到 Wolfram Cloud.

創建一個有正弦波圖片的網頁：

In[1]:=	CloudDeploy[Plot[Sin[x], {x, 0, 50}]]

[Out1]=

部署一個動態界面：

In[1]:=	CloudDeploy[Manipulate[Plot[Sin[f x], {x, 0, 2 Pi}], {f, 1, 10}]]

[Out1]=

無論是否是動態部署，從筆記本部署的內容都會保留其樣式.

用 CloudDeploy[Delayed[...]] 部署表達式，每次被請求時都對其重新進行計算.