為了更加有效的對數字圖像進行處理，常常需要將原始圖像以某種方式變換到另外一個空間，並利用圖像在變換空間中的特有性質對圖像信息進行加工，然后再轉換回圖像空間就可以得到所需的效果。圖像變換是雙向的，一般將從圖像控件轉換到其他空間的操作稱為正變換，由其他空間轉換回圖像空間稱為逆變換。
傅里葉變換可以將任何周期函數分解為不同頻率的信號成分。頻域變換為信號處理提供了不同的思路，有時在空間域無法處理的問題，通過頻域變換卻變得非常容易。
傅里葉變換中將圖像看作二維信號，其水平方向和垂直方向作為二維空間的坐標軸，將圖像本身所在的域稱為空間域。圖像灰度值隨空間坐標變換的節奏可以通過頻率度娘，稱為空間頻率或者頻域。針對數字圖像的傅里葉變換是將原始圖像通過傅里葉變換轉換到頻域，然后在頻域中對圖像進行處理的方法。基於傅里葉變換的數字圖像頻域處理過程如圖1所示
圖1，基於傅里葉變換的數字圖像品預處理過程
首先通過正向傅里葉變換將原始圖像從空間域轉換到頻域。然后使用頻域濾波器將某些頻率成分過濾掉，保留某些特定頻率。最后使用傅里葉逆變換將濾波后的頻域圖像重新轉換到空間域，得到處理后的圖像。
相較於圖像空間域處理，頻域圖像處理有以下優點：1）頻域圖像處理可以通過頻域成分的特殊性質完成一些空間域圖像處理難以完成的任務。2）頻域圖像處理更有利於信號處理的解釋，它可以對濾波過程中產生的某些效果做出比較直觀的解釋。3）頻域濾波器可以作為空間濾波器設計的知道，通過傅里葉逆變換可以將頻域濾波器轉換為空間域變換的操作。通過頻域濾波做前期設計，然后實施階段用空間域濾波實現。
一，傅里葉變換
傅里葉變換是一種常見的正交數學變換，可以將一維信號或函數分解為具有不同頻率、不同幅度的正弦信號或余弦信號的組合。傅里葉分析中最重要的結論是幾乎“所有”信號或函數都可以分解成簡單的正弦波和余弦波之和，從而提供了一種具有物理意義的函數表達方式。傅里葉變換的核心貢獻在於：1）如何求出每種正弦波和余弦波的比例（頻率）；2）給定每種正弦波和余弦波的比例，可以恢復出原始信號。
1.1 一維傅里葉變換
一個函數的傅里葉變換可以表示為：
$F(u) = \int_{-\infty }^{\infty } f(x)e^{-j2\pi u x}dx$
其對應的傅里葉逆變換表示為：
$f(x) = \int_{-\infty }^{\infty } F(u)e^{j2\pi u x}du$，其中$j=\sqrt{-1}$, u為頻率分量。
傅里葉變換中基函數的物理意義非常明確，每個基函數都是一個但頻率諧波，對應的系數（又稱頻譜）表明了原函數在此基函數投影的大小，或者也可以看作原函數中此種頻率諧波成分的比重。實際應用中需要求解的更多問題是離散信號的處理，定義離散情況的傅里葉變換公式$f(x)$，其中$x=0,1,...,M-1$，則其傅里葉正變換為：
$F(u)=\sum_{x=0}^{M-1}f(x)e^{-j2 \pi ux/M}, u=0,1,...,M-1$
傅里葉逆變換為：
$f(x)=\frac{1}{M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2 \pi ux/M}, x=0,1,...,M-1$
觀察傅里葉逆變換，通過歐拉公式$e^{j\Theta }=cos\Theta + jsin\Theta $可得：
$f(x)=\frac{1}{M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)e^{j2 \pi ux/M}=\frac{1}{M}\sum_{u=0}^{M-1}F(u)[cos(2 \pi ux/M)+jsin(2 \pi ux/M)]$
可以看到，空間域函數$f(x)$可表示為M個正弦（余弦）函數的累加，其中$F(u)/M$為對應頻率分量的幅度（系數）。$F(u)$覆蓋的域（即u值得取值范圍）稱為頻域。令$u=0$，可得$F(0)=\frac{1}{M}\sum_{x=0}^{M-1}f(x)$, $F(0)$對應$f(x)$的均值，又可稱為直流分量。其余u值對應的的$F(u)$則成為$f(x)$的交流分量。通過變量u可以確定變換后的頻率成分，而u的取值范圍稱為頻域。對每個u值，其對應的$F(u)$稱為傅里葉變換的頻率分量（或稱振幅）。
