為什么電壓量經過PID控制器就變為電流量？電流量經過PID控制器就變為電壓量？

問出這個問題的人多少具有一定的不求甚解的態度——需要一個說法——下面這個是我說服我自己的說法，拿出來和大家分享。先說結論，比例積分調節器就是一個自適應控制器。對於不知道李雅普諾夫穩定性的讀者，可以不用往下看了，我也不知道該怎么從線性系統理論的角度向你們解釋這件事（懶）。

【提出問題】：給定一個電流指令 i*，如何通過控制電壓 u，將電機電流 i 調節至給定值——換句話說，就是將電流控制誤差 i-i* 調節至零。

【數學建模】系統的模型為

讀作：電壓減去電阻壓降等於反電勢等於磁鏈的導數等於電感乘以電流的導數。如果是電機，可能還存在旋轉反電勢，如下：

讀作：電壓減去電阻壓降等於反電勢等於磁鏈的導數等於漏感乘以電流的導數+旋轉反電勢。這里應該注意到，電壓可以“直接”影響電流的時間導數。同理，電壓也可以“直接”影響磁鏈，這就是直接轉矩控制（DTC）的原理。

【構造控制器】*** 已知比例積分 (PI) 調節器如下

這條式子就是你說的電流量經過 PI 變成電壓。這里，假設變流器（或功率變換器，或逆變器）的傳遞函數為 1，即 。

【選擇工具並分析】對控制器有效性的理解，一般需要借助一定的工具。 對於線性系統來說，如果已經知道了系統輸入長什么樣子，最直白的就是求特征根了，但是把電壓輸入給定 u*=u 帶回系統模型中去，你會發現不知道如何去處理電流控制誤差的積分項。其實，積分這件事就會導致系統狀態擴張——比如在滑模控制中，可以通過引入積分項，使得初始控制誤差從一開始就在滑模面上，省去趨近的過程。也就是說，你以為你面對的是一個一階系統，但是你的 PI 控制實際上是一種“動態”控制，導致整個誤差系統升階了。當然，你可以選擇令電流控制誤差積分為新的狀態，把它當成二階線性系統繼續分析（我不感興趣，不作分析）。但在那之前，你不好奇為什么要用 PI 控制嗎？為什么不能用 PD 控制？

為了回答這個問題，我們需要用到的分析工具是非線性系統理論中的李雅普諾夫穩定性定理。

【從無到有重新構造控制器解決所提問題】考慮下述候選李雅普諾夫函數：（候選的意思就是可能這個分析是失敗的）

它沿着誤差系統動態方程 的時間導數為

其中，我們假設了給定電流是常數，即 i* = Const.，其導數為零（比如，在同步旋轉坐標系下）。

為了使得 負定，我們令

這不是坑爹么，電阻值 r 和旋轉反電勢 e2 是未知的啊。反過來說，如果 e2 為零，知道 r 的話，就可以用純 P 對電流進行控制，如果使用的 r 值有誤差，就會導致穩態控制誤差。

為了解決 e2 和 r 未知的問題，這里我們構造一個自適應控制器，修改上面得到的電壓表達式為：

這里的 是我們擴張的狀態，用於抵消系統中未知的 ri+e2。為了得到能夠達成此目的的 的表達式，我們再次使用李雅普諾夫穩定性定理，過程如下：

其中，旋轉反電勢的估計值 用於抵消系統中的未知部分。最后一個等式的導出，施加了如下約束：

如果該約束成立， 就是負定的，意味着電流控制誤差 i - i* 會收斂至零（需要用到Barbalat's Lemma）。為了使得該約束成立，我們定義旋轉反電勢的估計誤差為（沒錯，就是這么流氓）

於是，我們有

其中，注意到 是常數，所以 。總結起來，就是說，通過構造如下輸入電壓

就能夠使得電流控制誤差收斂至零。其中，這里 P 和 I 前面的負號的有無取決於控制誤差的定義，如果定義為 i*-i，那就是正號。

到這里都能看懂了的話，應該就能明白為什么經過 PI 后電流誤差變為電壓了吧？就是因為在動態方程中，電壓能夠直接影響電流的時間導數（不太記得了，這種良好的性質應該是被稱為相對階為1，就是在描述系統輸入和輸出的相對關系）。實際上，你能解釋任何使用 PI 控制器輸入輸出的物理量變化的原因了。比如，我們前面討論的都是控制電感電流，如果控制對象換成一個電容，那么狀態變量就是電容電壓，控制輸入則是電流（實際上一般還是控制的輸入電壓，但是輸入電壓減去電容電壓是直接正比於輸入電流的），這個時候 PI 控制器將電容電壓誤差變為了輸入電流。

此外，你還能解釋為什么 PI 控制不能調節交流給定了。在 i*(t) 是正弦波的情況下，你需要的是 Resonant control。 要是沒人點贊的話我以后就少在知乎作這種嚴謹的回答了，可能還是抖機靈的回答更適合知乎，舉個我抖機靈的例子（已經獲得了九個贊了哦，厲害吧）：

能不能用通俗的語言講解一下滑模觀測器SMO的原理，及其在永磁電機PMSM控制中的應用？​ www.zhihu.com

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如果你明明不懂李雅普諾夫穩定性還是看到這里了，好吧，我服你了，下面的內容姑且算是在線性系統理論里解釋 PI 控制的嘗試。即，我們還可以把 PI 看成阻尼和彈簧——我放一張圖，可能能勾起一些人的回憶。

用阻尼和彈簧來形象表示 PI 控制的效果

圖中用 PI 控制機器人關節的位置誤差 至零。可能已經有人意識到了，我們可以類比一下，這就算是在線性系統理論下解釋 PI 的辦法了。重寫上面的幾條式子：

接下來就是想辦法得到圖片中類似的式子了，把 u 的表達式代入這里的第一條式子，得：

（不好意思，之前的推導錯啦）正確的誤差動態是一個一階動態方程，這里對電流控制誤差的積分就是我們在前文提到了的估計項 。這里就能看出線性系統工具的局限性了：這里必須要求 為零（是否能使其為零則無從判斷），電流控制誤差才收斂至零；而前文的李雅普諾夫穩定性分析是能直接給出在估計誤差 有界的情況下——這是李雅普諾夫函數存在的推論——就保證電流控制誤差的漸近穩定性的。而且，還能夠進一步證明，在滿足一種名叫“持續激勵”的條件的情況下，該估計誤差是收斂至零的。

值得一提的是，由於我們把積分看成是一種對系統未知參數的估計， 表面上沒有對誤差方程求導而導致誤差系統升階，實際上則是因為我們引入了額外的狀態變量 罷了。

最后再再再點題一下，由於控制是的一個感性系統（電感），輸入是電壓，輸出是電流——這暗示着電壓可以直接影響電流的時間導數——所以需要根據反饋，將電流誤差經過 PI 控制變為了電壓量作為系統輸入。這里我們看到，為了穩定系統，根本用不到微分 (D) 控制，如果要加上微分也可以，那就相當於修改最后一條方程中一階導數項前面的系數 ——所以它在電機暫態分析中被稱為瞬態漏感（好像是）不是沒有原因的。

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【后記】據評論知，題主好像問得是逆變器中的雙環控制，所以，我也把這邊所學到那邊應用了一下，也不知道對不對，傳送門如下。

為什么電流電壓雙閉環控制器中的電流量通過PID控制器輸出電壓量？​ www.zhihu.com

本文對微分的作用介紹很少，系統特性使然。對這部分感興趣的可以看看這個回答：

PID 的微分環節主要作用是什么？​ www.zhihu.com