原文地址：(20條消息) 史上最清晰的函數空間講解_予你心安、的博客-CSDN博客
史上最清晰的函數空間講解
1.什么是數學的空間？
數學的空間定義了研究工作的對象和遵循的規則，研究工作的對象在空間中稱之為元素，遵循的規則在空間中稱之為結構，結構有線性結構（加法和數乘）和拓撲結構（距離、范數和開集）兩種。
2.具象和抽象的事物該如何描述？
具象的事物具體描述，抽象的事物屬性描述
3.兩個向量/函數之間的距離如何定義？
3.1 兩個向量之間的距離如何定義？
閔可夫斯基距離：( ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p ) 1 p (\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p)^{\frac{1}{p}}(∑
i=1
n
∣x
i
−y
i
∣
p
)
p
1
p=1為曼哈頓距離：d ( x , y ) = ∣ x 1 − y 1 ∣ + … … + ∣ x n − y n ∣ d(x,y)=|x_1-y_1|+……+|x_n-y_n|d(x,y)=∣x
1
−y
1
∣+……+∣x
n
−y
n
∣
p=2為歐式距離：d ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + … … + ( x n − y n ) 2 d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+……+(x_n-y_n)^2}d(x,y)=
(x
1
−y
1
)
2
+……+(x
n
−y
n
)
2
p = ∞ p=\inftyp=∞為契比雪夫距離：d ( x , y ) = m a x { ∣ x 1 − y 1 ∣ , … … , ∣ x n − y n ∣ } d(x,y)=max\{|x_1-y_1|,……,|x_n-y_n|\}d(x,y)=max{∣x
1
−y
1
∣,……,∣x
n
−y
n
∣}
3.2 兩個函數之間的距離如何定義？
d 1 ( f , g ) = ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) 2 d x d_1(f,g)=\int_a^b(f(x)-g(x))^2dxd
1
(f,g)=∫
a
b
(f(x)−g(x))
2
dx
d 2 ( f , g ) = m a x a ≤ x ≤ b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d_2(f,g)=max_{a\leq x\leq b}|f(x)-g(x)|d
2
(f,g)=max
a≤x≤b
∣f(x)−g(x)∣
d 3 ( f , g ) = ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) k d x d_3(f,g)=\int_a^b(f(x)-g(x))^kdxd
3
(f,g)=∫
a
b
(f(x)−g(x))
k
dx
4.距離該如何描述？
距離是抽象的事物，用屬性描述。
距離的定義： 設X是一個非空集合，對於集合內任意兩個元素x和y都有一個實數d(x,y)與它們相對應，並且滿足三個條件（屬性）：
1、非負性：d ( x , y ) ≥ 0 d(x,y)\geq0d(x,y)≥0
2、對稱性：d ( x , y ) = d ( y , x ) d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)
3、三角不等式：d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
則稱d ( x , y ) d(x,y)d(x,y)是兩點之間的距離。
5. 什么是線性空間（向量空間）？
空間中研究工作的對象是向量，遵循的規則是線性結構，任意一個向量都可以通過其它兩個向量的加法和數乘表示出來
6. 范數
6.1 什么是范數？
設∥ x ∥ \parallel x \parallel∥x∥是線性空間的范數，滿足以下三個屬性：
1.非負性：∥ x ∥ ≥ 0 \parallel x\parallel \geq0∥x∥≥0
2.齊次性：∥ α x ∥ = ∣ α ∣ ∥ x ∥ \parallel\alpha x \parallel=|\alpha|\parallel x \parallel∥αx∥=∣α∣∥x∥
3.三角不等式：∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \parallel x+y \parallel\leq \parallel x \parallel+\parallel y \parallel∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥
通俗來講，范數是x到零點的距離。
6.2 常用的幾種范數
1-范數：∥ x ∥ = ∣ x 1 ∣ + … … + ∣ x n ∣ \parallel x\parallel=|x_1|+……+|x_n|∥x∥=∣x
1
∣+……+∣x
n
∣
2-范數：∥ x ∥ = x 1 2 + … … x n 2 \parallel x\parallel=\sqrt{x_1^2+……x_n^2}∥x∥=
x
1
2
+……x
n
2
∞ \infty∞-范數：∥ x ∥ = m a x { ∣ x 1 ∣ , … … , ∣ x n ∣ } \parallel x \parallel=max\{|x_1|,……,|x_n|\}∥x∥=max{∣x
1
∣,……,∣x
n
∣}
總結：1-范數對應於曼哈頓距離，2-范數對應於歐式距離，∞ \infty∞-范數對應於契比雪夫距離，所以說范數是x到零點的距離。
6.3 范數與距離的關系？
范數是距離的子集，由范數可以定義距離，但由距離不一定可以定義范數。
6.4 線性賦范空間和線性度量空間
賦予范數的線性空間稱為線性賦范空間，范數表示向量的模長。 賦予距離的線性空間稱為線性度量空間，距離表示向量之間的距離。
7. 內積空間
7.1 內積空間的由來：
線性賦范空間只能表示向量的模長，不能表示向量的夾角，為克服這一缺陷，我們引入內積。 #### 7.2 什么是內積? 設(x,y)是實數，且滿足以下三個屬性：
1.非負性：x × y ≥ 0 x\times y\geq0x×y≥0
2.對稱性：x × y = y × x x\times y=y\times xx×y=y×x
3.第一變元齊次性
則(x,y)是內積。
7.3 內積與范數的關系：
內積是范數的子集，內積可以定義范數，但范數不一定可以定義內積 #### 7.4 什么是內積空間？ 在線性空間上定義內積稱為內積空間，內積空間又叫做歐幾里得空間。 ### 8. 希爾伯特空間 希爾伯特空間=無窮維內積空間+完備性 完備性：空間中的元素進行極限運算，取極限后依然在此空間中 ### 9. 巴拿赫空間 巴拿赫空間=線性賦范空間+完備性 完備性：空間中的元素進行極限運算，取極限后依然在此空間中 ### 10.拓撲空間 #### 10.1 什么是開集？ 設X是任意集合，a是X的子集構成的族，若滿足： 空集和X屬於a； a中任意多個元素之並屬於a； a中有限多個元素之交屬於a； 則a中的元素稱為開集，a是X的一個拓撲。 #### 10.2什么是拓撲空間？ （X,a）稱為拓撲空間。
總結：
拓撲->距離->范數->內積；
拓撲空間->線性度量空間->線性賦范空間->內積空間；
巴拿赫空間=線性賦范空間+完備性，希爾伯特空間=無窮維內積空間+完備性