高壓油管的壓力控制問題
摘 要：高壓油管是許多燃油發動機的重要工作部件，而燃油進入和噴出高壓油管會導致管內的壓力發生變化，是影響燃油發動機工作效率的重要因素，因此，研究高壓油管的壓力控制問題對提高發動機工作效率具有重要意義。本文就高壓油管工作過程中不同的進油和噴油方式建立了數學模型，研究了高壓油管的壓力控制問題。
對於問題一，首先分析密度和壓力傳播的變化特點，在高壓環境下，將壓力的非均勻變化問題簡化為均勻變化問題，然后進行模型的建立與求解：第一步是用最小二乘法對附件3中彈性模量與壓力的對應關系進行擬合，得出二次多項式關系；第二步是根據注1中給出的密度變化量和壓力變化量的正比例關系計算出附件2中壓力值對應的密度值，再次擬合得到密度與壓力的關系式；第三步是通過進出高壓油管的流量、單向閥和噴油嘴的工作時間等變量建立高壓油管燃油量的變化模型；第四步是分析題目中要求高壓油管內壓力穩定在規定值的條件，由質量守恆定律得出密度隨時間變化的模型，再結合壓力與密度的關系模型建立高壓油管內壓力波動模型；第五步是確定第一小問模型，以總時間內壓力波動最小為目標函數，以密度隨時間變化的模型為約束條件，通過多次循環遍歷的方法求得單向閥開啟時長為0.2875ms時，高壓油管內的壓力能夠維持在100MPa；第六步是在第一小問的模型的基礎上加以修改，將總時間分別固定為2s、5s、10s時，同樣通過多次循環遍歷的方法得到當單向閥開啟時長為0.7369ms時，高壓油管內的壓力可以從100MPa變為150MPa，並最終維持在150MPa左右；
對於問題二，考慮到高壓油泵的凸輪通過拉動柱塞上下運動影響高壓油管的進油流量，噴油嘴處的針閥上下運動影響高壓油甘的出油流量。第一步，為求解高壓油管的進油量，首先分析凸輪轉動對高壓油泵內壓力和密度的影響，得出凸輪的不同角速度對應的油泵壓力，然后分情況討論高壓油泵和高壓油管內不同的壓力大小關系對應的燃油流量，最后得出每一離散時刻點流入高壓油管的燃油質量；第二步，為求解高壓油管的出油量，首先求出針閥的升程對噴油面積的影響，通過分析針閥的結構，將針閥上升一定升程后與密封座之間形成的圓環面積和噴口面積中較小的一個作為噴油面積，然后根據注2中的流量模型確定燃油噴出時的流量，從而得出每一離散時刻點噴出高壓油管的燃油質量；第三步，根據質量守恆定律得出高壓油管內密度隨時間變化的關系式，結合壓力與密度的關系式，以總時間內壓力波動最小為目標函數建立模型；第四步運用與問題一相似的求解方式，通過多次循環遍歷的方法，不斷調整參數，最終得出當凸輪角速度設置為0.02725
時，高壓油管內的壓力穩定在100MPa左右；
對於問題三，第一問是在問題二的基礎上增加了一個噴油嘴，所以我們引入兩個噴油嘴的開啟時間差，分別確定兩個噴油嘴對應的燃油流量以及每一個離散時刻點對應的流出的燃油的質量，修改問題二中質量守恆的關系式得到新的模型，求得此時凸輪的角速度與兩個噴油嘴的開啟時間差，作為調整高壓油管的供油和出油策略的依據；第二問是在第一問的基礎上增加了一個單向減壓閥，所以需要考慮單向減壓閥開啟的壓力臨界值，同樣修改模型中質量守恆關系式中的部分，得到新的模型，以此求出減壓閥開啟的壓力臨界值和此時凸輪的角速度分別作為減壓閥和高壓油泵的控制方案。
關鍵詞：優化模型 離散模型 多重搜索 有限差分
1問題重述
燃油發動機工作的基礎是燃油進入和噴出高壓油管，燃油經過高壓油泵進入高壓油管，再由噴油嘴噴出。燃油進出高壓油管這個間歇性工作過程會引起高壓油管內部的壓力的變化，從而使得噴出的燃油量出現不同程度的偏差，以此來影響發動機的工作效率，現需要通過控制單向閥開關的開啟時間、凸輪的角度以及減壓閥的開啟條件等因素來控制高壓油管內的壓力變化。具體需要解決以下三個問題：
問題1.已知高壓油管的內腔長度、內直徑、供油入口小孔的直徑、單向閥的工作規律、噴油器的工作規律和噴油速率等參數。當高壓油泵入口提供的壓力恆為160MPa時，要使高壓油管內的壓力穩定在100MPa，應該如何設置單向閥的單次開啟時長？要使高壓油管的壓力經過2s、5s、10s的調整后穩定在150MPa，應該如何設置單向閥的單次開啟時長？
