電子電路基礎學習筆記（二）

接下來我們運用復數的知識來解決復雜的電源信號問題：

2.27 正弦電路

 

用復阻抗來分析復雜電路，把電容和電感看作是特殊類型的電阻。

由於電容效應和電阻效應，產生了相位差。

用復數表示正弦函數有一些好處：復數的形式很豐富，有的適合加減運算，有的乘除比較方便。

 

注意，復數的實部才有物理意義，虛部是沒有的。但是需要虛部來表示相位等信息。

所以要把復數化為在極坐標下的表示，前面的系數，才是有實際意義的。也就是模長。

再運用疊加原理，把這樣得出來的電壓分別作用在R,L,C上。

 

我們得到了，復數形式下的R,L,C：

我們發現，電阻上的電流電壓一直是實時對應的，相位差是0°

電容上的電流超前電壓90°，或者說電流落后電壓270°

電感，電流滯后電壓90°

然后用歐姆定律形式得到電阻，容抗，感抗。這樣求出來，僅與頻率有關，與時間無關，就不需要求解微分方程。

這種方法，可以把C和L看作電路中的“頻率敏感電阻”，這樣把直流電源換成交流電源。

在分析時，把所有的電壓、電流、電阻、阻抗以復數形式給出，帶入歐姆定律。

基爾霍夫、戴維南等定理就都成立了。

 

我們來求一求：

R=V/I=R

 

 

J是復數單位，我們發現套公式之后，C,L和R的區別之處就在於他們求瞬時電流的公式要求導，就把e的冪上的j拿出來了。這不就是復數嘛。沒有實部。我們知道虛部沒有物理意義，也就是不會改變電流的大小，能量的多少。但是，會改變相位。

我們改寫一下：

 

交流歐姆定律為：

                                   電壓=電流×復阻抗

注意，這三者是角頻率的函數。也就是頻域的，而不是時域的。P124

 

對於交流電路，復阻抗在分壓，串並聯，等一系列功能上於電阻相同。實部是電阻值，虛部是電抗值。

 

 

 

2.28交流電的功率：

一個RLC電路，VA稱為視在功率。

VA=I_RMSV_RMS

視在功率並不是交流電路的有功功率，所以單位不是瓦特，是VA（伏-安）。

視在功率=電阻消耗（有功功率）+無功功率

有功功率的單位是瓦，用I_RMS²R計算

無功功率的單位是var（伏-安電抗），I_RMS²X計算

 

千萬要注意這里面所有的值都是復數！！

視在功率並不是兩者相加，，要考慮相位。

用I²X求出來的是功率極坐標形式的系數，用上式可以避免相位計算。

 

突然發現，有功功率和無功功率兩個復數是垂直的！因為I²都一樣，R和L,C是垂直的。視在功率是向量和的模長。

這又閉合了，就像電阻的復數和電抗的復數是垂直的一樣。很整齊。

 

2.28.1功率因數

功率因數PF是消耗功率於視在功率的比值。

同樣的，在上面說的有功功率，無功功率，視在功率三者形成的復數三角形里，PF可以是有功功率和視在功率夾角的cos值。

然而這個夾角，竟然就是電源電壓V_S於電流I_S的相位差！這就很靈性了。

PF是一個比值所以要在后面加上“超前”、“滯后”的表示。P130

仔細研讀133頁的例子，非常的詳細。

 

 

2.29交流電路戴維南

類似直流電路，戴維南定理：

任何RLC復雜電路，都可以等效成包含一個正弦電壓源和一個等效復阻抗的的串聯。

 

例如要求電路中某元件兩端電壓，需要移去該元件，求出等效電壓和復阻抗。

 

 

2.30諧振電路

我們從上文能體會到，電容和電感兩個儲能裝置對於電路的影響是相反的。那對於LC電路，就會有一種情況是L和C的效果互相抵消，由公式可以得出當電源頻率處於特殊的諧振頻率時，等效復阻抗為0。相當於短路。也就是這時通過電源的電流理論趨於無窮大。當然現實是被內阻限制。

 

可想而知，諧振頻率下的LC電路，電容與電感兩端的電壓大小相等，相位相反。所以總分壓是0。

 

以上說的是串聯LC電路，下面談談並聯的。

 

還是那個角頻率，在L，C阻抗相等時。這時等效復阻抗的電阻無窮大，相當於開路。這一點可以用並聯阻抗計算公式得出。

原理如何理解？

由於此時阻抗相等，所以流過L和C的電流大小是相等的，但是方向相反。而且兩者是並聯的，形成了回路。於是這些能量就在這個回路里不斷循環震盪。形成了LC振盪電路。

不過這很理想，能量還是會損失的。而且也不能完全是電阻無窮大，也會耗電源。

 

在LC振盪電路，能量的大小取決於L和C的大小，回路里的電流稱為環流。

 

 

 

 

