Louvain
Introduce
Louvain算法是社區發現領域中經典的基於模塊度最優化的方法，且是目前市場上最常用的社區發現算法。社區發現旨在發現圖結構中存在的類簇（而非傳統的向量空間）。
Algorithm Theory
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模塊度（modularity）
要想理解Louvain算法需先理解模塊度，模塊度是衡量一個網絡社區划分好壞的度量指標，可以簡單理解為“給定算法得到的圖中的社區划分D，社區內節點的連邊權重和與對應隨機圖中的連邊權重和的差，可以理解為社區內邊權重之於社區間邊權重的比例，當然，社區內邊權重越大，則模塊度越大，社區中節點聯系更加緊密，社區划分質量越好。”模塊度的公式如下所示：
以下均無向無權圖為例，m為圖中的邊數，2m為圖的總度數，A為鄰接矩陣，當兩個節點直接相連時Aij=1，否則Aij=0，ki為節點i的度，δ(ci,cj)為指示函數，當節點i、j位於同一個社區，其為1，否則為0。
公式中比較難理解的是中括號中的第二項，啥意思呢？ 之前提到隨機圖，這邊公式中的第二項指的是隨機圖中度為ki和度為kj的兩個節點相連的概率。得到的社區划分與隨機圖（無規律，且無明顯社區結構）相差越大，則社區內連接越緊密，社區間連接越稀疏（即社區邊界更明顯），發現的社區質量越好。
好了，模塊度就理解到這兒，簡單總結一下，模塊度范圍在[-0.5,1)，一般模塊度越高，發現的社區質量越好。（原始模塊度論文表示當模塊度值在0.3~0.7之間時，社區質量好）
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Louvain Flow Chart：
現在進入正題，Louvain算法的總體框架（流程圖）如下圖所示：
Louvain是一個迭代更新算法（初始每個節點自成一個社區），每個迭代稱為一個pass，每個pass都包括兩個步驟。即Louvain算法等價於不斷迭代以下兩個步驟（階段）：
（1）步驟1：首先，為每個節點分配一個單獨的社區。其次對於每個節點i，考慮其鄰居j，計算將節點i歸入節點j所在社區模塊度的增益。考慮節點i的所有鄰居，並且將節點i歸入到模塊度增益的社區最大。如果節點i歸到他鄰居所在社區都沒有模塊度增益（即模塊度增益為0或者負數）的話，那節點i仍然留在他原始的社區中。這個過程反復做，直到改變任何節點的社區標簽都沒有更進一步的模塊度增益就停止，停止之后第一階段就結束了。以上最重要的就是要搞懂模塊度增益這玩意怎么算呢？ 模塊度增益可以通過以下公式計算。
啥意思呢？我們可以化簡一下得到如下式子：
\Delta Q =[\frac{k_{i,in}}{2m}-\frac{\sum_{tot}k_i}{2m^2}]括號中第一項的意思可以理解為節點i加入鄰居所在社區之后對應社區內的連邊數。括號中第二項的意思可以理解為結點加入鄰居社區后，對應社區間以及社區內的連邊數。最大化該模塊度增益，就是最大化這個差，這個差大了，就說明節點i加入到這個鄰居社區之后，使得該社區的內聚度更高了，社區結構越明顯了。emmm，模塊度增益最大化大概就是這么個意思了。
（2）步驟2：算法的第二階段做的事情是，結合步驟1得到的初始社區划分建立一個新的網絡，新網絡的節點是在第一階段發現的初始社區（把社區粗化成一個粗化節點），兩個粗化節點之間的邊由兩個社區原始對應的社區間邊的權重和（無向圖即兩個社區間相連的邊數），同一社區節點之間的連邊權重生成這個社區粗化節點的一個自環邊。一旦完成了第二階段，就將構成的新的網絡輸入第一階段再進行迭代（因為粗化（層次的概念），每次網絡中的初始社區數會變小，因此后面迭代的速度會更快）。
至此，Louvain算法介紹結束。
Reference
- Blondel V D, Guillaume J L, Lambiotte R, et al. Fast unfolding of communities in large networks[J]. Journal of statistical mechanics: theory and experiment, 2008, 2008(10): P10008.
- 社區發現算法——louvain完全解讀
- 模塊度與Louvain社區發現算法