線性代數同濟第六版基礎知識點匯總

第一章 行列式

第一節 二階與三階行列式

二階行列式定義

已經數表

則表達式稱為由數表所確定的二階行列式，記作

行列式的元素

數稱為行列式的元素或元。元素的第一個下標 i 代表 行標，元素的第二個下標 j 代表 列標。

二階行列式的計算

利用對角線法則進行計算，實連線稱為主對角線，虛連線稱為副對角線。

三階行列式定義

設有九個數字組成的三行三列數表

記

第二節 全排列和對換

全排列定義

把 n 個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素的全排列。

逆序定義

對於 n 個不同的元素，先規定各元素之間有一個標准次序，在這 n 個元素的任一排列中，當某一對元素的先后次序與標准次序不同時，就說構成一個逆序。

逆序數定義

一個排列中所有逆序的總數叫做這個排列的逆序數。

定理1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。

定理1推論

奇排列對換成標准排列的對換次數為奇數，偶排列對換成標准排列的對換次數為偶數。

第三節 n階行列式的定義

定義2

設有個數，排列成 n 行 n 列的數表

，

則

（t為這個排列的逆序數)稱為 n 項行列式，

記作

簡記為。

三角形列式

主對角線以上（以下）的元素都為 0 的行列式叫做上（下）三角形行列式。

對角行列式

主對角線以上和以下的元素都為 0 的行列式叫做對角行列式。

第四節 行列式的性質

性質1

行列式與它的轉置行列式相等。

即

性質2

對換行列式的兩行（列），行列式變號。

性質2推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等於零。

性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一數 k，等於用數 k 乘此行列式。

性質3推論

行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面。

性質4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等於零。

性質5

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如第 i 行的元素都是兩數之和

，

性質6

把行列式的某一行（列）的各元素乘同一數然后加到另一行（列）對應的元素之上，行列式不變。

• 任何 n 階行列式總能利用運算把行列式轉化為上三角行列式。

第五節行列式按行（列）展開

余子式的定義

在 n 階行列式中，把元所在第 i 行和第 j 列划去后，留下來的 n-1 階行列式叫做元的余子式，記作

代數余子式的定義

記叫做元的代數余子式。

引理（用於求行列式D）

一個 n 階行列式，如果其中第 i 行所有元素除元外都為零，那么這行列式等於與它的代數余子式的乘積，

即

定理2（行列式按行/列展開法則）

行列式等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，

即

定理2推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等於零，

即

第二章 矩陣及其運算

第一節 線性方程組和矩陣

線性方程組（非齊次線性方程和齊次線性方程）

​ n 元非齊次線性方程，

​ n 元齊次線性方程，

• n 元齊次線性方程一定存在的零解，但是不一定有非零解。

矩陣的定義

由個數排成的 m 行 n 列的數表

稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱矩陣，

記作

元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣。

方陣定義

行數和列數都等於 n 的矩陣稱為 n 階矩陣或 n 階方陣。

行矩陣

只有一行的矩陣

稱為行矩陣，又稱行向量。

列矩陣

只有一列的矩陣

稱為列矩陣，又稱列向量。

同型矩陣

兩個矩陣的行數相等，列數也相等時，就稱它們是同型矩陣。

零矩陣

元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作 O。

注：不同型的零矩陣是不同的。

系數矩陣 未知數矩陣 常數項矩陣 增廣矩陣

，

其中稱為系數矩陣，稱為未知數矩陣，稱為常數項矩陣，稱為增廣矩陣。

對角矩陣

從左上角到右下角的直線（叫做對角線）以外的元素都是 0 ，這種方陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣，

記作，也記作

單位矩陣

對角線上的元素都是 1 ，稱為 n 階單位矩陣，簡稱單位陣，

記作

第二節 矩陣的運算

矩陣的加法

設有兩個矩陣，那么矩陣 A 與矩陣 B 的和記作 A + B，規定為

注意：只有當兩個矩陣為同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運算。

矩陣加法的運算規律

矩陣加法滿足的規律：

負矩陣和矩陣的減法

-A 稱為 A 的負矩陣，有

故矩陣的減法為

數與矩陣相乘

數與矩陣 A 的乘積記作，規定為

數乘矩陣的運算規律

數乘矩陣滿足的規律：

• 矩陣加法與數乘矩陣統稱為矩陣的線性運算。

矩陣與矩陣相乘

設是一個矩陣，是一個矩陣，那么規定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個矩陣，其中

記作

矩陣乘法注意事項：

1. 一個行矩陣與一個列矩陣的乘積是一個階方陣，也就是一個數 。
2. 只有當第一個矩陣（左矩陣）的列數等於第二個矩陣（右矩陣)的行數時，兩個矩陣才能相乘。
3. 在矩陣乘法中必須注意矩陣相乘的順序，矩陣乘法不滿足交換律。