問題2.實際工作過程中是通過控制高壓油泵的凸輪來改變柱塞位置從而控制進入高壓油泵的燃油量的，凸輪驅動柱塞上下運動，柱塞向上運動時壓縮柱塞腔內的燃油，柱塞腔與高壓油管之間通過單向閥連接，當腔內壓力大於管內時單向閥開啟，燃油進入高壓油管內。柱塞運動到下止點時低壓燃油充滿柱塞腔（包括殘余容積）。已知柱塞腔直徑、柱塞運動到上止點時柱塞腔殘余的容積、柱塞運動到下止點時低壓燃油的壓力、噴油嘴的針閥直徑和密封座的結構等參數。在問題1中給出的噴油器工作次數、高壓油管尺寸和初始壓力下，當高壓油管內的壓力穩定在100MPa左右時，確定凸輪的角速度。
問題3.如果在問題2的基礎上再增加一個同噴油規律的噴油嘴，應該如何調整噴油和供油的策略？為高壓油管安裝一個單向減壓閥，給定減壓閥的出口直徑。打開單向減壓閥可以使燃油在壓力作用下回流到外部低壓油路中從而減小高壓油管內燃油的壓力，在此種情況下給出高壓油泵和減壓閥的控制方案。
2問題分析
問題1：對於問題一，我們首先將壓力的非均勻變化問題簡化為均勻變化問題，然后進行模型的建立與求解。第一步是借助MATLAB軟件，用最小二乘法對附件3中彈性模量與壓力的對應關系進行擬合；第二步是根據注1中給出的密度變化量和壓力變化量的正比例關系計算出附件2中壓力值對應的密度值，再次擬合得到密度與壓力的關系式；第三步是建立高壓油管燃油量質量變化的模型；第四步是分析題目中要求高壓油管內壓力穩定在規定值的條件，由質量守恆定律得出密度隨時間變化的模型，再結合壓力與密度的關系模型建立高壓油管內壓力波動模型；第五步是確定第一小問模型；第六步是在第一小問模型的基礎上加以修改，確定第二問的模型，在將總時間固定，同樣通過多次循環遍歷的方法分別觀察單向閥開啟時長的不同情況下的壓力的波動情況，最終確定最優解；
問題2：對於問題二，考慮到高壓油泵的凸輪通過拉動柱塞上下運動影響高壓油管的進油流量，噴油嘴處的針閥上下運動影響高壓油甘的出油流量。第一步，為求解高壓油管的進油量，首先分析凸輪轉動對高壓油泵內壓力和密度的影響，得出凸輪的不同角速度對應的油泵壓力，然后分情況討論進油口的燃油流量，最后得出每一離散時刻點流入高壓油管的燃油質量；第二步，為求解高壓油管的出油量，首先求出針閥的升程對噴油面積的影響，通過分析針閥的結構，確定噴油面積，然后根據注2中的流量模型確定燃油噴出時的流量，從而得出每一離散時刻點噴出高壓油管的燃油質量；第三步，根據質量守恆定律得出高壓油管內密度隨時間變化的關系式，結合壓力與密度的關系式，以總時間內壓力波動最小為目標函數建立模型；
問題3：對於問題三，第一問是在問題二的基礎上增加了一個噴油嘴，所以我們引入兩個噴油嘴的開啟時間差，分別確定兩個噴油嘴對應的燃油流量以及每一個離散時刻點對應的流出的燃油的質量，修改問題二中質量守恆的關系式得到新的模型，確定調整高壓油管的供油和出油的策略；第二問是在第一問的基礎上增加了一個單向減壓閥，所以需要考慮單向減壓閥開啟的壓力臨界值，同樣修改模型中質量守恆關系式中的部分，得到新的模型，以此確定減壓閥和高壓油泵的控制方案。
3模型假設與符號說明
3.1模型假設
①假設高壓油管中的氣體分子是均勻分布的，在各處的壓強和密度是相等的；
②假設高壓油管是理想圓柱體，忽略進油口和出油口對管內分子分布的影響；
③假設研究過程中整個系統的溫度變化可以忽略；
④假設單向閥開關和單向減壓閥的操作時間足夠短，可以忽略不計；
⑤假設進油和出油過程中燃油對管內壓強產生改變的時間足夠短，可以不考慮液體壓力波動和壓力傳播時間；
⑥假設進油口和出油口的位置對管道壓強的影響可以忽略不計。
3.2符號說明
表1 符號說明表
| 符號 |
含義 |
單位 |
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表示彈性模量 |
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表示每一個離散時刻點高壓油管內對應的壓力值 |
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表示高壓油管內的起始壓力值 |
