克魯斯卡爾（Kruskal）算法

本文轉載自查看原文 2021-05-17 16:23 227 數據結構

概覽

相比於普里姆算法（Prim算法），克魯斯卡爾算法直接以邊為目標去構建最小生成樹。從按權值由小到大排好序的邊集合{E}中逐個尋找權值最小的邊來構建最小生成樹，只要構建時，不會形成環路即可保證當邊集合{E}中的邊都被嘗試了過后所形成的樹為最小生成樹。

定義

假設G=(V, {E})是連通網（即帶權連通圖），則令最小生成樹的初始狀態為只有N個頂點而無邊的非連通圖T=(V, {})，圖T中每個頂點自成一個連通分量。在圖G的邊集{E}中選擇權值最小的邊e，若e依附的頂點落在T中不同的連通分量上，則將e加入到T中，否則舍去e而選擇下一條權值最小的邊。以此類推，直至T中所有頂點都在同一連通分量上為止。

相關概念

連通：在無向圖G中，如果從頂點v到v’有路徑，則稱v和v’是連通的。

連通圖：如果對於圖G中任意兩個頂點v_i、v_j∈E，v_i和v_j都是連通的，則稱G是連通圖。

過程簡述

輸入：帶權連通圖（網）G的邊集E及頂點個數。(E已按權值的升序排序。)

初始：T=(V, {})， V是圖G的頂點集合且各頂點自成一個連通分量；表示邊的集合為空{}。

操作：重復以下操作，直到T中所有頂點都在同一個連通分量上。

依次取E中一條邊e（邊e必為未嘗試過的邊中權值最小的邊。因為{E}已按權值升序排序）。
將e的兩個頂點分別放入T的各連通分量集合V中以測試該頂點是否分別在不同連通分量中。
設存在一個方法/函數Find(V, vertex)，從連通分量集合V的vertex頂點開始沿該連通分量查找，返回以vertex開始的連通分量的最后一個頂點（的下標）。令n=Find(V, e.begin)和m=Find(V, e.end)，若n≠m則e存在於T的不同連通分量中，故將e.end加入到以e.begin開始的連通分量中去。（注：e.begin表示e的開始頂點；e.end表示e的結束頂點；雖然無向圖的邊不存在開始頂點或結束頂點，但是作為程序表示，也得有兩個值來表示邊的兩個頂點。）（為什么n≠m則兩個頂點分別位於不同的連通分量中？若v₁、v₄、v₆位於同一個連通分量，v₃、v₇位於另一個連通分量。那么怎么表示這兩個連通分量呢？可以用一個數組來表示！數組的索引本身即是頂點v的下標，而v在數組中對應的存儲單元存有構成該連通分量的下一個頂點v’。用一個數組parent表示圖T的V。那么parent[1]=4，parent[4]=6，parent[6]=0，0表示該連通圖中已無別的頂點；parent[3]=7，parent[7]=0。對於邊(1, 6)（或(6, 1)），將1帶入parent數組，最終會沿着連通圖找到n=6；將6帶入parent數組，最終會沿着連通圖找到m=6。n=m所以這兩個頂點位於相同連通圖中。而對於邊(4, 7)（或(7, 4)），將4帶入parent數組，得到n=6；將7帶入parent數組，得到m=7。n≠m所以兩個頂點位於不同連通圖中。把點v₇所處的連通圖放入v₁、v₄、v₆構成的連通圖中：parent[6]=7（parent[n]=m）反過來點v₄所處的連通圖放入v₃、v₇構成的連通圖中，即parent[7]=6也行，只采用兩者之一即可。）
直到T中所有頂點都在同一連通分量上為止。（E中的每一條邊都嘗試一遍即可。）

輸出：最小生成樹。

如何實現

輸入：用Edge類表示邊，其中Begin/End/Weight域分別表示邊的兩個頂點的下標及權重。Edge數組E表示邊集，N表示頂點個數。(E已按權值的升序排序。)

初始：用包含N個存儲單元的數組parent表示T=(V, {})的 V，即各頂點自成的連通分量。parent數組的下標i即為頂點的下標，i處存放的值parent[i]即為連通分量中下一個頂點的下標，parent[i]=0表示該連通分量已結束。將parent的各存儲單元初始化為0。

操作：重復以下操作，直到T中所有頂點都在同一個連通分量上。

依次取E中一條邊e。
將e.Begin和e.End帶入parent數組，找到連通分量中的最后一個頂點。n=Find(parent, e.Begin)和m=Find(parent, e.end)，若n≠m則e存在於T的不同連通分量中，故將點e.End所處的連通圖加入到點e.Begin所處的連通圖中去，即parent[n]=m。（反過來parent[m]=n也行。）
直到E中的每一條邊都嘗試一遍即可。

輸出：最小生成樹。

如上面的這個圖G=(V, {E})，其中V={v₀, v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈}，E= {(v₄, v₇, 7), (v₂, v₈, 8), (v₀, v₁, 10), (v₀, v₅, 11), (v₁, v₈, 12), (v₃, v₇, 16), (v₁, v₆, 16), (v₅, v₆, 17), (v₁, v₂, 18), (v₆, v₇, 19), (v₃, v₄, 20), (v₃, v₈, 21), (v₂, v₃, 22), (v₃,v₆, 24), (v₄, v₅, 26)}

用一個邊集來表示該圖G，得上圖右邊的數組。

① 輸入：帶權連通圖G=(V, {E})的邊集合及頂點數目，求圖G的最小生成樹。

② 初始：T={V, {}}，用數組parent=int[9]來表示V，parent數組記錄的是以索引i表示的頂點開始到parent[i]表示的頂點構成的連通圖。例如：（parent數組本身就含有兩個信息：索引和索引處的值，vertex數組是不存在的，只是為了輔助理解。）

非連通圖頭頂點下標vertex：[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ]

非連通圖尾頂點下標parent：[ 0, 0, 8, 0, 7, 0, 0, 0, 0 ]

parent[2]=8，parent[8]=0即頂點v₂、v₈構成一個連通分量。

parent[4]=7，parent[7]=0即頂點v₄、v₇構成一個連通分量。

③ 操作：

1.上圖中，邊(4, 7, 7)權值最小，取該邊為e。

2. 此時parent[4]=0，故n=4；parent[7]=0，故m=7；n≠m故parent[4]=7，將{v₄}和{v₇}這兩個連通圖合並為一個連通圖。執行后parent數組如下：

非連通圖頭頂點下標vertex：[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ]

非連通圖尾頂點下標parent：[ 0, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0 ]

解釋：parent[2]=0，即v₂自成一個連通圖。parent[4]=7，parent[7]=0即v₄所在連通圖中還有v₇，v₇接下來沒有別的頂點了，即v₄、v₇在同一個連通圖中。

3.從E中取下一條邊繼續上面1、2步驟的操作。

④輸出：

演示過程

(4,7) = 7