史上最清晰的紅黑樹講解(下)


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上一篇文章史上最清晰的紅黑樹講解(上)對Java TreeMap的插入以及插入之后的調整過程給出了詳述。本文接着以Java TreeMap為例,從源碼層面講解紅黑樹的刪除,以及刪除之后的調整過程。如果還沒有看過上一篇文章,請在閱讀本文之前大致瀏覽一下前文,以方便理解。

尋找節點后繼

對於一棵二叉查找樹,給定節點t,其后繼(樹種比大於t的最小的那個元素)可以通過如下方式找到:

  1. t的右子樹不空,則t的后繼是其右子樹中最小的那個元素。
  2. t的右孩子為空,則t的后繼是其第一個向左走的祖先。

后繼節點在紅黑樹的刪除操作中將會用到。

TreeMap_successor.png

TreeMap中尋找節點后繼的代碼如下:

// 尋找節點后繼函數successor()
static <K,V> TreeMap.Entry<K,V> successor(Entry<K,V> t) {
    if (t == null)
        return null;
    else if (t.right != null) {// 1. t的右子樹不空,則t的后繼是其右子樹中最小的那個元素
        Entry<K,V> p = t.right;
        while (p.left != null)
            p = p.left;
        return p;
    } else {// 2. t的右孩子為空,則t的后繼是其第一個向左走的祖先
        Entry<K,V> p = t.parent;
        Entry<K,V> ch = t;
        while (p != null && ch == p.right) {
            ch = p;
            p = p.parent;
        }
        return p;
    }
}

remove()

remove(Object key)的作用是刪除key值對應的entry,該方法首先通過上文中提到的getEntry(Object key)方法找到key值對應的entry,然后調用deleteEntry(Entry<K,V> entry)刪除對應的entry。由於刪除操作會改變紅黑樹的結構,有可能破壞紅黑樹的約束條件,因此有可能要進行調整。

getEntry()函數前面已經講解過,這里重點放deleteEntry()上,該函數刪除指定的entry並在紅黑樹的約束被破壞時進行調用fixAfterDeletion(Entry<K,V> x)進行調整。

由於紅黑樹是一棵增強版的二叉查找樹,紅黑樹的刪除操作跟普通二叉查找樹的刪除操作也就非常相似,唯一的區別是紅黑樹在節點刪除之后可能需要進行調整。現在考慮一棵普通二叉查找樹的刪除過程,可以簡單分為兩種情況:

  1. 刪除點p的左右子樹都為空,或者只有一棵子樹非空。
  2. 刪除點p的左右子樹都非空。

對於上述情況1,處理起來比較簡單,直接將p刪除(左右子樹都為空時),或者用非空子樹替代p(只有一棵子樹非空時);對於情況2,可以用p的后繼s(樹中大於x的最小的那個元素)代替p,然后使用情況1刪除s(此時s一定滿足情況1,可以畫畫看)。

基於以上邏輯,紅黑樹的節點刪除函數deleteEntry()代碼如下:

// 紅黑樹entry刪除函數deleteEntry()
private void deleteEntry(Entry<K,V> p) {
    modCount++;
    size--;
    if (p.left != null && p.right != null) {// 2. 刪除點p的左右子樹都非空。
        Entry<K,V> s = successor(p);// 后繼
        p.key = s.key;
        p.value = s.value;
        p = s;
    }
    Entry<K,V> replacement = (p.left != null ? p.left : p.right);
    if (replacement != null) {// 1. 刪除點p只有一棵子樹非空。
        replacement.parent = p.parent;
        if (p.parent == null)
            root = replacement;
        else if (p == p.parent.left)
            p.parent.left  = replacement;
        else
            p.parent.right = replacement;
        p.left = p.right = p.parent = null;
        if (p.color == BLACK)
            fixAfterDeletion(replacement);// 調整
    } else if (p.parent == null) {
        root = null;
    } else { // 1. 刪除點p的左右子樹都為空
        if (p.color == BLACK)
            fixAfterDeletion(p);// 調整
        if (p.parent != null) {
            if (p == p.parent.left)
                p.parent.left = null;
            else if (p == p.parent.right)
                p.parent.right = null;
            p.parent = null;
        }
    }
}

上述代碼中占據大量代碼行的,是用來修改父子節點間引用關系的代碼,其邏輯並不難理解。下面着重講解刪除后調整函數fixAfterDeletion()。首先請思考一下,刪除了哪些點才會導致調整?只有刪除點是BLACK的時候,才會觸發調整函數,因為刪除RED節點不會破壞紅黑樹的任何約束,而刪除BLACK節點會破壞規則4。

跟上文中講過的fixAfterInsertion()函數一樣,這里也要分成若干種情況。記住,無論有多少情況,具體的調整操作只有兩種:1.改變某些節點的顏色,2.對某些節點進行旋轉。

TreeMap_fixAfterDeletion.png

上述圖解的總體思想是:將情況1首先轉換成情況2,或者轉換成情況3和情況4。當然,該圖解並不意味着調整過程一定是從情況1開始。通過后續代碼我們還會發現幾個有趣的規則:a).如果是由情況1之后緊接着進入的情況2,那么情況2之后一定會退出循環(因為x為紅色);b).一旦進入情況3和情況4,一定會退出循環(因為x為root)。

刪除后調整函數fixAfterDeletion()的具體代碼如下,其中用到了上文中提到的rotateLeft()rotateRight()函數。通過代碼我們能夠看到,情況3其實是落在情況4內的。情況5~情況8跟前四種情況是對稱的,因此圖解中並沒有畫出后四種情況,讀者可以參考代碼自行理解。

private void fixAfterDeletion(Entry<K,V> x) {
    while (x != root && colorOf(x) == BLACK) {
        if (x == leftOf(parentOf(x))) {
            Entry<K,V> sib = rightOf(parentOf(x));
            if (colorOf(sib) == RED) {
                setColor(sib, BLACK);                   // 情況1
                setColor(parentOf(x), RED);             // 情況1
                rotateLeft(parentOf(x));                // 情況1
                sib = rightOf(parentOf(x));             // 情況1
            }
            if (colorOf(leftOf(sib))  == BLACK &&
                colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) {
                setColor(sib, RED);                     // 情況2
                x = parentOf(x);                        // 情況2
            } else {
                if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) {
                    setColor(leftOf(sib), BLACK);       // 情況3
                    setColor(sib, RED);                 // 情況3
                    rotateRight(sib);                   // 情況3
                    sib = rightOf(parentOf(x));         // 情況3
                }
                setColor(sib, colorOf(parentOf(x)));    // 情況4
                setColor(parentOf(x), BLACK);           // 情況4
                setColor(rightOf(sib), BLACK);          // 情況4
                rotateLeft(parentOf(x));                // 情況4
                x = root;                               // 情況4
            }
        } else { // 跟前四種情況對稱
            Entry<K,V> sib = leftOf(parentOf(x));
            if (colorOf(sib) == RED) {
                setColor(sib, BLACK);                   // 情況5
                setColor(parentOf(x), RED);             // 情況5
                rotateRight(parentOf(x));               // 情況5
                sib = leftOf(parentOf(x));              // 情況5
            }
            if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK &&
                colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) {
                setColor(sib, RED);                     // 情況6
                x = parentOf(x);                        // 情況6
            } else {
                if (colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) {
                    setColor(rightOf(sib), BLACK);      // 情況7
                    setColor(sib, RED);                 // 情況7
                    rotateLeft(sib);                    // 情況7
                    sib = leftOf(parentOf(x));          // 情況7
                }
                setColor(sib, colorOf(parentOf(x)));    // 情況8
                setColor(parentOf(x), BLACK);           // 情況8
                setColor(leftOf(sib), BLACK);           // 情況8
                rotateRight(parentOf(x));               // 情況8
                x = root;                               // 情況8
            }
        }
    }
    setColor(x, BLACK);
}

TreeSet

前面已經說過TreeSet是對TeeMap的簡單包裝,對TreeSet的函數調用都會轉換成合適的TeeMap方法,因此TreeSet的實現非常簡單。這里不再贅述。

// TreeSet是對TreeMap的簡單包裝
public class TreeSet<E> extends AbstractSet<E>
    implements NavigableSet<E>, Cloneable, java.io.Serializable
{
	......
    private transient NavigableMap<E,Object> m;
    // Dummy value to associate with an Object in the backing Map
    private static final Object PRESENT = new Object();
    public TreeSet() {
        this.m = new TreeMap<E,Object>();// TreeSet里面有一個TreeMap
    }
    ......
    public boolean add(E e) {
        return m.put(e, PRESENT)==null;
    }
    ......
}


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