矩陣范數的定義與推導

1、矩陣范數的定義

《計算方法》課本上的定義：

設 \(\textbf{A}\) 為 \(n\) 階方陣，$|| \cdot || $ 為 \(\textbf{R}^n\) 中的某范數，則稱為矩陣 \(\textbf{A}\) 的從屬於該向量范數的范數，記為 \(|| \textbf{A} ||\).

這個教材（HUST）的描述實在是讓我雲里霧里，不得已，只得在其他地方找一找別的定義。在別的地方，有一個定義式叫做誘導范數，如下：

\(\displaystyle||\bold{A}||_{p}=\max_{x\ne\bold0}\left\{ \frac{||\bold{A} \bold x||_{p}}{||\bold x||_{p}} \right\}\). （①）

然后特意問了老師，這個定義式和教材上的定義是等價的。原因的話，其實是 \(x\) 取了單位向量，而且 \(x\) 的取值是不影響 （①） 中 \(\displaystyle||\bold{A}||_{p}\) 的取值的。

還要注意的一點是，這里矩陣范數所指的矩陣，其實是特指方陣，雖然書上沒有說，但這個也是容易理解的。

2、三個矩陣范數的證明

設有 \(n\) 階實方陣 \(\bold{A} = \{ a_{ij} \}\)，則從屬於 \(l_1, l_2, l_∞\) 范數的矩陣范數分別為：

\[{|| \bold{A} ||}_1 = \max_{1 \leqslant j \leqslant n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}| \]

\[{|| \bold{A} ||}_2 = \sqrt{\rho(\bold{A}^{T}\bold{A})} \]

\[{|| \bold{A} ||}_∞ = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \]

接下來我們就來證明上面的三個式子。

2.1、\(||\bold{A}||_1\) 范數

根據誘導范數的定義，\(\displaystyle ||\bold{A}||_{1} = \max_{x\ne\bold0}\left\{ \frac{||\bold{A} \bold x||_{1}}{||\bold x||_{1}} \right\}\)，然后，根據范數的定義：

\[||\bold{x}||_p = \left ( \sum_{i = 1}^{n} |x_i|^p \right )^{\frac{1}{p}}, \quad \bold{x} = (x_1, x_2, ... , x_n)^{T} \in \bold{R}^n . \]

有：

\[||\bold{A} \bold{x}||_{1} = \sum_{i = 1}^{n} \left| \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} \cdot x_j \right| \leqslant ||\bold{A} \bold{x}||_{1} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \left| a_{ij} \cdot x_j \right| \\ \leqslant \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \left| a_{ij} \right| \cdot \left| x_j \right| = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} \left| a_{ij} \right| \cdot |x_j| (對 \bold{A} 中各個列和與 x_i 的乘積進行求和) \\ \leqslant \max_{1 \leqslant j \leqslant n} \left( \sum_{i = 1}^{n} {|a_{ij}|} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{n} {|x_j|} \]

然后，和分子進行比較，約去相同的項，就得到了 \(\displaystyle {|| \bold{A} ||}_1 = \max_{1 \leqslant j \leqslant n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|\) 這個公式了。

但是，這其中有個問題，就是我們還需要驗證等號確實能夠取到。這里，我們取 \(\bold x = (0, 0, 1, ... , 0)^{T} \in {\bold R}^n\)，其中，\(\bold x\) 中為 \(1\) 的惟一一個分量的位置對應着矩陣中列的絕對值之和最大的那一列的列值。此時，等號成立。

2.2、\(||\bold A||_2\) 范數

2.3、\(||\bold A||_∞\) 范數