大家好，我是編程熊。
往期文章介紹了《線性表》中的數組、鏈表、棧、隊列，以及單調棧和滑動窗口。
本期我們學習哈希，其主要作用是加速我們查找數據的速度。
文章將從以下幾個方面展開，內容通俗易懂。
若不想了解哈希原理，直接使用哈希表刷題的話，可以直接下拉到"常見的哈希結構"部分。
哈希概述
哈希表又稱散列表，表現形式為將任意長度的輸入，通過哈希算法變成固定長度的輸出，哈希表是一種使用空間換取時間的數據結構。
通常是存儲 <key，value>鍵值對，假設沒有哈希表，將 <key，value>鍵值對存儲在數組中，給定key查找的對應的value的時間復雜度為O(n)；
數組就是常見的哈希表，下標就是key，對應存儲的值就是value。
通過引如哈希表，將任意長度的輸入key轉化為哈希表中的下標，將<key，value>鍵值對映射到哈希表中，進而加速給定給定key，查找value的速度，時間復雜度降低到O(1)。
下圖 以兩個鍵值對<key1,value1>、<key2,value2>為例，演示了哈希函數和哈希表之間的關系，以及在哈希中起到的作用。
哈希表基本操作
插入
將鍵值對<key，value>插入到哈希表中。
更新
若哈希表中已存在鍵值為key的鍵值對，更新哈希表鍵值對<key，value>。
刪除
將鍵值對<key，value>從哈希表中刪除。
查詢
給定key，有兩種查詢方式。
- 查找
key是否存在於哈希表中。 - 查找
key對應的value。
哈希函數
哈希函數又稱散列函數，即將給定的任意長度的輸入值轉化為數組的索引(下標)。
如果有一個長度為n的數組，其可以存儲n對鍵值對，對應的下標為[0,n-1]，通常數組的長度是大於等於鍵值對的數量。
因此我們需要一個哈希函數，將任意長度的輸入映射到[0,n-1]，並且每個不同的key對應的數組下標一定是不一樣的，即每個數組下標唯一對應一個key。
下圖以三對<key,value>為例，演示了哈希函數hash將原始key，映射到數組下標的過程，具體哈希函數實現可以有很多方法，感興趣的讀者可以自行探究。
哈希沖突
哈希沖突的出現源於哈希函數對兩個不同的鍵key1、key2 (key1≠key2)，但經過哈希函數，hash(key1)=hash(key2)，將兩個不同的key，映射到了同一個數組下標位置，導致了哈希沖突。
下圖以key1="abc"，key2="bcd"，兩個不同的key，經過哈希函數，映射到同一個數組下標X。
解決哈希沖突的方法
拉鏈法
將hash值相同的key放到一個鏈表中，查找時從前往后遍歷鏈表，找到想要查找的key即可。
設需要插入哈希表的數組a長度為n，哈希表數組長度為m，則拉鏈法查找任意一個key的期望時間復雜度為O(1+n/m)。
下圖展示了需要插入哈希表的數組a，哈希函數h(x)，使用拉鏈法解決哈希沖突的例子。
開放地址法
從發生沖突的位置起，按照某種規則找到哈希表中其他空閑的位置，將沖突的元素放入這個空閑的位置。
可以找到空閑位置的條件是: 哈希表的長度一定要大於存放元素的個數。
發生沖突后，以什么樣的”規則“找到空閑的位置，有很多種方法:
- 線行探查法: 從沖突的位置開始，依次判斷下一個位置是否空閑，直至找到空閑位置。
- 平方探查法: 從沖突的位置x開始，第一次增加
1^2個位置，第二次增加2^2...，直至找到空閑的位置。 - 雙散列函數探查法等等
再哈希法
構造多個哈希函數，發生沖突時，更換哈希函數，直至找到空閑位置。
建立公共溢出區
建立公共溢出區，在哈希表中發生哈希沖突時，將數據存儲到公共溢出區。
常見的哈希結構
當解決問題需要快速查找一個元素/鍵值對，就可以考慮利用哈希表加速查找的速度。
C++中常用的哈希結構有以下三個:
- 數組
- unordered_set(集合)
- unordered_map(映射: 鍵值對)
| 種類 | 底層實現 | Key是否有序 | Key是否可以重復 | Key是否可以修改 | 增刪查效率 |
|---|---|---|---|---|---|
| std::unordered_set(集合) | 哈希表 | Key無序 | Key不可重復 | Key不可修改 | O(1) |
| std::unordered_map(映射: 鍵值對) | 哈希表 | Key無序 | Key不可重復 | Key不可修改 | O(1) |
C++標准庫中的set、map底層基於紅黑樹，將會在后續章節中詳細介紹。
std::unordered_set用法
下面介紹常見的用法，一般可以滿足刷題需要，詳細見https://zh.cppreference.com/w/cpp/container/unordered_set。
// 定義一個std::unordered_set
std::unordered_set q;
// 迭代器
// begin: 返回指向起始的迭代器
auto iter = q.begin();
// end: 返回指向末尾的迭代器
auto iter = q.end();
// 容量
// empty: 檢查容器是否為空
bool is_empty = q.empty();
// size: 返回容納的元素數量
int s = q.size();
// 修改器
// clear: 清除內容
q.clear();
// insert: 插入元素或結點
q.insert(key);
// erase: 擦除元素
q.erase(key);
// 查找
