2020 省選聯考

「聯合省選 2020 A | B」冰火戰士]

找單調增、降的最小值這樣的函數的最大值。

先二分一次找到臨界點，然后最優答案一定存在於左右兩邊，然后再二分一次找到最右側能取到的位置。

用樹狀數組常數小 \(O(n \log n)\)

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「聯合省選 2020 A」組合數問題

下降冪和組合數結合：

\[{n \choose k} k^{\underline{m}} = {n - k \choose m - k} n^{\underline{m}} \]

如果把 \(f\) 轉為下降冪多項式 \(b\)，交換求和順序后，第二層可以化為一個二項式定理的形式。

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「聯合省選 2020 A」魔法商店

論文題。

保序回歸問題：給定數組 \(w, y, p\)，同時給一個 DAG，賦值 \(f\)，要求賦值后任何一條 DAG 上路徑 \(f\) 遞增，最小化 \(\sum_i w_i|f_i-y_i|^p\)

做法：整體二分，轉化為只選 \(mid, mid+\epsilon\) 的問題（確保這之中不會有最優解），這個是最大權閉合圖模型。選的這個東西類似於求導。

此題：把可以代替 \(A\) 里的一個元素 \(u\) 的點 \(v\)，連 \((u, v)\) 的邊。\(B\) 類似。

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「聯合省選 2020 B」幸運數字

差分

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「聯合省選 2020 A | B」信號傳遞

卡空間的屑狀壓DP

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「聯合省選 2020 A」樹

按位考慮每個點對祖先的貢獻。

對於第 \(k\) 位，是一個 \(2^{k+1}\) 的循環節（可以理解為模這個意義下加法），並且每 \(2^{k}\) 個切換一個狀態。那么切換狀態的深度滿足模 \(2^k\) 同余，用一個桶記錄一下差分的地方，用天天愛跑步的方法把子樹的貢獻拿出來即可。

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「聯合省選 2020 A」作業題

枚舉 \(gcd\)，算出對應的和。考慮算是 \(k\) 的倍數的生成樹邊權和，然后簡單容斥。

經典用矩陣樹定理，把值搞成 \(1 + wx\) 的形式，最后一次項就是答案。

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「聯合省選 2020 B」卡牌游戲

若干前綴和最大值

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「聯合省選 2020 B」消息傳遞

簡單點分治。\(O(n \log n)\)

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「聯合省選 2020 B」丁香之路

考慮走過的邊形成的圖，起點和終點度數是奇數，剩下都是偶數，給起點終點手動加一個度后，問題變為了再給這個圖加一些邊使得所有點都是偶數，並且聯通。

兩兩奇數度點連邊（注意，這之中的點也都加入聯通塊，可以理解為這之間都連 \(1\) 的邊），這樣一定花費最小，如果不相鄰就會出現交叉，顯然不優。

然后解決聯通問題，考慮聯通整個圖最小代價是最小生成樹，還得保持偶度數，答案貢獻加 \(2\times\) 最小生成樹。

復雜度 \(O(m + n^2\log n)\)

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2019 十二省聯考

「十二省聯考 2019」異或粽子

前綴和后即兩兩異或前 \(k\) 大值。先轉成有序，然后人為固定一個順序。這里就 \(t_{u,k}\) 表示和 \(u\) 異或第 \(k\) 大的，一開始把 \(t_{i,1}\) 放進去，之后每次拿出 \(t_{u,k}\) 就插入 \(t_{u,k+1}\)，找第 \(k\) 大可以建立 Trie 樹 \(O(\log)\) 做到。

復雜度 \(O(k \log n)\)

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「十二省聯考 2019」字符串問題

把支配關系放在圖上，然后再用每個 \(B\) 串 \(u\) 和每個 \(A\) 串 \(v\) 滿足 \(u\) 是 \(v\) 前綴，連一條 \((u,v)\) 的邊，邊權是 \(v\) 的長度，可再建一個起始點，向每個 \(A\) 串連邊權長度的邊。答案就是起始點開始圖上最長路。

考慮如何快速連邊。

建 SA，按長度最小到大順序，每次插入一個 \(B\) 串時，SA 上的一段區間的 \(A\) 串（可以二分找）向 \(B\) 串連邊，主席樹優化建圖即可。
把串都反轉，前綴關系變為后綴，建 SAM，SAM 的 Link 樹上 \(u\) 是 \(v\) 的后綴等價於 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，因此 \(u\) 向子樹連邊即可。但需要注意的是，由於 SAM 高度壓縮，但長串不能向短串連邊，因此就要在 SAM 上拆點。我是在 SAM 的每個節點上開個 \(\text{map}\)，對應長度統計編號，最后統一建父親向兒子的邊。