可以注意到傅里葉變換后的函數是在復數域內，又可以表示為$F(u)=R(u)+jI(u)$，或者以極坐標的形式表示為$F(u)=\left | F(u) \right |e^{\psi (u)}$。這里把$\left | F(u) \right |=\left [ R^{2}(u)+I^{2}(u) \right ]^{1/2}$稱為傅里葉變換的幅度或者譜。通過譜可以表示原函數（或圖像）對某一頻譜分量的貢獻。$\phi (u)=arctan\left [ \frac{I(u)}{R(u)} \right ]$稱為變換的相位角或相位譜，用來表示原函數中某一頻譜分量的起始位置。譜的平方稱為功率譜（也叫能量譜，譜密度），表示為$P(u)=F^2(u)=R^2(u)+I^2(u)$。
ps: 傅里葉變換后，如何確定每個點的頻率值：
計算方法：
- 對離散信號S進行FFT變換，方法很多，一個函數而已。
- 定義采樣頻率Fs，（每年監測多少期）
- 用采樣頻率計算監測信號中周期個數：
Tn= N/FsTn=N/Fs
式中，N 為時序 S 的長度 。 - 確定每個點對應的頻率
w= K/Tnw=K/Tn
式中，K 為時序S對應的自然數序列，從 0 到 N-1 的自然數序列。
1.2 二維傅里葉變換
二維傅里葉變換本質上是將一維傅里葉變換清醒向二維進行簡單擴展：
$F(u, v) = \int_{-\infty }^{\infty } \int_{-\infty }^{\infty } f(x, y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$，對應二維傅里葉變換的逆變換可以表示為：$f(x,y) =\int_{-\infty }^{\infty } \int_{-\infty }^{\infty } F(u, v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$
離散情形完全與連續形式類似，設$f(x, y)$是一幅尺寸為$M \times N$的圖像函數，相應的二維離散傅里葉變換可以表示為：
$F(u, v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2 \pi (ux/M+vy/N)}, u=0,1,...,M-1; v=0,1,...,N-1$
u，v均為頻率分量。通過傅里葉變換$F(u, v)$失去了空間關系，只保留了頻率關系。其中空間域是由$f(x,y)$所張成的坐標系，x和y是變量。而頻域則是由$F(u, v)$所張成的坐標系，u和v是變量。u和v定義的矩形區域稱為頻率矩形，其大小與圖像$f(x, y)$的大小相同。$F(u, v)$是傅里葉系數。該圖像函數對應的傅里葉逆變換可以表示為：
$f(x, y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2 \pi (ux/M+vy/N)}, u=0,1,...,M-1; v=0,1,...,N-1$
二，傅里葉變換的性質
2.1 傅里葉變換的基本性質
1，線性特性：若$f(t)<--->F(\Omega ), g(t)<--->G(\Omega )$ 則 $af(t)+bg(t)<--->aF(\Omega )+bG(\Omega )$，其中$a, b$為任意常數，利用傅里葉變換的線性特性，可以將待求信號分解為若干基本信號之和。
2，時延特性：傅里葉變換的時延（移位）特性可以表示為：若$f(t)<--->F(\Omega )$，則$f1(t)=f(t-t0)<--->F1(\Omega )=F(\Omega )e^{-j\Omega t0}$。時延特性說明波形在時間軸上時延，並不會改變信號幅度，僅使信號增加$-\Omega t0$線性相位。
3，頻移特性：傅里葉變換的頻移（調制）特性表示為：若$f(t)<-->F(\Omega )$，則$f(t)e^{j\Omega_{0} t}<--->F(\Omega - \Omega _{0})$，頻移特性表明信號在時域中與復因子$e^{j\Omega _{0}t}$相乘，則在頻域中使整個頻譜搬移$\Omega _{0}$
4, 尺度變換: 
，如圖2所示
圖2
