已知 2^2021是首位為 2 的 609 位數，求 2^0、2^1、2^2、...、2^2021 中有多少個數是首位為 4 的。

已知 2²⁰²¹ 是首位為 2 的 609 位數，求 2⁰、2¹、...、2²⁰²¹ 中有多少個數是首位為 4 的。

解：記2⁰、2¹、...、2²⁰²¹ 中首位為 a 的數有 F(a) 個，a 可以取 1 到 9 范圍內的自然數。顯然有 F(1) + F(2) + ... + F(9) = 2022

當 2ⁿ 是首位為 a 的 u 位數時，可記為 2ⁿ = a.x · 10^u，x 表示 2ⁿ 的科學記數法的小數部分，如：

2⁰ = 1.0 · 10⁰，2¹ = 2.0 · 10⁰，2² = 4.0 · 10⁰，2³ = 8.0 · 10⁰

2⁴ = 1.6 · 10¹，2⁵ = 3.2 · 10¹，2⁶ = 6.4 · 10¹

2⁷ = 1.28 · 10²，2⁸ = 2.56 · 10²，2⁹ = 5.12 · 10²

...

由上面的示例容易發現，一位數（1，2，4，8）中有一個首位為 1 的數；兩位數（16，32，64）中有一個首位為 1 的數；三位數（128，256，512）中有一個首位為 1 的數...

這很容易理解，當 2ⁿ 的首位 a 大於等於 5 時，2ⁿ⁺¹ 的首位必然為 1（10 ≤ 2·a.x < 20），且 2ⁿ⁺¹ 的位數比 2ⁿ 的位數大 1。

已知 2²⁰²¹ 是首位為 2 的 609 位數，由此可知，2⁰、2¹、...、2²⁰²¹ 中 609 位數只有 2²⁰²⁰ 和 2²⁰²¹，這兩個數的首位分別為 1 和 2。

於是有 F(1) = 609，以及

F(5) + F(6) + F(7) + F(8) + F(9) = 609 - 1 = 608

當 1.x < 1.5 時，[1.x · 2] = 2；當 1.x ≥ 1.5 時，[1.x · 2] = 3，於是有

F(1) = F(2) + F(3)

因而 F(4) = 2022 - 609 · 2 - 608 = 196。

 

拓展題：已知 2²⁰²¹ 是首位為 2 的 609 位數，求 5⁰、5¹、...、5²⁰²¹ 中有多少個數是首位為 4 的。

解：記5⁰、5¹、...、5²⁰²¹ 中首位為 b 的數有 G(b) 個，b 可以取 1 到 9 范圍內的自然數。顯然有 G(1) + G(2) + ... + G(9) = 2022

當 2ⁿ 是首位為 a 的 u 位數時，可記為 2ⁿ = a.x · 10^u，x 表示 2ⁿ 的科學記數法的小數部分。同樣地，當 5ⁿ 是首位為 b 的 v 位數時，可記為 5ⁿ = b.y · 10^v，y 表示 5ⁿ 的科學記數法的小數部分。

由 2ⁿ·5ⁿ=10ⁿ可知， a.x · 10^u ·  b.y · 10^v=10ⁿ  

當 n = 0 時，有 a = b = 1 和 u = v = 0；

當 n ≠ 0 時，有

a.x · b.y = 10   ①

u + v + 1= n     ②

由 ① 易知：

當 a = 1 時，b = 5, 6, 7, 8, 9，反之亦然；

由對稱性，又有：

當 b = 1 時，a = 5, 6, 7, 8, 9，反之亦然。

於是就有

G(5) +G(6) + G(7) + G(8) + G(9) = F(1) - 1 = 608

G(1) = F(5) + F(6) + F(7) + F(8) + F(9) + 1 = 609

再由 [b.x · 5] = 1可推知 b = 2, 3，但是打頭的 5⁰ 沒有對應這個關系的 b，於是有

G(2) + G(3) = G(1) - 1 = 608

因而 G(4) = 2022 - 609 - 608 - 608 = 197。