場上題目看錯兩次，day2 成功爆炸 /ll
為什么我總是拿不到自己該拿的分呢？
本文下標從 1 開始
算法 1
我會容斥！
先把問題轉化成統計不存在一個合法位置的方案數。
接着統計有欽定 \(k\) 個合法的，其他隨便的方案數。其容斥系數為 \((-1)^k\)。
在一次機器人的操作后，所有輸入的數在經過機器人在操作后的輸出都可以表示成 \(0\)，\(1\)，\(x\) 或 \(1-x\) 的形式（\(x\) 是這個位置上輸入的數）
考慮一個紙帶：對於一個被欽定的每一個位置，要求輸入經過這個機器人操作之后一定等於輸出。仍然把輸出表示成輸入的形式，只不過這個輸出可以以多種方式被輸入表達。
對於每一個位置分類討論：
- 如果這個位置上表示成的結果
既有 0 又有 1或既有 x 又有 1-x：輸入輸出都為空。方案數為 1。 - 如果不滿足條件 \(1\)，這個位置上表示成的結果
有 0 或 1且有 x 或 1-x：輸入輸出都為空，否則輸入輸出就被固定了。方案數為 2。 - 條件 1，2 都不滿足：對於每一個輸入都對應一個唯一的輸出，方案數為 3。
這個紙帶上每一個位置就是獨立的了，最后把每個位置的答案乘起來即可。
注意機器人爆炸的情況。
時間復雜度 \(\Theta(n^22^nm)\)，期望得分 \(20\)。
算法 2
我會優化算法 1！
對於第 \(i\) 個機器人，考慮實際進行修改了的位置只有 R 的個數個（設為 \(c_i\)）。
考慮枚舉最后一個欽定的位置在哪里（設為 \(r\)）。這樣就可以知道哪些機器人是爆炸的了：有且僅有 \(c_i > n - r\) 的爆炸了。
然后對於前 \(r\) 個位置 \(\rm DP\)。狀壓記錄前面的元素中哪些元素被欽定了。欽定了一個位置就給答案乘上 \(-1\)。在 \(\rm DP\) 的過程中，做到第 \(i\) 個數就把第 \(i\) 個位置的貢獻（即輸入輸出方案數）統計掉。
但我們發現並不是所有元素都需要記錄下來的：只用記錄與當前位置距離不超過 \(n - r\) 的和與當前位置距離超過 \(n-r\) 的位置中有沒有 \(1\) 即可。
最后再處理一下位置超過 \(r\) 的元素即可。
時間復雜度 \(\Theta(n^2m2^{n/2})\)，期望得分 \(48\)。
算法 3
我會 bitset！
發現我們統計一個位置的貢獻的時候，只有 是否有... 有用。所以考慮用 \(\rm bitset\) 同時處理一堆紙條是否有 0，1，x 和 1-x。
這樣復雜度就降到了 \(\Theta(\frac{n^2m2^{n/2}}{\omega})\)，常數巨大。但是還可以優化。
其實我們要求的是類似於一個子集中的 \(\rm bitset\) 的子集並，這個東西仍然可以優化，就是類似於 f[x] = f[x & -x] | f[x ^ (x & -x)]。
時間復雜度 \(\Theta(\frac{nm2^{n/2}}{\omega})\)，期望得分 \(100\)。
感覺講的有些抽象，不過相信大家想到算法2 之后就會做了。
算法 4
考慮換個維度思考，對於每一個紙條，考慮他對哪些集合的貢獻是 \(1\)，哪些集合的貢獻是 \(3\)，算出來這兩個就可以算出哪些集合貢獻為 \(2\)。
問題基本轉化成了這樣：\(n\) 個元素被划分為 \(4\) 個集合 \(S_0,S_1,S_2,S_3\)，要將滿足 [有 \(S_0\) 和 \(S_1\) 中的元素] 或 [有 \(S_2\) 和 \(S_3\) 中的元素] 的集合權值 +1，最后求每一個集合的權值和。這個東西可以用容斥解決（轉換成多個對 \(T_i\) 的所有子集 \(S\) 權值增加 \(W_i\)）
感覺我講不太清楚。。。。。
時間復雜度 \(\Theta(n^2 (m + 2^{n / 2}))\)。期望得分 \(100\)。
祝大家學習愉快！