三個正整數的最小公倍數為480，求這樣的三個數有多少種組合。
解法一：480=25·3·5。分兩步進行考慮。
步驟一：
先考慮滿足[x,y,z]=25的組合數，即求出有多少個滿足條件的三元組 {x,y,z}，每個三元組 {x,y,z} 要求x ≤ y ≤ z
25里素因數只有2，可知 z 只能為25。而a和b取值組合按取值相同與否分別有C(6,2)=15和C(6,1)=6種，於是求得滿足[x,y,z]=25的情形的組合數為21。
步驟二：
在上面的基礎上把3和5加進去，求滿足[a,b,c]=25·3·5的情形的組合數，即求出有多少個滿足條件的三元組 {a,b,c}，每個三元組內部的三個數按因數2的數目由少到多排列。
把滿足[x,y,z]=25的21個三元組分成以下三類分別考慮：
① x,y,z互不相等的情形
z固定為25，所以x和y的取值可能的組合數為C(5,2)=10。
任取其中一個三元組，比如{x,y,z}={1,2,25}，往這個三元組里添加因數3，使得新得到的三元組{r,s,t}滿足[r,s,t]=25·3
添加一個3，有C(3,1)=3種滿足條件的組合，即{3·1,2,25}、{1,3·2,25}和{1,2,3·25}
添加兩個3，有C(3,2)=3種滿足條件的組合，即{3·1,3·2,25}、{3·1,2,3·25}和{1,3·2,3·25}
添加三個3，有C(3,3)=1種滿足條件的組合，即{3·1,3·2,3·25}
一共有3+3+1=7種滿足條件的組合（也可以由x、y、z都可以乘上一個3也可以不乘但至少有一個要乘上3求得，即2·2·2-1=7）。
此類的{x,y,z}有10個，故對應的{r,s,t}有10·7個。
易知每個新得到的三元組 {r,s,t} 依然保持着內部的三個數互不相等的特性。往這些三元組中任意一個里添加因數5，使得新得到的三元組{a,b,c}滿足[a,b,c]=25·3·5，同樣會有7種滿足條件。
於是此類的10個{x,y,z}會得到滿足題設條件的10·7·7=490種組合。
② x=y=z的情形
此類的{x,y,z}只有一個，即{25,25,25}
往這個三元組里添加因數3，使得新得到的三元組{r,s,t}滿足[r,s,t]=25·3
易知添加一個3，兩個3，三個3各只有一種滿足條件的組合，不妨記為{25,25,3·25}，{25,3·25,3·25}，{3·25,3·25,3·25}
往這些{r,s,t}三元組中添加因數5，使得新得到的三元組{a,b,c}滿足[a,b,c]=25·3·5
考慮{25,25,3·25}：
添加一個5，有2種組合，即{25,5·25,3·25}和{25,25,5·3·25}
添加兩個5，有2種組合，即{5·25,5·25,3·25}和{25,5·25,5·3·25}
添加三個5，有1種組合，即{5·25,5·25,5·3·25}
即有2+2+1=5種滿足題設的組合。
考慮 {25,3·25,3·25} 同樣有5種滿足題設的組合。
考慮{3·25,3·25,3·25}，添加一個5、兩個5、三個5各有1種滿足題設條件的組合。
因此，此類的3個{x,y,z}會得到滿足題設條件的5+5+3=13種組合。
③ x,y,z中恰有兩數相等的情形
此類的{x,y,z}三元組有21-10-1=10個。以{x,y,z}={2,2,25}為例，來考慮添加3和5求滿足題設條件的組合數。
添加一個3，可得到兩種不同組合，即{2,2,3·25}和{2,3·2,25}
{2,2,3·25}里有兩個數相等，往里添加5，如前所述有5種滿足題設條件的組合；
{2,3·2,25}里三個數互不相等，往里添加5，如前所述有7種滿足題設條件的組合。
5+7=12
添加兩個3，可得兩種不同組合，即{2,3·2,3·25}和{3·2,3·2,25}
{2,3·2,3·25}里三個數互不相等，往里添加5，有7種滿足題設條件的組合；
{3·2,3·2,25}里有兩數相等，往里添加5，有5種滿足題設條件的組合。
7+5=12
添加三個3，可得一種組合，即{3·2,3·2,3·25}
{3·2,3·2,3·25}里有兩數相等，往里添加5，同樣有5種滿足題設條件的組合。
12+12+5=29
此類的{x,y,z}三元組有10個，故有29·10=290種滿足題設條件的組合。
綜上，滿足題設條件的組合數為490+13+290=793。
解法二：（葛永超提供）
480=25·3·5。三個正整數記作a、b、c，由題設有 [a,b,c] = 25·3·5。以下分步驟考慮。
步驟一：求滿足[a,b,c] = 25·3·5的a、b、c的排列數
易知a、b、c里的素因數都只有2、3、5，於是有如下的素因數分解式：
a = 2R1·3S1·5T1
b = 2R2·3S2·5T2
c = 2R3·3S3·5T3
R1、R2、R3分別是a、b、c里的素因數2的個數，由題設知R1、R2、R3的取值均有6種（即0、1、2、3、4、5），且R1、R2、R3中至少有一個取最大值（即5）；
S1、S2、S3分別是a、b、c里的素因數3的個數，由題設知S1、S2、S3的取值均有2種（即0、1），且S1、S2、S3中至少有一個取最大值（即1）；
T1、T2、T3分別是a、b、c里的素因數5的個數，由題設知T1、T2、T3的取值均有2種（即0、1），且T1、T2、T3中少有一個取最大值（即1）。
用數學符號表示，即有如下三組約束關系：
