1 頻域濾波基礎
對一幅數字圖像，基本的頻率濾波操作包括：
1）將圖像變換到頻率域；
2）根據需要修改頻率域數值；
3）反變換到圖像域。
使用公式表達為 
，
H(u,v) 為濾波器（濾波傳遞函數），F(u,v) 為圖像函數的傅里葉變換。
在將圖像變換到頻率域之前，對其中心化處理可使變換后結果更利於觀察與分析，因此，乘以 
以實現中心化。
在反變換到圖像域后，得到的圖像是 
，將其乘以 
使圖像平移還原，因此，乘以 還原平移。
在對數字圖像進行頻移濾波時，需要關注卷積纏繞和振鈴現象，這是在設計濾波函數時需要盡力避免的。
1）卷積纏繞
給定非周期信號，對其進行離散傅里葉變換或者反變換后得到周期信號，而周期信號卷積操作可能產生纏繞。
卷積操作是對兩個信號滑動乘積進行累加，當累加區間大於任意信號周期，就可能對一個信號周期外的值進行重復累加。
解決卷積纏繞的方法就是在傅里葉變換（或反變換前）進行0填充處理，0填充使得信號周期不小於卷積區間，從而避免了卷積纏繞。
2）振鈴
使用0填充可以避免卷積纏繞，但可能產生振鈴現象。
公式 使用頻域乘積進行濾波處理，其等價操作為空間域的卷積 
。
當 H(u,v) 為理想低通濾波器（盒函數），其反傅里葉變換 h(x,y) 包含無限震盪頻率，無限震盪頻率使得在卷積時必然產生振鈴現象。
如果對其進行0填充以避免卷積纏繞，必然對 f(x,y）信號截斷， 對截斷后的 f(x,y) 變換到頻率域，發現之前的盒函數在邊緣上出現了震盪，使振鈴現象更加嚴重。
綜上描述，對於理想低通濾波器，振鈴現象不可避免，如果0填充以避免卷積纏繞將使得振鈴現象更加明顯。
一個折中方案就是對圖像進行0填充，但不對濾波器進行填充， 由於圖像0填充在一定程度降低了卷積纏繞的影響，
同時由於圖像0填充使得理想低通濾波器引起的振鈴現象減弱，從而得到相對理想的結果。
一個更好的方案是使用高斯低通濾波器，由於高斯函數的傅里葉變換（或反傅里葉變換）均為高斯函數，高斯函數沒有震盪周期，故天然沒有振鈴現象。
僅需要對圖像0填充以避免卷積纏繞即可得到較好的濾波結果。
通過討論，可以得到頻域濾波的完整步驟如下：
1）將給定一幅 M*N 的圖像 f(x,y) 0填充為 2M*2N 的圖像 
；
2）對 
乘以 平移到中心，並對器進行傅里葉變換 
；
3）使用濾波器濾波 
；
4）對濾波后頻率進行反傅里葉變換 
，
其中，real 表示取反傅里葉變換的實部，這是因為數值計算過程中不可避免的誤差而導致虛部寄生分量，
抵消到傅里葉變換前的平移到中心操作；
5）從 
中取左上 M*N 圖像即為濾波后結果。
2 低通濾波器
1）理想低通濾波器（ILPF）
理想低通濾波器定義為 
，D(u,v) 為 (u,v) 到中心點距離，
由於理想低通濾波器為一盒函數，其空域卷積核存在震盪特性，這使得理想低通濾波天然存在振鈴現象。
2）布特沃斯低通濾波器（BLPF）
布特沃斯低通濾波器定義為 
，當 n 越大時，布特沃斯濾波器越接近理想濾波器，
因此，變換到空間域后其卷積核的震盪性隨着 n 增大而增大。
當 n=1 時，變換到空間域其卷積核沒有震盪，但其頻率截止曲線過於平滑，圖像平滑效果較差。
當 n=2 時，變換到空間域其卷積核有輕微震盪，但其產生的振鈴現象不大，同時具有較好的平滑性，因此 n=2 可作為一個折中方案，
使用不同的截止頻率 
，可以控制圖像平滑程度，達到不同濾波效果。
3）高斯低通濾波器（GLPF）
高斯低通濾波器定義為 
， 為濾波截止頻率。
由於高斯函數的傅里葉變換（或反傅里葉變換）均是高斯函數，因此，其卷積核沒有振鈴現象。
綜上，似乎高斯低通濾波器是最優的選擇，一般情況下這個結論是正確的。
但是由於2階布特沃斯低通濾波器具有更陡峭的頻率截止曲線，同時其振鈴現象較小，
在一些需要對頻率嚴格分割的情況下，2階布特沃斯低通濾波器應該是一個較好的選擇。
理想低通濾波器會產生較嚴重的振鈴現象，因此一般都不是一個較好的選擇！
3 高通濾波器
有了低通濾波器，對其進行適當取反操作，即可以得到合適的高通濾波器。
1）理想高通濾波器（IHPF）
理想高通濾波器定義為 
，
同樣的，由於其反傅里葉變換具有震盪性，因此同樣會產生振鈴現象，這一般不是一個好的的選擇。
2）布特沃斯高通濾波器（BHPF）
布特沃斯高通濾波器定義為 
,
2階布特沃斯高通濾波器的反傅里葉變換具有可以接受的較小震盪性，這是一個高通濾波的選擇。
3）高斯高通濾波器（GHPF）
高斯高通濾波器定義為 
，
高斯高通濾波器的反傅里葉變換沒有震盪特性，因此濾波后不會產生振鈴，這是一個好的高通濾波選擇。
參考資料 Digital Image Processing Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods