資產配置模型之-BL模型

一,BL模型的發展

馬科維茨（Harry Markowitz）的現代投資組合理論（Modern Portfolio Theory）對於量化投資有着開天辟地的作用。它通過“均值 — 方差”最優化來確定最佳資產配置組合，同時考慮收益的最大化和風險的最小化（Markowitz 1952）。

然而，令人倍感意外的是，“均值 — 方差”法雖然在數學上十分優雅，但它在投資實務中的影響卻遠不及它在理論上的名聲卓著。究其原因，是因為它給出的最佳投資組合對該模型的核心輸入之一即投資品的期望收益率非常敏感；而且期望收益率很難准確預測。

為解決這個問題，兩位量化投資界的先驅 —— 高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 發明了大名鼎鼎的 Black-Litterman 資產配置模型（Black and Litterman 1992）。該模型以市場均衡假設推出的資產收益率為出發點，結合投資者對不同投資品收益率的主動判斷，最終確定投資品的收益率和最佳的投資組合配置。

二,均值方差模型的缺點

假設我們要在 N 個投資品之間進行資產配置。馬科維茨的現代資產配置理論以這些投資品的期望收益率和協方差矩陣作為輸入，通過最優化下列目標函數求出最佳的投資組合：

其中 表示投資品的期望收益率向量， 表示投資品的協方差矩陣， 表示投資者的風險厭惡系數， 則是投資品在投資組合中的配置權重。在不考慮任何約束的情況下，該問題的最優解，即最佳資產配置為：

該模型之所以在實際中被專業投資機構詬病有兩個原因。第一是因為它的輸入非常嚴苛：投資者必須提供待配置投資品的期望收益率和協方差。一旦預測的數值非常離譜，那么資產配置效用的最大化就變成誤差的最大化。對於協方差，通過歷史數據計算尚且能用，但是對於未來的期望收益率的准確預測卻難上加難。二者相較，期望的預測比協方差的預測更加重要

Chopra and Ziemba (1993) 指出，收益率期望的誤差對資產配置的影響比協方差的影響高一個數量級。

第二個原因是，它求出的最佳資產配置權重對期望收益率非常敏感。當期望收益率有哪怕僅僅一點變化時，它給出的最佳配置較之前的配置可能發生很大的改變，這樣的結果很難被投資者所接受。

1. 人們很難有效的預測期望收益率；
2. 最優資產組合配置對輸入非常敏感，結果往往難以被人理解。

為了解決這兩個問題，Black 和 Litterman 於 1992 年提出了 Black-Litterman 模型。

三,收益率的貝葉斯收縮

與“均值 — 方差”模型相比，Black-Litterman 模型最大的區別在於對收益率的預測。在收益率預測方面，Black-Litterman 最本質的核心是它在貝葉斯框架下使用先驗收益率以及新息得到后驗收益率，它是一種對收益率的貝葉斯收縮（Bayes shrinkage）。得到收益率后，Black-Litterman 模型同樣通過求解第二節中的最優化問題確定最優的資產配置權重。

貝葉斯收縮以某種方法得出的期望收益率作為先驗（prior），以最近 T 期收益率數據求出樣本期望收益率作為新息（new observation），結合前兩者最終計算出后驗期望收益率（posterior）。該方法以最優的比例使基於新息的預測向先驗預測“收縮”，這個最優的比例使得后驗期望收益率的誤差最小。

在數學上，上述方法的表達式如下：

其中 ， 及 分別表示先驗、后驗、新息期望收益率向量； 是先驗期望收益率的協方差矩陣， 為新息期望收益率的協方差矩陣（ 為收益率的樣本協方差矩陣、T 為樣本數即期數）；-1 次方表示對矩陣求逆。

不難看出，后驗期望收益率 就是 先驗 和新息 的加權平均，而這兩者的權重與它們各自的精度（由協方差矩陣的逆衡量）有關，這就是貝葉斯收縮的核心。在現實中使用上述方法時，對於期望收益率的先驗，可以采用因子法或者經驗法估計，不同的方法各有千秋。了解了貝葉斯收縮之后，我們馬上來看解釋 Black-Litterman 模型。

四,貝葉斯框架下的BL模型

Black-Litterman 模型的本質就是一種收益率的貝葉斯收縮，只不過無論是期望收益率的先驗還是新息，都是從投資的實務出發的（畢竟提出這個的人來自高盛，出發點是為了解決實際資產配置中遇到的問題）。

先來看看先驗期望收益率。

Black-Litterman 模型從市場的供需出發，認為投資品在整個市場中按其市值的占比體現了當前市場供需關系的均衡狀態（equilibrium）。投資品市值與市場總市值的比值就是該投資品在這個市場均衡組合中的權重，記為 。在這個基礎上，模型進一步假設各投資品的在市場組合中的配置比例 是由投資者追求效用的最大化（即第二節中的最優化問題）所致，並由 反推出市場均衡狀態下各投資品的收益率，把它作為先驗：

對於先驗期望收益率的協方差矩陣，模型假設它和收益率的協方差矩陣 有着同樣的結構，但是數量級要小很多。它用一個很小的標量 作為縮放尺度，得到先驗期望收益率的協方差矩陣 。

再來看看新息期望收益率。

Black-Litterman 模型將新息定義為投資者對於投資品收益率相對強弱的主動判斷（稱為 views，即觀點）。舉個例子，有兩個投資品 A 和 B，我們通過分析認為 A 比 B 的期望收益率要高 2%，這意味着做多 A 並同時做空 B 的投資組合可以獲得 2% 的收益。在數學上，假設 E[A] 和 E[B] 表示 A 和 B 的新息期望收益率，則上述觀點可以表述為：

其中 是 K × N 矩陣（K 表示 views 的個數；N 表示投資品的個數；本例中 ）；μ 表示新息期望收益率向量（本例中是 ）； 是 K 階向量（本例中 ），表示每個 view 中投資品收益率相對強弱的大小。

這個方法的好處是，它事實上根本無需投資者來猜 （在稍后的推導中可以看到， 不出現在貝葉斯收縮的表達式中），而只需要投資者提供矩陣 和向量 來表達自己的觀點。

現實中，投資者往往對自己的 views 並不是 100% 確定。這時，我們可以把收益率相對強弱的取值理解為來自一個正態分布，並通過該分布的標准差來描述主動判斷的不確定性。例如在上面的例子中，我們可以說 A 比 B 的期望收益率要高 2%，而標准差為 3%。在數學上，該模型使用 K × K 的矩陣 記錄 views 的不確定性。模型假設 views 之間相互獨立，因此 Ω 是一個對角陣，對角線上的元素表示對這 K 個 views 的方差。最后，通過 P 將 的逆矩陣轉化為 （N × N 矩陣）作為新息期望收益率的精度。

把先驗和新息期望收益率套到貝葉斯收縮的框架中就得到 Black-Litterman 模型下的后驗期望收益率：

上面的推導中用到了 ，從而巧妙的將 從貝葉斯收縮的表達式中消除了。求出后驗期望收益率 之后，帶入第二節的最優化問題中，便可以求出 Black-Litterman 模型下的最優投資組合權重：