提要

在前面的話

一次函數是函數領域最具有代表性，也是最簡單的函數。
反比例函數同樣具有代表性的函數體。
二者具有類似的性質，反比例函數與一次函數相結合能夠碰撞出多種變化的規律與結論。因此，對於函數領域的研究，有必要從一次函數、反比例函數、一次函數與反比例函數結合體探究起。

計划分布

通過剖析函數定義，解讀一次函數，解讀反比例函數，進而理解二者性質。然后進行二者結合的研究

Path

理解函數定義
理解一次函數及圖像
理解反比例函數及圖像
初步一次函數與反比例函數結合
研究一次函數與反比例函數圖像結合

1 函數（Founction）

1.1 代數定義

“設x和y是兩個變量，D是一個給定的數集。如果對於每個數x∈D，變量y按照一定法則總有確定的數值和它對應。則稱y是x的函數，記作y=f(x).數集D叫做這個函數的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。”（《高等數學》，同濟大學數學研究室主編，1995年3月第16次印刷）
類似地，對應值y的數集I叫做這個函數的值域(初步理解)

解析

定義給出了7個名詞：變量、數集、函數、定義域、值域、自變量、因變量。

變量的給出，代表函數不是一個確定的等式，而是可變的等式
x所屬的數集D，並沒有給出具體限制，所以D可以包含任意數（或集合）。——在遇到函數問題時，應時刻注意數集D的給定區間。
函數是“對於x而言連續”的。即對於數集D內每個x值，y都必須有相應的確定的數值對應。故“y對於x而言連續”是判斷函數的一個必要條件
定義域定義的給出，並不十分嚴謹，如果該數集為空，實際情況而言是不符合函數定義的...——所以盡量不要較之，還是更多聯系函數產生的目的
因為y只要按照“一定法則”對於x做運算即可，所以數集R同樣不一定連續分布在數軸上。——注意：函數運用較多的，定義域是區間，因此元素x更多時候是連續分布在數軸上的。但是數集R則情況不定——>例如將要研究的反比例函數，值域的所有元素不是連續分布在數軸上。
自變量和因變量則...讀者自悟

“函數y=f(x)中表示對應關系的記號f也可以改用其他字母，例如“F” “G”等等。這時函數就記作y=F(x),y=G(x)。”（同上）

1.2 圖形

“設函數y=f(x)的定義域為D，對於任意取定的x∈D，對應的函數值為y=f(x).這樣，以x為橫坐標、y為縱坐標就在xOy平面上確定一點(x,y).當x遍取D上的每一個數值時，就得到點(x,y)的一個集合C：

\[C=\{(x,y)｜y=f(x),x\in D\} \]

這個點C成為函數y=f(x)的圖形。
”
見配圖1-1

2 一次函數

定義
形如 f(x)=kx+b(k,b為常數，k≠0)的函數叫做一次函數。

...挺離譜的一個形式定義，不過言簡意賅，可以很直接地通過定義理解一次函數：

2.1 一次函數性質

一次函數在x∈(-∞,∞)內無界（定義域D在D={a|a∈[m,n]|m,n∈R}內有界、doge）。
一次函數具有單調性。當常量k∈(0,∞)時，一次函數在x∈(-∞,∞)上單調增加；當常量k∈(-∞,0)時，一次函數在x∈(-∞,∞)上單調減少。
當b=0時，一次函數為奇函數
(以上性質讀者自證)

2.2 一次函數一般圖像

見配圖2-1
由此可得：當b≠0時，一次函數圖像經過三個象限；當b=0時，一次函數圖像經過(0,0).經過兩個象限。

更多地：

k∈(0,∞)，b∈(0,∞)時，一次函數圖像經過第一、二、三象限，不經過第四象限，不過原點O。
k∈(-∞,0),b∈(0,∞)時，一次函數圖像經過第一、二、四象限，不經過第三象限，不過原點O。
k∈(0,∞)，b∈(-∞,0)時，一次函數圖像經過第一、三、四象限，不經過第二象限，不過原點O。
k∈(-∞,0)，b∈(-∞,0)時，一次函數圖像經過第二、三、四象限，不經過第一象限，不過原點O。
b=0時，k∈(0,∞)時，一次函數圖像經過第一、三象限；k∈(-∞,0)時，一次函數圖像經過第二、四象限。過原點O。
見配圖2-2

2.3 一次函數的一些規律

斜率=常量k
- 設f(x)=kx+b.那么f'(x)=k。
- 圖像與x、y軸夾角不變。
- 線性函數，給定圖像上任意兩點即可作出該一次函數⇔給定C內任意兩個元素，即能求出對應的一次函數解析式
定義域和值域都可以取任意實數
！圖像過點P(0,b)點和點Q(-b/k,0)！⇔ PQ所在直線即為該一次函數圖像
|k|越大，圖像與x軸夾角越接近90°；|k|越小，圖像與x軸夾角越接近0°

2.4 利用一次函數圖像解決問題

例2-1：已知函數 y=kx,有一點P(2,3),點Q(5,6),當函數y與線段PQ有且只有一交點時，求k的范圍.
此類地形常出現在綜合函數、幾何中的一小步驟，雖然很簡單，但是我們有必要借此機會研究清晰，以防在綜合求解中此類步驟出錯。
解析：點P、Q坐標已知，函數y=kx，由2.3可知b=0時，圖像過點O(0,0)。
建立平面直角坐標系：

不難看出，函數y是以O為支點轉動的一條直線。我們且可隨意作一條：

發現此時函數與線段無交點。當線逆時針轉動的過程中，首先與線段PQ的交點為Q：

繼續向上運動的過程中，一段時間內，直線y都與PQ有且只有一個交點：

當轉動到與P相交時，如繼續逆時針運動，則直線y與PQ無交點，故滿足題意的函數y的圖像逆時針運動時的臨界一為Q，一為P。
換句話說，即為，y的圖像可以在P、Q間運動：

也就是，在P點時，均滿足f(Px)≤Py;在Q點時，均滿足f(Qx)≥Qy的k的取值為符合題意的取值。那么就可以列出不等式：

\[ k∈\left\{ \begin{aligned} f(2) & ≤ 3 \\ f(5) & ≥ 6 \\ \end{aligned} \right.\]

解得

\[k∈[1.2,1.5] \]

而k=1.2時，函數圖像過點Q；k=1.5時，函數圖象過點P。

一般性規律

進一步的，我們可以把此類問題歸划為總體：
“已知函數y=kx(k≠0),已知一條線段的坐標，求交點問題。”
見配圖2-3

例2-2：已知函數y=x+b，和點P(2,3)，點Q(5,6).當函數y與線段PQ有且僅有一個交點時，求b的取值范圍。
解析：由例題2-1分析法，作圖，找到函數y運動的一般性規律，求出兩個臨界即可列不等式求解集：

解得：b=1