學習了樹的結構類型后，主要對各種樹類型進行匯總總結
1 樹類型
樹中的基本概念：https://jingzh.blog.csdn.net/article/details/107128291
樹類型概述：
二叉樹，完全二叉樹，滿二叉樹，二叉排序樹，平衡二叉樹，紅黑樹，B樹，B+樹，B*樹
1.1 二叉樹
二叉樹：二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構；
是n(n>=0)個結點的有限集合，它或者是空樹（n=0），或者是由一個根結點及兩顆互不相交的、分別稱為左子樹和右子樹的二叉樹所組成
二叉樹特點：
- 每個結點最多有兩顆子樹，所以二叉樹中不存在度(
結點擁有的子樹數目稱為結點的度)大於2的結點 - 左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒
- 即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹
1.2 完全二叉樹
完全二叉樹：除最后一層外，每一層上的結點數均達到最大值；在最后一層上只缺少右邊的若干結點
完全二叉樹特點：
- 葉子結點只能出現在最下層和次下層。
- 最下層的葉子結點集中在樹的左部。
- 倒數第二層若存在葉子結點，一定在右部連續位置。
- 如果結點度為1，則該結點只有左孩子，即沒有右子樹。
- 同樣結點數目的二叉樹，完全二叉樹深度最小
1.3 滿二叉樹
除最后一層無任何子節點外，每一層上的所有結點都有兩個子結點的二叉樹
滿二叉樹特點：
- 葉子只能出現在最下一層。出現在其它層就不可能達成平衡。
- 非葉子結點的度(
結點擁有的子樹數目稱為結點的度)一定是2 - 在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子數最多
1.4 二叉搜索樹（二叉排序樹、二叉查找樹）
二叉排序樹：可以為空樹，或者是具備如下性質：若它的左子樹不空，則左子樹上的所有結點的值均小於根節點的值；若它的右子樹不空，則右子樹上的所有結點的值均大於根節點的值，左右子樹分別為二叉排序樹。
如下圖所示：
但是還有一種特殊情況：
這種情況下，二叉搜索樹已經變更為鏈表，搜索一個元素的時間復雜度也變成了O(n)出現這種情況的原因是二叉搜索樹沒有自平衡的機制，所以就有了平衡二叉樹
1.5 平衡二叉樹
平衡二叉樹是一種概念，是二叉查找樹的一個進化體，它有幾種實現方式：紅黑樹、AVL樹
它是一個空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是平衡二叉樹，如果插入或者刪除一個節點使得高度之差大於1，就要進行節點之間的旋轉，將二叉樹重新維持在一個平衡狀態。
這個方案很好的解決了二叉查找樹退化成鏈表的問題，把插入，查找，刪除的時間復雜度最好情況和最壞情況都維持在O(logN)。但是頻繁旋轉會使插入和刪除犧牲掉O(logN)左右的時間，不過相對二叉查找樹來說，時間上穩定了很多
1.6 紅黑樹
1.6.1 紅黑樹概念
紅黑樹是一種平衡二叉查找樹的變體，它的左右子樹高差有可能大於1，所以紅黑樹不是嚴格意義上的平衡二叉樹（AVL），但對之進行平衡的代價較低， 其平均統計性能要強於 AVL
紅黑樹的特性：
- 每個節點或者是黑色，或者是紅色
- 根節點是黑色
- 每個葉結點是黑色
- 如果一個節點是紅色的，則它的子節點必須是黑色的，紅色節點的孩子和父親都不能是紅色。從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色節點，任意一結點到每個葉子結點的路徑都包含數量相同的黑結點。確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆倍。因而，紅黑樹是相對接近平衡的二叉樹，並不是一個完美平衡二叉查找樹
1.6.2 紅黑樹和AVL樹區別
紅黑樹和AVL樹區別
RB-Tree和AVL樹作為二叉搜索樹(BBST)，其實現的算法時間復雜度相同，AVL作為最先提出的BBST，貌似RB-tree實現的功能都可以用AVL樹是代替，那么為什么還需要引入RB-Tree呢
- 紅黑樹不追求
完全平衡，即不像AVL那樣要求節點的高度差的絕對值<= 1，它只要求部分達到平衡，但是提出了為節點增加顏色，紅黑是用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的降低，任何不平衡都會在三次旋轉之內解決，而AVL是嚴格平衡樹，因此在增加或者刪除節點的時候，根據不同情況，旋轉的次數比紅黑樹要多 - 就插入節點導致樹失衡的情況，
AVL和RB-Tree都是最多兩次樹旋轉來實現復衡rebalance，旋轉的量級是O(1) - 刪除節點導致失衡，
AVL需要維護從被刪除節點到根節點root這條路徑上所有節點的平衡，旋轉的量級為O(logN)，而RB-Tree最多只需要旋轉3次實現復衡，只需O(1)，所以說RB-Tree刪除節點的rebalance的效率更高，開銷更小 AVL的結構相較於RB-Tree更為平衡，插入和刪除引起失衡，RB-Tree復衡效率更高；當然，由於AVL高度平衡，因此AVL的Search效率更高- 針對插入和刪除節點導致失衡后的
rebalance操作，紅黑樹能夠提供一個比較便宜的解決方案，降低開銷，是對search，insert，以及delete效率的折衷，總體來說，RB-Tree的統計性能高於AVL - 故引入
RB-Tree是功能、性能、空間開銷的折中結果
AVL更平衡，結構上更加直觀，時間效能針對讀取而言更高；維護稍慢，空間開銷較大。
紅黑樹，讀取略遜於AVL，維護強於AVL，空間開銷與AVL類似，內容極多時略優於AVL，維護優於AVL。
總結：實際應用中，若搜索的次數遠遠大於插入和刪除，那么選擇AVL，如果搜索，插入刪除次數幾乎差不多，應該選擇RB-Tree
1.7 B樹類型
1.7.1 B樹（B-樹、B_樹）
一種平衡的多叉樹，稱為B樹（或B-樹、B_樹，B：balanced說明B樹和平衡樹有關系）
一棵M階B樹(M階數：表示此樹的結點最多有多少個孩子結點(子樹))是一棵平衡的m路搜索樹。它或者是空樹，或者是滿足下列性質的樹：
- 根結點至少有兩個子女；
- 每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；
- 除根結點以外的所有結點(不包括葉子結點)的度數正好是關鍵字總數加1，故內部子樹個數 k 滿足：┌m/2┐ <= k <= m ；
- 所有的葉子結點都位於同一層。
簡單理解為：平衡多叉樹為B樹（每一個子節點上都是有數據的），葉子節點之間無指針相鄰
B樹的搜索，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那么就命中；否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報告找不到相應的關鍵字；重復，直到所對應的兒子指針為空，或已經是葉子結點
如果B樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那么B樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續內存空間的二分查找的優點是，改變B樹結構（插入與刪除結點）不需要移動大段的內存數據，甚至通常是常數開銷；但B樹在經過多次插入與刪除后，有可能導致不同的結構
B-樹的特性：
- 關鍵字集合分布在整顆樹中；
- 任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；
- 搜索有可能在非葉子結點結束；
- 其搜索性能等價於在關鍵字全集內做一次二分查找；
- 自動層次控制；
由於M階B樹每個結點最少M/2個結點的限制，是為了最大限度的減少查找路徑的長度，提供查找效率
1.7.2 B+樹
B+樹是B樹的一種變形形式，B+樹上的葉子結點存儲關鍵字以及相應記錄的地址，葉子結點以上各層作為索引使用。一棵m階的B+樹定義如下
- 每個結點至多有m個子女；
- 除根結點外，每個結點至少有[m/2]個子女，根結點至少有兩個子女；
- 有k個子女的結點必有k個關鍵字
B+樹的查找與B樹不同，當索引部分某個結點的關鍵字與所查的關鍵字相等時，並不停止查找，應繼續沿着這個關鍵字左邊的指針向下，一直查到該關鍵字所在的葉子結點為止。
1.7.3 B*樹
B*樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；
B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3(代替B+樹的1/2)；
B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；
B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各復制1/3的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針；所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高
B樹類型總結：
二叉搜索樹：二叉樹，每個結點只存儲一個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於走右結點；B樹(B-樹)：多路搜索樹，每個結點存儲M/2到M（M是指M階B樹）個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵字范圍的子結點；所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加鏈表指針，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加鏈表指針，將結點的最低利用率從1/2提高到2/3