矩陣乘法的運算規律

矩陣乘法滿足的規律：

矩陣的冪

矩陣的冪的運算規律

轉置矩陣

把矩陣 A 的行換成同序列數的列得到一個新矩陣，叫做 A 的轉置矩陣，記作

轉置矩陣的運算規律

矩陣的轉置滿足的規律：

對稱矩陣

設 A 為 n 階方陣，如果滿足，那么 A 稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣。

• 特點：它的元素以對角線為對稱軸對應相等。

方陣的行列式

由 n 階方陣 A 的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣 A 的行列式，記作。

• 方陣和行列式是兩個不同的概念
  • n 階方陣是個數按一定方式排成的數表。
  • n 階行列式則是這些數（也就是數表 A ）按一定的運算法則所確定的一個數。

方陣的行列式的運算規律

由A確定的的這個運算滿足下述運算規律：

伴隨矩陣的定義

行列式的各個元素的代數余子式所構成的如下的矩陣稱為 A 的伴隨矩陣，簡稱伴矩陣。

第三節 逆矩陣

逆矩陣的定義

對於 n 階矩陣 A，如果有一個 n 階矩陣 B，使則說矩陣 A 是可逆的，並把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣，簡稱逆陣，記作，即若

• 如果矩陣 A 是可逆的，那么 A 的逆矩陣是惟一的。

逆矩陣的運算規律

逆矩陣滿足的運算規律：

定理1

若矩陣 A 可逆，則。

定理2

若，則矩陣 A 可逆，且

其中為矩陣 A 的伴隨矩陣。

奇異矩陣的定義

當時，A 稱為奇異矩陣，又稱滿秩矩陣，否則稱非奇異矩陣。

• A 是可逆矩陣的充分必要條件是，即可逆矩陣就是非奇異矩陣，也稱為降秩矩陣。

推論

若，則

第四節 克拉默法則

克拉默法則的定義

如果線性方程組的系數矩陣 A 的行列式不等於零

那么方程組有惟一解

其中是把系數矩陣 A 中第 j 列的元素用方程組右端的常數項 代替后所得到的 n 階矩陣，即

運用克拉默法則的條件

1. 方程個數與未知數個數相等。
2. 系數行列式不等於零。

第五節 矩陣分塊法

分塊矩陣

將矩陣 A 用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為 A 的子塊，以子塊元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

• 分塊法的核心思想：使大矩陣的運算化為小矩陣的運算。
• 對矩陣分塊時有兩種分塊方法
  • 按列分塊
  • 按行分塊
• 利用矩陣的按行（列）分塊，還可以給出線性方程組的另一矩陣表示形式，重新回到線性方程組。

分塊矩陣的運算規律

分塊矩陣滿足的規律：

，

，

，

分塊對角矩陣

設 A 為 n 階方陣，若 A 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在對角線上的子塊都是方陣，其中都是方陣，那么稱 A 為分塊對角矩陣。

第三章 矩陣的初等變換和線性方程組

第一節矩陣的初等變化

矩陣的初等行變換

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：

1. 對換兩行（對換兩行，記作
2. 以數乘某一行中的所有元（第 i 行乘 k ，記作；
3. 把某一行所有元的 k 倍加到另一行對應的元上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，記作。

• 矩陣的初等行變換和初等列變化統稱為矩陣的初等變換。

矩陣A與B的等價

如果矩陣 A 經有限次初等行變換變成矩陣 B，就稱矩陣 A 與 B 行等價，記作

如果矩陣 A 經有限次初等列變換變成矩陣 B，就稱矩陣 A 與 B 列等價，記作

如果矩陣 A 經有限次初等變換變成矩陣 B，就稱矩陣 A 與 B 等價，記作

矩陣之間等價關系具有的性質

1. 反身性：A ~ A；
2. 對稱性：若 A ~ B，則 B ~ A；
3. 傳遞性：若 A ~ B，B ~ C，則 A ~ C 。

行階梯形矩陣的定義

1. 非零矩陣若滿足

   1. 非零行在零行上面；
   2. 非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的話）的首非零元所在列的右面。