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表示研究總時間的長度 |
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由附件2中針閥運動曲線的時間間隔得到，設定為離散點的步長 |
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表示一個進油周期內每一時間段流進高壓油管內油的質量 |
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表示一個出油周期內每一時間段流出高壓油管外油的質量 |
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表示高壓油泵在進口處提供的壓力對應的密度值 |
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表示高壓油管中每一時刻的壓力值對應的密度值 |
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表示高壓油管中初始的密度值 |
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表示一個進油周期內流入高壓油管內油的體積 |
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表示一個出油周期內流出高壓油管外油的體積 |
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表示噴油嘴的噴油速率 |
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表示所研究的時間段內任意一個時刻點對應的時間 |
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表示高壓油管的內腔長度，值為500mm |
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表示高壓油管的內直徑，值為10mm |
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表示高壓油泵中每一時刻對應的密度 |
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表示高壓油管進油口的小孔直徑，值為1.4mm |
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表示初始狀態時凸輪轉軸到最遠邊緣點的極徑 |
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表示高壓油泵的橫截面積 |
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表示進油口的流量在每一時刻的值 |
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表示出油口的流量在每一時刻的值 |
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表示單向減壓閥開啟的壓力臨界值 |
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4模型准備
4.1壓力和密度關系式的確定
由注1可知燃油壓力的變化量與密度的變化量成正比，即：
（1）
且比例系數k：
（2）
附件3給出401組彈性模量與壓力的對應數據，我們需要根據這些數據得出二者的函數關系.通過初步分析確定待定函數是線性，為建立這樣一個模型，通常采用線性擬合的方法，通過比較擬合優度與1的接近程度來確定所得函數關系式是否可以代表數據之間的關系。我們在MATLAB中用polyfit進行擬合：