尺度特性說明，信號在時域中壓縮，在頻域中擴展；反之，信號在時域中擴展，在頻域中就一定壓縮；即信號的脈寬與帶寬成反比。一般來說，時寬有限的信號，其頻寬無限，反之亦然。可以理解為信號波形壓縮為1/a或擴展a倍，信號隨時間變化的歲都加快a倍或減慢為1/a，所以信號包含的頻率分量增加a倍或減少為1/a。頻譜展寬a倍或壓縮為1/a。又因能量守恆原理，各頻率分量的大小減小為1/a或增加a倍。
5，時域微分特性
若$f(t)<--->F(\Omega)$，則$\frac{df(t)}{dt}<--->j\Omega F(\Omega)$
同理，可推廣到高階導數的傅里葉變換：$\frac{df^n(t)}{dt^n}<--->(j\Omega)^nF(\Omega)$
6, 頻域微分特性
若$f(t)<--->F(\Omega)$，則$\frac{dF(\Omega)}{d\Omega} <---> (-jt)f(t)$
一般頻域微分特性的實用形式為 $j\frac{dF(\Omega)}{d \Omega} <--->tf(t)$，對頻譜函數的高階導數也成立，即
7，對稱（偶）性
傅里葉變換的對稱性表示為：若$f(t)<--->F(\Omega)$，則$F(t)<--->2 \pi f(-\Omega)$ 或 $\frac{1}{2 \pi}F(t)<--->f(- \Omega)$
8，時域卷積定理
傅里葉變換的始於卷積定理表示為：若$f_1(t)<--->F_1(\Omega), f_2(\Omega)<--->F_2(t)$, 則$f_1(t)*f_2(t)<--->F_1(\Omega)F_2(\Omega)$
9，頻域卷積定理
傅里葉變換的頻域卷積定理表示為：若$f_1(t)<--->F_1(\Omega), f_2(t)<--->F_2(\Omega)$，則$f_1(t)f_2(t)<--->\frac{1}{2 \pi}F_1(\Omega)*F_2(\Omega)$
2.2 二維傅里葉變換的性質
相較於一維傅里葉變換，二維傅里葉變換還具有可分離性、平移特性、旋轉特性等特性。
1，可分離性
二維離散傅里葉變換（DFT）可視為由沿x, y方向的兩個一維傅里葉變換所構成。這一性質可以有效降低二位傅里葉變換的計算復雜性。如
$F(u, v)=\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}e^{-j2 \pi ux/N}\cdot \sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2 \pi vy/N}$
傅里葉逆變換也可以進行分離：
$f(x, y) = \sum_{u=0}^{N-1}e^{-j2 \pi ux/N} \cdot \sum_{v=0}^{N-1}F(u, v)e^{-j2 \pi vy/N}$
這樣，原本在$O_{xy}$或$O_{uv}$平面需要$O(N^2)$時間復雜度才可以完成的操作，經過分離之后可以由x和y方向的兩次時間復雜度為O(N)的一維傅里葉變換操作代替。逆變換同理。
2，平移特性，二維傅里葉變換的平移特性表示如下：
f(x,y)在空間平移了，相當於把傅里葉變換與一個指數相乘。f(x,y)在空間與一個指數項相乘，相當於平移其傅里葉變換。當$u_0=M/2, v_0=N/2$時，
通常，在變換前用$(-1)^{x+y}$乘以輸入圖像函數，實現頻域中心化變換：
3，旋轉特性
對f(x,y)旋轉一定角度，相當於將其傅里葉變換F(u, v)旋轉一定角度。
四，圖像頻域濾波
圖像變換是對圖像信息進行變換，使能量保持但重新分配，以利於加工、處理（濾除不必要信息，如噪聲，加強、提取感興趣的部分或特征）。傅里葉變換在圖像分析，濾波，增強，壓縮等處理中有非常重要的應用。
假定原圖像$f(x,y)$經傅里葉變換為$F(u,v)$，頻域增強就是選擇合適的濾波器函數$H(u,v)$對$F(u,v)$的頻譜成分進行調整，然后經傅里葉變換得到增強的圖像$g(x,y)$。該過程可以通過下面的流程描述：
其中，$G(u,v)=H(u, v) \cdot F(u,v)$, H(u, v)稱為傳遞函數或濾波器函數。
可以選擇合適的頻率傳遞函數H(u,v)突出f(x,y)某一方面的特征，從而得到需要的圖像g(x,y)。例如，利用傳遞函數H(u,v)突出高頻分量，以增強圖像的邊緣信息，即高通濾波；如果突出低頻分量，就可以使圖像顯得比較平滑，即低通濾波。
頻域濾波的基本步驟如下：
（1）對原始圖像$f(x,y)$進行傅里葉變換得到F(u,v).