   則稱此矩陣為行階梯形矩陣。

2. 進一步，若 A 是行階梯形矩陣，並滿足：

   1. 非零行的首非零元為 1 ；
   2. 首非零元所在的列的其他元均為 0 。

   則稱A為行最簡形矩陣。

• 對於任何非零矩陣，總可以經有限次初等行變換把它變為行階梯形矩陣和最簡形矩陣。
• 要解線性方程組只需把增廣矩陣化為行最簡行矩陣。
• 一個矩陣的行最簡形矩陣是惟一確定的（行階梯形矩陣中非零行的行數也是惟一確定的）。

標准形

對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱為標准形。

標准形的特點

• 標准形的左上角是一個單位矩陣 E，其余元全為 0 。
• 對於矩陣 A，總可經過初等變換（行變換和列變換)把它化為標准形其中 r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數。

定理1

設 A 與 B 為矩陣，那么

1. 的充分必要條件是存在 m 階可逆矩陣 P，使；
2. 的充分必要條件是存在 n 階可逆矩陣 Q，使；
3. 的充分必要條件使存在 m 階可逆矩陣 P 以及 n 階可逆矩陣 Q，使

初等矩陣的定義

由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。

性質1

設 A 是一個矩陣，對A施行一次初等行變換，相當於在 A 的左邊乘相應的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換，相當於在 A 的右邊乘相應的 n 階初等矩陣。

• 初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣是同一類型的初等矩陣：

  

性質2

方陣 A 可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣，使

推論

方陣 A 可逆的充分必要條件使

第二節 矩陣的秩

矩陣的子式的定義

在矩陣 A 中，任取 k 行與 k 列，位於這些行列交叉處的個元素，不改變它們在 A 中所處的位置次序而得的 k 階行列式，稱為 A 的 k 階子式。

• 矩陣A的 k 階子式共有個。

引理

設，則 **A **與 B 中非零子式的最高階數相同。

矩陣的秩的定義

設在矩陣 A 中有一個不等於零的 r 階子式 D，且所有階子式（如果存在的話）全等於零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數 r 稱為矩陣的秩，記作。

• 規定零矩陣的秩為零。
• 就是 A 的非零子式的最高階數。
• 若矩陣 A 中有某個 s 階子式不為 0,則，若 A 中所有 t 階子式全為 0，則
• 由於行列式與其轉置行列式相等，因此的子式與 A 的子式對應相等，從而
• 對於 n 階矩陣 A，由於 A 的 n 階子式只有一個，故當時，當時.可見可逆矩陣的秩等於矩陣的階數，不可逆矩陣的秩小於矩陣的階數。

定理2

若 ，則

定理2推論

若可逆矩陣P、Q使 ，則

• 把矩陣化為行階梯形矩陣求秩是方便而有效的方法。

矩陣的秩的性質

矩陣秩基本性質：

常用性質：

列滿秩矩陣

矩陣 A 的秩等於它的列數，這樣的矩陣叫做列滿秩矩陣。當 A 為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣。

矩陣乘法的消去律

設，若A為列滿秩矩陣，則

第三節 線性方程組的解

定理3

n 元線性方程

1. 無解的充分必要條件使
2. 有惟一解的充分必要條件是
3. 有無限多解的充分必要條件是

定理4

n 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是

• 定理4是定理3第3點的特殊情形。

定理5

線性方程組有解的充分必要條件是

定理6

矩陣方程有解的充分必要條件是

第四章 向量組的線性相關性

第一節 向量組及其線性組合

向量的定義

n 個有次序的數所組成的數組稱為 n 維向量，這 n 個數稱為該向量的 n 個分量，第 i 個數稱為第 i 個分量。

• 分量全為實數的向量稱為實向量，分量為復數的向量稱為復向量。
• n 為向量可寫成一行，也可以寫成一列，分別稱為行向量和列向量，也就是行矩陣和列矩陣。

向量組的定義

若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組。

線性組合的定義

給定向量組,對於任一組實數，表達式稱為向量組A 的一個線性組合，稱為線性組合的系數。

定理1

向量 b 能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等於矩陣的秩。

向量組等價的定義

設有兩個向量組：及，若 B 組中的每個向量都能由向量組 A 線性表示，則稱向量組 B 能由向量組 A 線性表示。若向量組 A 與向量組 B 能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。

定理2

向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等於矩陣的秩，即

定理2推論

向量組與向量組等價的充分必要條件是

其中 A 和 B 是向量組 A 和 B 所構成的矩陣。

定理2'

向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是

定理3

設向量組能由向量組線性表示，

則

定理3'

若向量組 B 能由向量組 A 線性表示，則

第二節 向量組的線性相關性

定義4

給定向量組，如果存在不全為零的數，使，則稱向量組 A 是線性相關的，否則稱它線性無關。

• 對於只含一個向量 a 的向量組，當時是線性相關的，當時是線性無關的。

定理5

1. 若向量組線性相關，則向量組也線性相關。反之，若向量組B線性無關，則向量組A線性無關。
2. m 個 n 維向量組成的向量組，當維數 n 小於向量個數 m 時一定線性相關。特別地 n + 1 個 n 維向量一定線性相關。
3. 設向量組線性無關，而向量組線性相關，則向量 b 必能由向量組 A 線性表示，且表示式時惟一的。

第三節 向量組的秩

最大無關組的定義

設有向量組 A，如果在 A 中能選出 r 個向量，滿足

1. 向量組線性無關；
2. 向量組 A 中任意 r + 1 個向量（如果 A 中有 r + 1 個向量的話）都線性相關

那么稱向量組是向量組 A 的一個最大線性無關向量組（簡稱最大無關組)，最大無關組所含向量個數r稱為向量組A的秩，記作

• 只含零向量的向量組沒有最大無關組，規定它的秩為 0 。
• 若向量組 A 線性無關，則 A 自身就是它的最大無關組，而其秩就等於它所含向量的個數。

推論（最大無關組的等價定義）

設向量組是向量組 A 的一個部分組，且滿足

1. 向量組線性無關；
2. 向量組 A 的任一向量都是能由向量組線性表示，

那么向量組便是向量組A的一個最大無關組。

定理6

矩陣的秩等於它的列向量的秩，也等於它的行向量的秩。

第四節 線性方程組解的結構

性質1

若為為向量方程的解，則也是方程的解。

性質2

若為向量方程的解，k 為實數，則也是向量方程的解。

基礎解系的定義

齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程的基礎解系。

• 求齊次線性方程組的通解，只需要求出它的基礎解系。

定理7

設矩陣A的秩，則 n 元齊次線性方程組的解集 S 的秩

性質3

設及都是線性方程的解，則為對應的齊次線性方程組的解。

性質4

設是方程的解，是方程的解，則仍是方程的解。

非齊次線性方程的解的結構

非齊次方程的通解 = 對應的齊次方程的通解 + 非齊次方程的一個特解 。

第五節 向量空間

向量空間的定義

設 V 為 n 維向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 對於向量的加法及數乘兩種運算封閉，那么就稱集合 V 為向量空間。

