一.用邏輯符號表達下列語句（論域為包含一切事物的合集）
1.確診者並不都有症狀（注：需給出兩種形式表達，一種用存在量詞，一種用全稱量詞）
2.有些老人不喜歡寵物
1.過平面上的兩個點，有且僅有一條直線通過
2.並不是所有的士兵都想當將軍，而且不想當將軍的士兵未必不是好士兵（一種形式，包含全稱量詞和存在量詞）
1.集合A的任一元素的元素都是A的元素
2.天下沒有長相完全一樣的兩個人（要求寫出兩種形式，一種用全稱量詞，一種用存在量詞）
1.只有天不下雨，我才開車出行。
2.貓必捕鼠。（給出兩種表達，一種用全稱量詞，一種用存在量詞）
二.填空題
1. 設集合A有50個元素，則由集合A可構成________個子集。其中有________個子集其元素個數為奇數。
2. 讓5位中國籍學生和5位英國籍學生排成一排，要求中國籍學生和英國籍學生交叉出現，即同國籍的學生不能相鄰，則有______種不同的排法。
3. 函數f(x)=(1-3x)^-2中，x^4的系數是______.
1.集合A={1,2,3,4,5,6,7}, A上的一個划分={{1,2},{3,4,5}, {6,7}}. 那么所對應的等價關系R包含的有序對的個數是______個.定義偏序關系為集合A上的整除關系,則這個偏序關系上含有的有序對個數是______個.集合A上有____個既是對稱又是反對稱的關系.
2.已知集合A={a,b,c,d}上的兩個關系R1={<a,a>,<a,b>,<b,c>},R2={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,b>}.則R2^2=________________________, R2⚪R1=___________________
3.一個商店提供了3種不同的鋼筆, 假設顧客小王進店時, 每種鋼筆至少有5支.則小王選5支鋼筆的方式有(_____)種.
4.設Km,n是兩部分分別有m和n個頂點的完全二部圖, 則Km,n的着色數是(_____)
5.設樹T的頂點集合為V={v1, v2, ..., vn}, T的平均度為
.請用D表示出樹T的頂點個數n=_______
1.設A={∅，{∅}}，計算∅-A=____∅______，A-P(∅)=_______∅__________，P(A)-{∅}=_{{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}_，P(A)⊕A=_{{{∅}}，{∅，{∅}}}_.（其中P(A)表示A的冪集）
2.按照無窮公理表示的自然數以及連續統假設，用最簡潔的形式寫出下列計算結果，其中N表示自然數集合，R表示實數集合。
∩30=____∅______,∩{18,27}=______18_______,|𝐍𝐍|=____
________,|𝑹𝑹|=___
________
3.將函數f(x)=(𝟏+𝒙+𝒙𝟐+𝒙𝟑+⋯)²(𝒙𝟐+𝒙𝟑+𝒙𝟒+⋯)³ 展開后𝒙𝟏𝟒系數是___495_____
4.如果平面圖和它對偶圖是同構的，則稱此平面圖是自對偶的。若G是有n個頂點，m條邊的自對偶圖，求n和m滿足關系式是___m=2n-2____（此關系不含有n和m以外的其他變量）
5.設圖G是共有10個頂點邊數最多的三部圖，則G有____33_________條邊。
6.有六對夫婦坐在一個圓桌旁，其中通過轉圈得到的坐法視為相同的坐法，𝑺𝒊表示i對夫婦坐一起，則同時滿足𝑺𝟏，𝑺𝟑和𝑺𝟔的坐法有_ 8*8!___種。
三.計算題
1.由P↑Q=¬(P∧Q)，試僅用與非聯結詞↑分別表示出：
（1）¬P
（2）P∧Q
（2）P→Q
2.對任意正整數n≥2，給出C(n,1) + C(n, 2)+…+(Cn, n)的最簡表達式（即計算其值），其中C(n,i)表示從n個元素中取i個元素的組合數。
1.個體域為{a,b,c},將下列公式寫成命題邏輯公式
2. 計算下式的主析取范式和主合取范式
，寫出求解步驟，結果用極小項和極大項數字表示簡潔形式
(要求寫出詳細運算步驟)
1.有120個學生參加考試，共有A、B、C三道題。已知三道題都做對的有12個學生，作對A、B都有20個學生，做對A、C的有16個學生，做對B、C都有28個學生，做對A的有48個學生，做對B的有56個學生，有16個學生一道題也沒有做對，試求僅做對C的學生有多少個？
四.解/簡答題
1. 由2，4，6，8（數字可重復使用）這四個數字組成的n位數中（n≥2）要求含偶數個2，奇數個4且至少含1個6，數字8出現的次數不加限制。設滿足這些條件的n位數的個數為an。
（1）求a1, a2, a3…, an…對應的指數型母函數g(x)。
（2）求an的表達式。
2. 有５個人雨天帶傘參加會議，每人帶一把傘，進入會場時隨意放傘，結束時每人隨意拿一把傘離開，問：
（１）每人拿到的都不是自己的傘的排列數。
（２）至少有一人拿到自己傘的概率是多少？
1. 寫出集合A上的一種關系，它既是等價關系，又是偏序關系，並簡要說明這種關系的特點。
2.
3.
1.4名同學同時參加英語和德語面試，要求每門科目只能同時面試1人，2門科目面試時間先后順序認為是不同的，試問共有多少種不同的面試次序？
2. 求滿足遞推關系𝒉𝒏=5𝒉𝒏−𝟏−6𝒉𝒏−𝟐中𝒉𝒏的表達式，其中初始條件𝒉𝟎=1，𝒉𝟏=-2
1.
五.證明題
1. 設A為n元集，R是A上的關系，則比存在兩個非負整數使s和t，使得R^s=R^t
2.簡單圖G中頂點的最小度為k，證明G中存在一個最少為k的路
1.證明下面恆等式
，
1、對非空集合A上的關系R，若R是非自反和傳遞的，證明R是反對稱的。
2、設𝑲𝒏是n個頂點的完全圖，用紅、藍兩種顏色給𝑲𝟗的邊任意着色。
1)證明𝑲𝟗中至少存在一個頂點v，使得v關聯紅邊個數不是3。
2)證明必有藍色的𝑲𝟒或紅色的𝑲𝟑。
1.