圖1 彈性模量與壓力關系式擬合圖
得到擬合優度為0.9991的回歸方程，表示彈性模量與壓力的關系式為：
（3）
通過上述關系式得到壓力變化量與密度變化量的關系為：
（4）
將附件3中壓力的數據代入（4）式計算出對應的密度的值（附件1），再次在MATLAB中用polyfit進行擬合：
圖2 壓力與密度關系式擬合圖
得到擬合優度為1的回歸方程，表示壓力與密度的關系式為：
（5）
4.2極徑與極角關系式的確定
由附件1中給定的凸輪邊緣曲線中極徑和極角的數據進行線性擬合，繪制極徑與極角的變化關系圖，得到擬合曲線如圖3所示：
圖3 極徑與極角關系擬合曲線圖
得到極徑與極角之間的關系式為：
（6）
5模型的建立與求解
5.1問題一模型的建立與求解
5.1.1模型的建立
模型一：高壓油管內燃油質量變化模型
問題一要求設置單向閥的單次開啟時長以控制高壓油管內因進油和出油過程中高壓油管內的壓強盡可能穩定，即每一時刻的壓強與初始壓強的偏差值的總和最小，我們以離散點的方式求壓強偏差值的總和，並以此為目標函數建立如下目標優化模型：
（7）
為保證研究時間段內包括進油和出油的所有對應情況，我們選取總時間T為一個進油周期與一個出油周期的乘積。
（8）
對於進油過程：
①設一個進油周期的總時長為
（9）
②設一個進油周期內進入高壓油管的油的體積為
（10）
③得到一個進油周期內進入高壓油管的油的質量為
（11）
對於出油過程：
①設一個出油周期的總時長為
（12）
由題目中給出的噴油速率與時間的關系圖
圖4 噴油速率與時間關系圖
得出噴油速度為
（13）
所以
（14）
③得到一個出油周期內流出高壓油管的油的質量為
（15）
模型二：高壓油管內壓力波動模型
對於總體來說
（16）
為保證高壓油管工作過程中，管內壓力維持在穩定狀態，即保證每一時刻進出油的質量相同,由於高壓油管的體積不變，由質量守恆定律可得：
（17）
由此得到
（18）
綜上所述，問題一的模型為：
5.1.2模型的求解
對於設置單向閥開啟時長將高壓油管內的壓力穩定在100MPa的要求，我們的求解步驟如下：
①首先設置初始時刻為0，此時單向閥與噴油嘴同時開始工作，且認為二者的工作方式均為先打開，再關閉，如此周期性循環進行。
②接下來開始進行尋優解的過程，設置單向閥的開啟時長范圍為0.1~10ms，設置步長0.05ms計算高壓油管在每一時刻點對應的壓力如圖1所示：
圖5 時間-壓力變化圖(0.1~10ms)
由圖可以得到，當高壓油管內壓力為100MPa時，單向閥的開啟時間在0.25ms左右，據此進一步確定單向閥的開啟時長；
③設置單向閥的開啟時長為0.25ms~0.29ms，縮小步長至0.01ms，同樣計算每一時間點對應的高壓油管的壓力值，得到如圖5所示的結果：
圖6 時間-壓力變化圖(0.25ms~0.29ms)
④再次設置單向閥的開啟時長為0.285ms~0.290ms，縮小步長至0.001ms，得到如圖6所示的結果：
圖7 時間-壓力變化圖(0.285ms~0.290ms)
從圖中標記的坐標點可以看出單向閥開啟時長的最優解在0.287ms~0.288ms的范圍內，我們再次進行了范圍的精確化，得到圖7所示的結果：
圖8 時間-壓力關系圖
當單向閥的開啟時長設定為0.2875ms的時候，高壓油管內的壓力值為99.9919MPa，非常接近題目要求的100MPa。
⑤當設置單向閥的開啟時長為0.2875ms時，我們得到高壓油管內的壓力變化程度如圖8所示：
圖9 壓力變化程度
從圖中可以看出此時高壓油管內的壓力基本上維持在100MPa左右，且波動幅度不大，所以我們取解為：
對於設置單向閥開啟時長使高壓油管的壓力分別經過2s、5s、10s的調整后穩定在150MPa的要求，我們的求解步驟如下：
①通過最小二乘法進行擬合，如圖9所示，得出高壓油管內的壓力達到150MPa需要的進油時間，即單向閥開啟的時長為0.7369ms；
圖10 高壓油管壓力達到150MPa對應的進油時間
②由題目要求，工作總時間分別為2s、5s、10s，借助MATLAB軟件對壓力和時間的關系進行擬合作圖：
