淺談記憶化搜索

引子

你某天在洛谷里刷題，夢想着有一天AK IOI（@DXR），這時，你看到了一個橙題，但是AC率僅僅只有 \(\frac{1}{3}\) ,你尋思着一道橙題會有多難，於是決定寫這道題

題目

P1464 Function

• 對於一個遞歸函數\(w(a,b,c)\)

• 如果\(a \le 0\) or \(b \le 0\) or \(c \le 0\)就返回值\(1\).

• 如果\(a > 20\) or \(b > 20\) or \(c > 20\)就返回\(w(20,20,20)\)

• 如果\(a < b\)並且\(b < c\) 就返回\(w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)\)

• 其它的情況就返回\(w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)\)

你不屑的把所有的公式都打上去

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
inline long long w(long long a,long long b,long long c)
{
	if(a<=0||b<=0||c<=0) return 1;
	else if(a>20||b>20||c>20) return w(20,20,20);
	else if(a<b&&b<c) return w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c);
	else return w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
	return w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
}
int main()
{
	long long a,b,c;
	for(register int i=1; ;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		if(a==-1&&b==-1&&c==-1) break;
		printf("w(%lld, %lld, %lld) = ",a,b,c);
        printf("%lld\n",w(a,b,c));
	}
	return 0;
}

然后看到的會是

然后你陷入了沉思...

正題

很顯然，我們打的這個程序十分的垃圾，當輸入50,50,50的數據時，就會瞬間爆炸，全程TLE，比賽時是絕對不能出現這種情況的

那么我們如何解決這種問題呢

這個題目全都是遞歸公式，也許我們可以在這上面下手......

你用你聰明的大腦想到，有時候遞歸的a,b,c會是和之前某個時候相等的，我們可以開一個數組存儲一下......

然后......

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long m[25][25][25];
inline long long w(long long a,long long b,long long c)
{
	if(a<=0||b<=0||c<=0) return 1;
	else if(m[a][b][c]!=0) return m[a][b][c];
	else if(a>20||b>20||c>20) m[a][b][c]=w(20,20,20);
	else if(a<b&&b<c) m[a][b][c]=w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c);
	else m[a][b][c]=w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
	return m[a][b][c];
}
int main()
{
	long long a,b,c;
	for(register int i=1; ;i++)
	{

		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		if(a==-1&&b==-1&&c==-1) break;
		printf("w(%lld, %lld, %lld) = ",a,b,c);
        printf("%lld\n",w(a,b,c));
	}
	return 0;
}

光榮\({RE}\)

但是這個時候，我們的時間復雜度會下降不少，起碼當數據為 \(50,50,50\) 時，我們不會爆炸，RE的原因只是因為題目范圍，經過一番 玄學 分析之后，我們發現當 \(a,b,c\) 中任意一個值大於 \(20\) 時，返回值都是一樣的，我們只需要加個判斷即可

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long m[25][25][25];
inline long long w(long long a,long long b,long long c)
{
	if(a<=0||b<=0||c<=0) return 1;
	else if(m[a][b][c]!=0) return m[a][b][c];
	else if(a>20||b>20||c>20) m[a][b][c]=w(20,20,20);
	else if(a<b&&b<c) m[a][b][c]=w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c);
	else m[a][b][c]=w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
	return m[a][b][c];
}
int main()
{
	long long a,b,c;
	for(register int i=1; ;i++)
	{

		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		if(a==-1&&b==-1&&c==-1) break;
		printf("w(%lld, %lld, %lld) = ",a,b,c);
		if(a>20) a=21;
        if(b>20) b=21;
        if(c>20) c=21;
        printf("%lld\n",w(a,b,c));
	}
	return 0;
}

講解

看到這里，我相信大家對記憶化搜索已經有一個基本了解了，它就是一個換裝玩角色扮演的DFS，偽裝成高級的樣子和DP混在一起（這點我后面會講解）

我們結合另一道題理解

P1434 滑雪

看完題目，你會想到一個個枚舉每一個點，進行大爆搜，如果你是這么想的，請重新回到文章篇頭再看一遍記憶化搜索的思路是什么，因為這題實際是記憶化搜索

對於每一個點，我們進行一次搜索，找出它滑雪距離的最大值，存儲下來，方便下一次使用

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int dx[4]={0,0,1,-1};
int dy[4]={1,-1,0,0};
int n,m,a[201][201],s[201][201],ans;
int dfs(int x,int y){
    if(s[x][y])return s[x][y];//記憶化搜索
    s[x][y]=1;//題目中答案是有包含這個點的
    for(int i=0;i<4;i++)
    {  int xx=dx[i]+x;
       int yy=dy[i]+y;//四個方向
       if(xx>0&&yy>0&&xx<=n&&yy<=m&&a[x][y]>a[xx][yy]){
       	  dfs(xx,yy);
          s[x][y]=max(s[x][y],s[xx][yy]+1);
       }
    }
    return s[x][y];
}
int main()
{	
   scanf("%d%d",&n,&m);//同題目的R,C
   for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
       scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)//找從每個出發的最長距離
      for(int j=1;j<=m;j++)
        ans=max(ans,dfs(i,j));//取最大值
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

然后，我們發現一個神奇的地方......

s[x][y]=max(s[x][y],s[xx][yy]+1)

這行代碼，是不是特別熟悉？

沒錯，這就是一個狀態轉移方程，所以我說記憶化搜索就是玩角色扮演的DFS，裝作DP的亞子，所以實際上這題也可以用DP來解，和上面的代碼也差不太多

總結

再仔細觀察一下咱的代碼，發現記憶化搜索中的DFS函數幾乎不需要外部變量( 自力更生），這也是記憶化搜索的特點之一

所以我們得出記憶化搜索的總結

• 不依賴任何 外部變量
• 答案以返回值的形式存在，而不能以參數的形式存在（就是不能將 dfs 定義成 \(dfs( pos , tleft , nowans )\)，這里面的 \(nowans\) 不符合要求）。
• 對於相同一組參數，dfs 返回值總是相同的

例題

既然說記憶化搜索就是玩角色扮演的DFS，裝作DP，那么幾乎所有的DP，都可以用記憶化求解（好耶）

采葯

DP Code

#include<stdio.h>
int max(int a,int b)
{
    if (a>b) return a;
    else return b;
    }
int main()
{
    int f[1000]={0},c[1000],w[1000];
    int n,v,i,j;
    scanf("%d%d",&v,&n);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=v;j>=c[i];j--)
    {
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }
    printf("%d ",f[v]);
    return 0;
    }

記憶化 Code

int n,t;
int tcost[103],mget[103];
int mem[103][1003];
int dfs(int pos,int tleft){
	if( mem[pos][tleft] != -1 ) return mem[pos][tleft];
    if(pos == n+1)
        return mem[pos][tleft] = 0;
    int dfs1,dfs2 = -INF;
    dfs1 = dfs(pos+1,tleft);
	if( tleft >= tcost[pos] )
    	dfs2 = dfs(pos+1,tleft-tcost[pos]) + mget[pos];
    return mem[pos][tleft] = max(dfs1,dfs2);
}
int main(){
	memset(mem,-1,sizeof(mem));
    cin >> t >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> tcost[i] >> mget[i];
    cout << dfs(1,t) << endl;
    return 0;
}