// count: 返回匹配特定鍵的元素數量
int num = q.count(key);
// find: 尋找帶有特定鍵的元素
auto iter = q.find(key);
// contains: 檢查容器是否含有帶特定鍵的元素
bool is_contains = q.contains(key);
std::unordered_map用法
下面介紹常見的用法，一般可以滿足刷題需要，詳細見https://zh.cppreference.com/w/cpp/container/unordered_map。
// 定義一個std::unordered_map
std::unordered_map q;
// 迭代器
// begin: 返回指向起始的迭代器
auto iter = q.begin();
// end: 返回指向末尾的迭代器
auto iter = q.end();
// 容量
// empty: 檢查容器是否為空
bool is_empty = q.empty();
// size: 返回容納的元素數量
int s = q.size();
// 修改器
// clear: 清除內容
q.clear();
// insert: 插入元素或結點
q.insert(key);
// erase: 擦除元素
q.erase(key);
// 查找
// count: 返回匹配特定鍵的元素數量
int num = q.count(key);
// find: 尋找帶有特定鍵的元素
auto iter = q.find(key);
// contains: 檢查容器是否含有帶特定鍵的元素
bool is_contains = q.contains(key);
例題
LeetCode 1. 兩數之和
題意
給定一個整數數組 nums 和一個整數目標值 target，請你在該數組中找出 和為目標值 target 的那 兩個 整數，並返回它們的數組下標。
示例
輸入：nums = [2,7,11,15], target = 9
輸出：[0,1]
解釋：因為 nums[0] + nums[1] == 9 ，返回 [0, 1] 。
下圖以示例演示一下哈希表，將數組插入到哈希表中，查找給定的key，即可以在O(1) 的時間復雜度查找到，圖中a，b，c，d指代哈希表的下標。
題解
建立哈希表，key等於數組的值，value等於值所對應的下標。
然后遍歷數組，每次遍歷到位置i時，檢查 target-num[i] 是否存在，注意target-num[i]的位置不能等於i。
代碼
class Solution {
public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
HashMap<Integer, Integer> numExist = new HashMap<Integer, Integer>();
for (int i = 0; i < nums.length; ++i) {
if (numExist.containsKey(target - nums[i])) {
return new int[]{i, numExist.get(target - nums[i])};
}
numExist.put(nums[i], i);
}
return new int[2];
}
}
LeetCode 128. 最長連續序列
題意
給定一個未排序的整數數組 nums ，找出數字連續的最長序列（不要求序列元素在原數組中連續）的長度。
示例
輸入：nums = [100,4,200,1,3,2]
輸出：4
解釋：最長數字連續序列是 [1, 2, 3, 4]。它的長度為 4。
題解
方法一
對數組數字排序，然后遍歷排序后的數組，找到最長的連續序列。
時間復雜度O(nlogn)
方法二
哈希可以快速查找一個數字。
將數組數字插入到哈希表，每次隨便拿出一個，刪除其連續的數字，直至找不到連續的，記錄刪除的長度，可以找到最長連續序列。
下圖以示例展示，如何利用哈希表，找到最長連續序列。
代碼
class Solution {
public:
int longestConsecutive(vector<int>& nums) {
unordered_set<int> q;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
q.insert(nums[i]);
}
int ans = 0;
while (!q.empty()) {
int now = *q.begin();
q.erase(now);
int l = now - 1, r = now + 1;
while (q.find(l) != q.end()) {
q.erase(l);
l--;
}
while(q.find(r) != q.end()) {
q.erase(r);
r++;
}
l = l + 1, r = r - 1;
ans = max(ans, r - l + 1);
}
return ans;
}
};
習題推薦
- LeetCode 217. 存在重復元素
- LeetCode 594. 最長和諧子序列
- LeetCode 149. 直線上最多的點數
- LeetCode 332. 重新安排行程
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