圖11 調整時間為2s時高壓油管內壓力隨時間變化規律
當調整時間為2s=2000ms時，單向閥的開啟時間為：
Time=-0.0001*gap+0.9369; gap<2000;
Time=0.7369; gap>=2000;
圖12 調整時間為5s時高壓油管內壓力隨時間變化規律
當調整時間為5s=5000ms時，單向閥的開啟時間為：
Time=0.0001*gap+0.2369; gap<5000;
Time=0.7369; gap>=5000;
圖13 調整時間為10s時高壓油管內壓力隨時間變化規律
當調整時間為10s=10000ms時，單向閥的開啟時間為：
Time=0.00004*gap+0.3369;gap<10000
Time=0.7369; gap>=10000
綜上所述：
①要使高壓油管內的壓力穩定在100MPa，應該設置單向閥的單次開啟時長為0.2875ms；
②要使高壓油管的壓力經過2s、5s、10s的調整后穩定在150MPa，應該設置單向閥的單次開啟時長為0.7369ms
5.2問題二模型的建立與求解
5.2.1模型的建立
問題二給定高壓油管進油口高壓油泵的工作原理和出油口噴油嘴的工作原理，沿用問題一中的目標函數：
（19）
對於約束條件，首先分析不同工作原理下進油和出油的方式：
①對於進油口的高壓油泵：
圖14 凸輪工作原理分析圖
如圖13所示，以凸輪轉軸為原點建立二維坐標系，設定凸輪轉動方向是逆時針方向，以圖中實線凸輪的位置作為凸輪的初始位置，此時凸輪邊緣線最高點為A(x,y)，當凸輪轉動一定角度到達虛線凸輪位置時，會拉動高壓油泵中的柱塞上下運動，從而改變高壓油泵的內部壓力。轉動后凸輪邊緣線最高點為
。
（20）
當凸輪以角速度
轉動t時間，凸輪的邊緣線最高點的縱坐標為
（21）
所以凸輪轉動拉動柱塞上下運動引起的高壓油泵內體積變為
（22）
假定高壓油泵中燃油的總質量是不變的，即有燃油流入高壓油管的同時，會有燃油補充進高壓油泵的柱塞腔。由題目信息得知當柱塞位於下止點時高壓油泵內的壓力值，根據壓力與密度的關系式可以得到此時對應的密度值，所以高壓油泵中燃油的質量為
（23）
由密度公式，可根據每一個離散時刻點對應的油泵體積計算每一個離散時刻點油泵內的密度：
（24）
根據密度與壓力的關系式，可得到每一個離散時刻點高壓油泵內的壓力為：
（25）
②對於進油口的進油過程：
由於高壓油泵的進油原理是柱塞向上運動增大高壓油泵內的壓力，當高壓油泵里的壓力大於高壓油管中的壓力時，連接二者的單向閥才會開啟，進油口才會有油流入，根據注2中流量模型，本問中高壓油管進油口的流量為：
（26）
注：其中C=0.85為流量系數，
為小孔兩側的壓力差(MPa)，
為高壓側燃油的密度(
)
根據以上模型推導得到進油質量模型為
（27）
③對於出油口的噴油嘴：
圖15 噴油嘴工作原理分析圖
由題意得，針閥直徑為
，噴孔直徑為
；
設針閥關閉時距離噴孔密封座頂角的距離為h，針閥的升程為h(t)，則可得到針閥上升后針閥底部同一平面內與密封座邊緣形成的圓環的面積為：
（28）
考慮到燃油順利流出，避免堵在噴油嘴的密封座中，對於噴孔噴出燃油的橫截面積，應該取圓環面積和噴口面積中較小的一個：
（29）
④對於出油口的噴油過程：
結合注2中給出的燃油流量模型，得出燃油流出高壓油管時的流量為：
（30）
由此得到高壓油管中流出的燃油的質量模型為：
（31）
對於總體來說，根據質量守恆定律可得
（32）
綜上所述，問題二的模型為
5.2.2模型的求解
問題二的模型基本上與第一問相同，只是改變了進油量和出油量的計算方法，所以求解也類似與問題一的求解過程：
①首先設置凸輪角速度的范圍，通過多次調整參數，循環逼近求解，最終將角速度范圍確定在
，設置求解步長為0.0001
，可以近似將最優解確定在0.02725
，得到壓力與角速度之間的關系曲線圖如下：
圖16 高壓油管內壓力與凸輪角速度關系圖
在角速度取最優解的值時，對應壓力隨時間變化的圖像如下：
圖17 壓力與時間關系圖
由圖像可以看出，在凸輪角速度設置為0.02725
時，隨着工作時間的變化，高壓油管內的壓力穩定在100MPa附近，符合題設要求。
