數理統計17：正態總體參數假設檢驗

現在，我們對正態分布的參數假設檢驗進行討論，這也是本系列的最后一部分內容。由於本系列為我獨自完成的，缺少審閱，如果有任何錯誤，歡迎在評論區中指出，謝謝！

目錄

• Part 1：基本步驟
• Part 2：正態分布假設檢驗

Part 1：基本步驟

正態總體\(N(\mu,\sigma^2)\)參數的假設檢驗不外乎遵循以下的步驟：

1. 找到合適的統計量，用統計量的取值范圍設計拒絕域。
2. 假定原假設為真，考慮這個條件下統計量的分布。
3. 根據統計量的分布，根據檢驗的水平要求設置拒絕域的邊界值。

設計檢驗的核心在於假定原假設為真，這是因為檢驗的水平是基於棄真概率定義的，也就是說，要在第三步中寫出檢驗的水平，就必須在\(H_0\)成立的情況下找出小概率事件的發生條件。

比如，對於均值的檢驗一共有三種：

\[1.\quad H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\ne \mu_0; \\ 2.\quad H_0:\mu\ge \mu_0\leftrightarrow H_1:\mu<\mu_0; \\ 3.\quad H_0:\mu\le \mu_0\leftrightarrow H_1:\mu>\mu_0. \]

每一種又可以細分為方差\(\sigma^2\)已知和方差\(\sigma^2\)未知兩種情況，但顯然不論方差是否已知，最核心的統計量都應該是\(\bar X\)，如果方差未知可能還要用到方差的替代：\(S^2\)。以下，對於這三種問題，拒絕域分別應該是這樣的：

1. 如果\(H_0\)被接受，則\(\bar X\)既不應該太大，也不應該太小，拒絕域的基礎形式應該是

   \[\{\bar X>c_1 \}\cup\{\bar X<c_2 \}. \]

2. 如果\(H_0\)被接受，則\(\bar X\)不應該太小，無論多大都可以，拒絕域的基礎形式應該是

   \[\{\bar X<c \}. \]

3. 如果\(H_0\)被接受，則\(\bar X\)不應該太大，無論多小都可以，拒絕域的基礎形式應該是

   \[\{\bar X>c \}. \]

當然，這只是拒絕域的基礎形式，實際情況下可能不止使用\(\bar X\)，但基本思想應該是這樣的。對於方差的檢驗，則將檢驗統計量換成了\(S^2\)，或者均值已知情況下的離差平方和\(Q^2\)，步驟也和上面的差不多。

現在我們正式提出檢驗的p值的概念。根據拒絕域，我們只能得出接受假設、拒絕假設的二元結論，但沒法給出一個接受假設的力度，是很有自信地接受假設還是勉強能夠接受假設。檢驗的p值就可以解決這個問題，它表示在原假設成立的條件下，統計量還能比當前觀測更極端的概率，是介於\([0,1]\)的數。

如果某個檢驗的p值很小，說明如果原假設成立，則當前觀測值出現的概率已經很小（很難出現比這更離譜的觀測值了），因而就更應該拒絕原假設。一個重要結論：如果檢驗的p值小於設定的水平，則拒絕原假設。

光靠着這個概念理解p值可能有難度，在下面我們將結合例子解釋p值到底是什么。

接下來，我們先對單參數正態總體進行假設檢驗，並且在實踐中給出一個實用的概念——檢驗的p值。在之前的文章中，我們說過給定置信水平的置信區間與給定水平的假設檢驗是共通的，因此在接下來的程序編寫中，我們將既給出假設檢驗，也給出區間估計。

Part 2：正態分布假設檢驗

先考慮均值的假設檢驗問題。對於雙邊檢驗\(H_0:\mu=\mu_0\)，核心統計量\(\bar X\)有

\[\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)\Rightarrow \bar X\stackrel{H_0}\sim N(\mu_0,\sigma^2/n). \]

這里要區分\(\sigma^2\)已知和未知兩種情況，因為這直接關系到\(\bar X\)的分布已知或未知。\(\sigma^2\)已知時顯然是更簡單的，由於我們已知了\(\bar X\)在\(H_0\)下的分布，自然也可以將\(\bar X\)標准化為

\[U=\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu_0)}{\sigma}\stackrel{H_0}\sim N(0,1), \]

在\(H_0\)成立的情況下\(|U|\)不應該過大，所以拒絕域的形式可改為\(\{|U|>c\}\)，結合其棄真概率與檢驗水平，有

\[\mathbb{P}\left(-c<U<c\bigg|H_0 \right)=1-\alpha, \]

所以\(c=u_{\alpha/2}\)，即拒絕域是

\[D=\left\{-u_{\alpha/2}<\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu_0)}{\sigma}<u_{\alpha/2} \right\}. \]

在這個問題中，如果我們實際觀測得到的\(U\)值是\(u_0\)，則該檢驗的p值就是\(\mathbb{P}(|U|>|u_0|| H_0)\)，因為原假設成立的情況下\(U\)應該是越小越好的，所以\(U>u_0\)指的就是比當前觀測更極端這一事件。並且因為\(H_0\)成立的情況下，\(U\)服從標准正態分布，所以結合標准正態分布表這個p值是容易計算的。

接下來是\(\sigma^2\)未知的情況，雖然\(\bar X\)的分布未知，但我們一樣可以對其進行標准化，即構造

\[T=\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu)}{S}\stackrel{H_0}\sim t(n-1). \]

同樣在\(H_0\)成立的情況下\(|T|\)不應該過大，所以檢驗的拒絕域形式是\(\{|T|>t_{\alpha/2}(n-1)\}\)，如果\(T\)的觀測值是\(t_0\)，則檢驗的p值是\(\mathbb{P}(|T|>|t_0||H_0)\)。

對於單邊檢驗，無非是更改拒絕域和邊界值，將\(\alpha/2\)分位數改成\(\alpha\)分位數，p值的計算方式也相應變化，標准化的過程是一致的，這里就不詳細展開了。

現在考慮方差的假設檢驗問題，同樣只考慮雙邊檢驗（因為單邊檢驗的過程類似），並考慮均值已知或未知。當均值已知時，有

\[\chi^2=\frac{1}{\sigma_0^2}\sum_{j=1}^n(X_j-\mu)^2\stackrel{H_0}\sim \chi^2(n), \]

在\(H_0\)成立的情況下\(\chi^2\)不應該太大也不應該太小，但是由於\(\chi^2\)分布不對稱，所以其拒絕域是\(\{\chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(n)\}\cup \{\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(n)\}\)，這些都沒有問題。不過這種情況檢驗的p值稍微復雜一些，可以這么思考：不論\(\chi^2\)的觀測值\(\chi^2_0\)是多少，在\(\chi^2(n)\)分布的密度函數上都有另外一個與之對稱的點，所以p值實際是這兩個點以外的概率總和。

如果均值未知，則直接使用\(S^2\)，就有

\[\chi^2\xlongequal{def}\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\stackrel{H_0}\sim \chi^2(n-1), \]

類似地可以計算拒絕域和p值。

事實上，由於區間估計與假設檢驗的一致性，在我們討論過正態總體參數區間估計之后，這些假設檢驗都可以直接由區間估計推導出來。對於雙正態總體的相關假設檢驗，也不外乎均值差和方差比，具體參見此鏈接即可。