（2）將F(u,v)與傳遞函數H(u,v)進行卷積運算得到G(u,v)
（3）將G(u,v)進行傅里葉變換得到增強圖像g(x,y)。頻域濾波的核心在於如何確定傳遞函數，即H(u,v)
4.1 低通濾波
圖像從空間域變換到頻域后，其低頻分量對應圖像中灰度值變化比較緩慢的區域，高頻分量則表征圖像中物體的邊緣和隨機噪聲等信息。低通濾波是指保留低頻分量，而通過濾波器函數H(u,v)減弱或抑制高頻分量在頻域進行的濾波。低通濾波與空間域中的平滑濾波器一樣，可以消除圖象中的隨機噪聲，減弱邊緣效應，起到平滑圖像的作用。
4.1.1 理想低通濾波器
二維理想低通濾波器的傳遞函數如下，二維理想低通濾波器的傳遞函數如下：
$H(u,v)=\left\{\begin{matrix}
1 & D(u,v)\leqslant D_0\\
0& D(u,v)> D_0
\end{matrix}\right.$
階段頻率$D_0$是一個非負整數，$D(u,v)$是從點$(u,v)$到頻率平面原點的距離，即$D(u,v)=\sqrt{u^2+v^2}$。理想低通濾波器的含義是指小於$D_0$的頻率，即以$D_0$為半徑的圓內的所有頻率分量可以完全無損的通過，而圓外的頻率，即大於$D_0$的頻率分量則完全被除掉。理想低通濾波器的平滑作用非常明顯，但由於變換有一個陡峭的波形，它的逆變換$h(x,y)$有強烈的振鈴特性，使濾波后的圖像產生模糊效果。因此，這種理想低通濾波器在實際中並不采用。理想低通濾波器的傅里葉變換結果如圖3所示
圖3，理想低通濾波器的傅里葉逆變換結果
二維理想低通濾波器結果如圖4所示：
圖4，二維圖像的理想低通濾波結果
理想低通濾波器在數學上定義得很清楚，在計算機模擬中也可實現，但在截斷頻率處，直上直下的理想低通濾波器不能用實際的電子器件實現，物理上可實現的是Butterworth（巴特沃斯）低通濾波器。
4.1.2 Butterworth低通濾波器
Butterworth低通濾波器的傳遞函數為：
$D_0$為截至頻率，n為函數的階。一般取使$H(u,v)$最大值下降到最大值的一半時的$D(u,v)$為截止頻率$D_0$。Butterworth低通濾波器截面圖如圖5所示：
圖5，Butterworth低通濾波器的截面
與理想低通濾波器相比，高低頻之間過渡較為平滑，用此濾波后的輸出圖像振鈴現象不明顯。n=1時，過渡最為平滑，即尾部包含大量的高頻成分，所以一階Butterworth低通濾波器沒有振鈴現象；但隨着n的增加，振鈴現象會越來越明顯。
4.2 高通濾波
圖像的邊緣、細節主要在高頻，圖像模糊的原因是高頻成分較弱。為了消除模糊，突出邊緣，可以采用高通濾波的方法，使低頻分量得到抑制，從而達到增強高頻分量，使圖像的邊緣或線條變得清晰，實現圖像的銳化。
4.2.1 理想高通濾波器
理想高通濾波器的形狀與低通濾波器的形狀正好相反，其傳遞函數為：
$H(u,v)=\left\{\begin{matrix}
0 & D(u,v)\leqslant D_0\\
1& D(u,v)> D_0
\end{matrix}\right.$
圖6，二維圖像的理想高通濾波結果
4.2.2 Butterworth高通濾波器
Butterworth高通濾波器的形狀與Butterworth低通濾波器相反，同樣，因為高低頻率間平滑過渡，因此振鈴現象不明顯。其傳遞函數如下：
圖7，二維圖像Butterworth高通濾波結果
4.2.3 高頻增強濾波器
高通濾波將低頻分量濾掉，導致增強途中的邊緣得到加強，但平坦區域灰度很暗，接近黑色。高頻增強濾波器對頻域率的高通濾波器的轉移函數加一個常數，以將一些低頻分量加回去，既保持光滑區域灰度，又改善邊緣區域對比度。高頻增強轉移函數
$H_e(u,v) = kH(u, v)+c$
這樣就可以做到在原始圖像的基礎上疊加一些高頻成分，既保留了原圖的灰度層次，又銳化了邊緣。