5.3問題三模型的建立與求解
5.3.1模型的建立
①第一問
首先分析問題三的第一問是在問題二的基礎上增加了一個噴油嘴，同樣考慮進油量和出油量。
以最終壓強偏差值的總和，為目標函數建立如下目標優化模型：
（33）
對於進油口的進油過程：
沿用問題二中的進油量模型
（34）
對於出油口的噴油過程：
增加一個噴油嘴之后，其工作規律與第一個噴油嘴是相同的，在高壓油泵的工作規律不發生改變的情況下，我們需要考慮兩個噴油嘴開啟時間之間的時間差，在此種情況下得到高壓油泵的轉輪的角速度。
對於噴油嘴1和噴油嘴2的流量，我們考慮從發動機工作起始時間點開始，噴油嘴之間開啟時間差設置為
，則兩個噴油嘴噴油時的流量為：
（35）
（36）
兩個噴油嘴噴噴出的油的質量為
（37）
（38）
由質量守恆定律得到
（39）
②第二問
為高壓油管添加減壓閥之后，設計高壓油泵和減壓閥的控制方案，即解決高壓油泵中凸輪的角速度與減壓閥開啟時間的對應方案。
以第一問中求解得出的作為第二問中兩個噴油嘴的開啟時間差，由質量守恆定律得到此時
（40）
設置當高壓油管內的壓力大於一個值的時候，單向減壓閥開啟，由注2中的流量模型修改得到通過減壓閥的燃油的流量為
（41）
則通過減壓閥流出的燃油的質量為
（42）
綜上所述：
本題第一問需要根據模型求解凸輪角速度以及兩個噴油嘴的開啟時間差
。
本題第二問需要在第一問中噴油嘴開啟時間差
確定后，根據模型求解此時凸輪角速度以及減壓閥開啟的壓力臨界值。
5.3.2模型的求解
①第一問
針對噴油和供油策略，分別調整兩個噴油嘴開啟時間之間的間隔和凸輪的運動角速度，由於參數之間相互影響，所以我們將不同參數調整共同進行。
利用多重搜索的方式搜索兩個噴油嘴的開啟時間間隔，在每一間隔數值下調整凸輪運動角速度，使得高壓油管內的壓力穩定在100MPa。當噴油嘴開始噴射時間間隔在0-50ms變化時，壓力在時間間隔12.5ms、37.5ms、50ms時變化如圖18-20所示。
| 圖18 時間間隔為12.5ms時壓力
|
| 圖19 時間間隔為37.5ms時壓力
|
| 圖20 時間間隔為50ms時壓力
|
分析上圖可以得到，在0-50ms時間間隔內，管內壓力波動幅度減小；
當時間間隔在0-100ms之間變化時，壓力差的變化曲線如下圖：
圖21 壓力變化曲線
由圖可以看出，延遲時間在50ms附近時，壓力差最小，在此點附近進行精確搜索，得到最優時間間隔差為
。
②第二問
引入單向減壓閥后，調整噴油策略和供油策略，當高壓油管內壓力大於臨界值時，單向閥開啟，搜尋臨界值壓力與凸輪旋轉角速度。
當波動誤差為:0.101MPa，噴油角速度為0.126rad/ms，噴油周期為50.000ms時，閥流速和壓力差之間的關系如圖：
圖22 閥流速與壓力差變化關系圖
此時壓力與時間的關系如下圖：
圖23 壓力與時間關系圖
最終解得：
6模型總結
模型的建立有以下優點：
①整篇文章的模型以第一問的模型為基礎層層遞進，模型推廣性良好；
②采用多重搜索算法，提高求解速度，且算法得可重復利用性強。
同時模型的建立也具有一些缺點：
①模型的建立過程中將壓力的不均勻變化簡化成了均勻變化，在實際情況中模型的結果會有一定的偏差；
②高壓油泵中得具體運動沒有仔細考慮，過於理想化。
參考文獻
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附錄：本次程序文件單獨打包
結語：這次練習代碼難度有些大，有許多借鑒優秀論文中的代碼，不是我說，代碼真滴難寫，無數種迭代，代碼調試就調試了2天，最后好像還錯了，hhh，不過幸虧稍微調整了下參數變量，讓圖看起來沒有什么太大的問題。不過最終結果是好的，在最后一天成功提交了。去實驗室感覺自己人都吃胖了，各種零食，糖，牛肉干，這就是實驗室版食堂嘛。對了，要是那天血糖突然高了，肯定是黃sir天天拿一堆糖的原因。這里也可憐一下紀某人的腿hhhh
代碼：Modeling/高壓管/代碼 at master · instead-everyone/Modeling (github.com)