max(R1,R2,R3) = 5，Ri ∈ N，Ri ≤ 5，i=1,2,3 ①
max(S1,S2,S3) = 1，Si ∈ N，Si ≤ 1，i=1,2,3 ②
max(T1,T2,T3) = 1，Ti ∈ N，Ti ≤ 1，i=1,2,3 ③
其中：max是最大值函數，N表示包含0的自然數集合。
用【a,b,c】表示滿足 [a,b,c] = 25·3·5的所有排列，由上面的分析可知：
由a、b、c三個數組成的排列【a,b,c】和由滿足①、②、③的R1、R2、R3、S1、S2、S3、T1、T2、T3九個數組成的排列具有一一對應關系，后者的一個排列可以用一個二重三元組（或一個3×3的矩陣）來表示，即{(R1,R2,R3), (S1,S2,S3), (T1,T2,T3)}，簡記為Π。
在Π里，(R1,R2,R3)是由R1、R2、R3三個數組成的子排列，(S1,S2,S3)是由S1、S2、S3組成的子排列， (T1,T2,T3)是由T1、T2、T3組成的子排列。這三個子排列相互獨立。
先求滿足①的全體子排列(R1,R2,R3)的數目。由①知，R1、R2、R3都有6種取值，於是可以有6·6·6種排列，但其中會有5·5·5種不滿足max(R1,R2,R3) = 5，所以實際滿足①的全體子排列(R1,R2,R3)的數目為：
63-53=91
同樣，可得滿足②的全體子排列(S1,S2,S3)的數目和滿足③的全體子排列(T1,T2,T3)的數目均為：
23-13=7
於是全體Π的數目，也就是【a,b,c】的數目為：
91·7·7 = 4459
步驟二：求【a,b,c】中三數互不相等的排列數
【a,b,c】里一定存在兩數相等的排列，先考慮a=b的情形。按前面的符號標記法，這里要求的就是【a,a,c】。
與a=b等價的約束關系為：R1=R2，S1=S2，T1=T2
因此，可以略去R2、S2、T2，前述的①、②、③，相應簡化為如下三組約束關系：
max(R1,R3) = 5，Ri ∈ N，Ri ≤ 5，i=1,3 ④
max(S1,S3) = 1，Si ∈ N，Si ≤ 1，i=1,3 ⑤
max(T1,T3) = 1，Ti ∈ N，Ti ≤ 1，i=1,3 ⑥
同樣，由前述的a、b、c的素因數分解式可知，由a、c兩個數組成的排列【a,a,c】和由滿足④、⑤、⑥的R1、R1、R3、S1、S1、S3、T1、T1、T3六個數組成的排列具有一一對應關系，后者的一個排列可以用一個二重三元組（或一個3×3的矩陣）來表示，即{(R1,R1,R3), (S1,S1,S3), (T1,T1,T3)}，簡記為Γ。
在Γ里，(R1,R1,R3)是由R1、R3兩個數組成的子排列，(S1,S1,S3)是由S1、S3組成的子排列， (T1,T1,T3)是由T1、T3組成的子排列。這三個子排列相互獨立。
由④知，R1、R3都有6種取值，於是可以有6·6種排列，但其中會有5·5種不滿足max(R1,R3) = 5，所以實際滿足④的全體子排列(R1,R1,R3)的數目為：
62-52=11
同樣，可得滿足⑤的全體子排列(S1,S1,S3)的數目和滿足⑥的全體子排列(T1,T1,T3)的數目均為：
22-12=3
於是全體Γ的數目，也就是【a,a,c】的數目為：
11·3·3 = 99
而【a,a,a】的數目顯然是1（即三個數都為480的一種排列），於是【a,a,c】(a≠c)的數目為：
99-1 = 98
同樣，【a,b,a】(a≠b)以及【a,b,b】(a≠b)的數目均為98
於是【a,b,c】(a、b、c互不相等)的數目為：
4459-98·3-1=4164
步驟三：求滿足[a,b,c] = 25·3·5的a、b、c的組合數
分三種情形考慮：
（1）a、b、c互不相等
此情形下，滿足題設條件的組合數為：
4164 / 3! = 4164 / 6 = 694
（2）a=b=c
此情形下，滿足題設條件的組合數為1
（3）a、b、c中恰有兩數相等
此情形下，滿足題設條件的組合數就等於【a,a,c】(a≠c)的數目，即98
綜上，滿足題設條件的組合數為694+1+98=793。
擴展分析：
如果把原題里的最小公倍數擴展為 p1u·p2·p3 （p1、p2、p3為互不相等的素數，u為正整數）的形式，解法一也可以同樣應對（u=1時單獨考慮）；但要是擴展為p1u·p2v·p3w （p1、p2、p3為互不相等的素數，u、v、w為正整數）的形式，就不好應對了。
而解法二的方法則更具通用性，即便最小公倍數擴展為 p1q1·p2q2·...·pkqk （p1、p2、...、pk為互不相等的素數，q1、q2、...、qk為正整數） 的形式，也一樣能應對。
以最小公倍數為p1u·p2v·p3w 為例：（以下【...】表示對應排列的數目，〖...〗表示對應組合的數目）
【a,b,c】= [(u+1)3-u3]·[(v+1)3-v3]·[(w+1)3-w3]
【a,a,c】= [(u+1)2-u2]·[(v+1)2-v2]·[(w+1)2-w2]
【a,a,a】= 1
【a,b,c】(a≠b≠c) = 【a,b,c】- 3【a,a,c】+ 2
〖a,b,c〗= (【a,b,c】- 3【a,a,c】+ 2) / 6 + 【a,a,c】
最后這個式子對最小公倍數擴展為 p1q1·p2q2·...·pkqk （p1、p2、...、pk為互不相等的素數，q1、q2、...、qk為正整數） 的一般情形都是成立的。