• 封閉：是指在集合 V 中可以進行向量的加法及數乘兩種運算。

解空間

n 元齊次線性方程組的解集

是一個向量空間（稱為齊次線性方程組的解空間)。

• 解集 S 對向量的線性運算封閉。

子空間的定義

設有向量空間及，若，就稱是的子空間。

定義8

設 V 為向量空間，如果 r 個向量，且滿足

1. 線性無關；
2. V 中任一向量都可由線性表示，

那么，向量組就稱為向量空間 V 的一個基，r 稱為向量空間 V 的維數，並稱 V 為 r 維向量空間。

定義9

如果在向量空間 V 中取定一個基，那么 V 中任一向量 x 可惟一地表示為數組稱為向量 x 在基中的坐標。

• 特別地，叫做向量空間中的自然基。

第五章 相似矩陣及二次型

第一節 向量的內積、長度及正交性

內積的定義

設有 n 維向量令，稱為向量 x 與 y 的內積。

• 內積是兩個向量之間的一種運算，其結果是一個實數，用矩陣記號表示，當 **x ** 與 **y ** 都是列向量時，有
• 當時，稱向量 x 與 y 正交。

內積具有的性質

1. ；
2. ；
3. ；
4. ；

施瓦茨不等式

向量長度（范數）的定義

令，稱為 n 維向量 x 的長度（或范數)。

向量長度的性質

1. 非負性：當時，；當時，；
2. 齊次性：；

單位向量

當時，稱為單位向量。

定理1

若 n 維向量是一組兩兩正交的非零向量，則線性無關。

• 正交向量組線性無關。

標准正交基的定義

設 n 維向量是向量空間的一個基，如果兩兩正交，且都是單位向量，則稱是的一個標准正交基。

施密特正交化

上述從線性無關向量組導出正交向量組的過程稱為施密特正交化。

正交矩陣的定義

如果 n 階矩陣 A 滿足，那么稱 A 為正交矩陣，簡稱正矩陣。

• 方陣 **A **為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交。

正交矩陣的性質

正交矩陣有以下性質：

1. 若 A 為正交矩陣，則也是正交矩陣，且；
2. 若 A 和 B 都是正交矩陣，則 AB 也是正交矩陣。

正交變換的定義

若 P 為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換。

幾何不變性

設為正交變換，則有，由於表示向量的長度，相當於線段的長度，因此

說明經過正交變換線段長度保持不變（從而三角形形狀保持不變)。

第二節 方陣的特征值與特征向量

特征值的定義

設 A 是 n 階矩陣，如果數和 n 維非零列向量 x 使關系式成立，那么，這樣的數稱為矩陣 A 的特征值，非零向量 x 稱為 A 的對應於特征值的特征向量。關系式也可寫成，這是個未知數 n 個方程大的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件使系數行列式，

即

• 為A的特征方程，稱為 A 的特征多項式，顯然 A 的特征值就是特征方程的解。

定理2

設使方陣 A 的 m 個特征值，依次是與之對應的特征向量，如果各不相等，則線性無關。

推論

設和是方陣 **A **的兩個不同特征值，和分別對應於和的線性無關的特征向量，則線性無關。

第三節 相似矩陣

相似矩陣的定義

設 A、B 都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣P，使，則稱 B 是 A 的相似矩陣，或說矩陣 A 與 B 相似。

定理3

若 n 階矩陣 A 與 B 相似，則 A 與 B 的特征多項式相同，從而 A 與 B 的特征值亦相同。

推論

若 n 階矩陣 A 與對角矩陣相似，則即是 A 的 n 個特征值。

定理4

n 階矩陣 **A **與對角矩陣相似（即 A 能對角化）的充分必要條件是 A 有 n 個線性無關的特征量。

推論

如果 n 階矩陣 A 的 n 個特征值互不相等，則 A 與對角矩陣相似。

第四節 對稱矩陣的對角化

性質1

對稱矩陣的特征值為實數。

性質2

設是對稱矩陣A的兩個特征值，是對應的特征向量。若，則與正交。

定理5

設 A 為 n 階對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使，其中是以的 n 個特征值為對角元的對角矩陣。

推論

設 A 為 n 階對稱矩陣，是 A 的特征方程的 k 重根，則矩陣的秩，從而對應特征值恰有 k 個線性無關的特征向量。

第五節 二次型及標准形

二次型的定義

含有 n 個變量的二次齊次函數

稱為二次型。

• 當為復數時，稱為復二次型；當為實數時，稱為實二次型。
• 任給一個二次型，就惟一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也惟一地確定一個二次型。因此，我們把對稱矩陣 A 叫做二次型的矩陣，也把叫做對稱矩陣 A 的二次型，對稱矩陣A的秩就叫做二次型的秩。

標准形的定義

只含有平方項的二次型，稱為二次型的標准形（或法式）。

規范形的定義

如果標准形的系數只在 1 ， -1 ， 0 三個數中取值，則稱為二次型的規范形。

合同的定義

設 A 和 B 是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 C ，使，則稱矩陣 A 與 B 合同。

定理6

任給二次型，總有正交變換，使化為標准形，其中是的矩陣的特征值。

推論

任給 n 元二次型，總有可逆變換，使為規范形。

第六節 用配方法化二次型成標准形

第七節 正定二次型

定理7（慣性定理）

設二次型的秩為 r ，且有兩個可逆變換使或，則中正數的個數與中正數的個數相等。

• 二次型的標准形中正系數的個數稱為二次型的正慣性系數，負系數的個數稱為負慣性指數。

定義10

設二次型，如果對任何，都有（顯然

)，則稱為正定二次型，並稱對稱矩陣 A 是正定的；如果對任何都有，則稱為負定二次型，並稱對稱矩陣 A 是負定的。

定理8

n 元二次型為正定的充分必要條件是：它的標准形的 n 個系數全為正，即它的規范形的 n 個系數全為 1 ，亦即它的正慣性指數等於 n 。

推論

對稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是：A 的特征值全為正。

定理9（赫爾維茨定理）

對稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是：A 的各階主子式都為正，

即，

對稱矩陣A為負定的充分必要條件是：奇數階主子式為負，而偶數階主子式為正，

即