2.30.1RLC串聯諧振電路（帶通電路）

前面說的LC振盪電路是在理想狀況下，實際不太可能，總會有電阻效應。

特別是電感在高頻（HF）時電阻損耗是非常大的。

 

通過一些加入了R的計算，發現電阻限制了最大電流。在諧振時，電流就是，電壓除以電阻。

諧振的時候是這樣，但是如果頻率變化了，總阻抗會變大。頻率變低時，容抗占主導，高於諧振頻率時，感抗占主導。因此電流也會由電容電感主導，變低。

這里的變化曲線有一個尖峰，要看P143的圖。

 

千萬仔細理解寬帶和窄帶！！仔細理解，圖中畫的是個寬帶。

也就是，不論什么樣的RLC電路，都在諧振頻率會有一個極大值，就是一個峰。

但是周圍曲線下降的速度就取決於，電路里的L，C是什么量級的。很大的話，變化一點頻率，電抗就會迅速增大。電流也就迅速減小。

 

所以，窄帶的尖峰就會非常的尖，這就很好嘛！濾波器，選擇性極強，對於特定頻率的信號非常敏感。

寬帶不僅僅對諧振頻率很敏感，附近的一系列頻率都差不多。

帶通電路名副其實。

 

 

2.30.2品質因數Q與帶寬

電抗與電阻之比，或者儲存電量與消耗電量之比，Q，稱為品質因數或者增益因子、放大因子。

在高頻時，我們知道電感的阻抗很大，電容的阻抗小。那么電容就可以忽略，電感的阻抗就是電路的阻抗。

電感的Q大，也就是儲存的能量遠大於消耗的能量。

 

空載品質因數就是諧振時的電抗除以電阻，這里是容抗=感抗。

空載Q=感抗/電阻。

原因我不知道。。

 

品質因數就是反應一個儲能的部件，不論是單個器件還是一個電路，的品質。

對於諧振電路，空載Q越大，諧振的尖峰約尖。也就是窄帶。體現對頻率響應的靈敏。

在電路-頻率的圖上，尖峰的峰值取決於電阻的大小，形態卻取決於Q。

 

2.30.3帶寬

上面說的品質因數可以表示電路的頻率選擇性，帶寬其實也可以。

我們認為在尖峰處的電流為1，將任意曲線的尖峰高度歸一。用電流是尖峰處的比例來刻畫電流變化。

然后我們找到電流是0.707倍處，也就是根二分之一，這時的功率是峰值的0.5。

這樣的點有兩個，兩點之間的頻率跨越范圍就是帶寬。

對於Q大於10的來說，兩邊基本對稱。帶寬BW=諧振頻率/空載品質因數

 

2.30.4RLC電路中元件兩端的電壓

抗性元件兩端的電壓可以通過交流歐姆定律求出來。電抗*電流

但是這樣求出來很有可能大於電源電壓。

我們再結合Q的定義和電流的計算式，可以知道在諧振時，電容或者電抗兩端的電壓計算式：

 

 

2.30.5電容損耗

前面我們把電感做了主要的討論，因為在高頻（HF）段上電容的損耗很小。

但是如果高於30MHz，在30~300MHz的VHF段，電容損耗對Q的影響不容忽視。

電容損耗主要來自板間介質的泄露電阻，這個電阻與電容是並聯的關系。

 

泄露電阻達到影響Q的程度，我們就要把它轉換成等效串聯電阻。公式如下：

其中R是漏電電阻。

 

由於集膚效應（電子積聚在導線表面），電感、電容隨着頻率增大而增大。就會極大的影響Q值。

 

 

2.30.6並聯諧振電路

 

與串聯一樣，電路的主要損耗來自於電感線圈的電阻。

前面也說過，並聯諧振電路在諧振時阻抗最大。我們也就稱他為反諧振電路或者帶阻電路。

 

這一點結合上面的帶通，應該比較好理解。

 

但是並聯諧振電路復雜不少。比如它阻抗最大時的頻率並不是感抗=容抗的頻率。

但我們可以用LC電路的計算式來近似計算。

 

這些是由R引起的，在電感支路上的R改變了諧振條件，當容抗和電抗相等時兩支路卻不相等，而且兩支路的相位也不再是理想的180°，這樣一來電流也不是最小值了。

通過P147的向量圖我們能看出。

 

我們通過微調，找到電流的最小值，把電流最小作為電路諧振的標志。這個點稱為反諧振點。

在反諧振點，容抗不等於阻抗。

 

在這里，我們就把電感的電阻拿出來，等效稱為並聯電阻。前面說了，那些都是由R引起的，我們把它拿出來。它隨着Q值增大而增大。

這樣，諧振時，就相當於電路只接上了這一個等效電阻。

 

關於環流：在震盪回路里的電流，諧振環流大約等於Q乘干路電流。這個干路電流是流過等效並聯電阻的電流。

 

2.30.7空載電路的Q

 

當並聯LC諧振電路並聯一個負載時，品質因數就是負載電阻除以電容或者電抗。

 

這個負載電阻決定了Q值，這在設計帶通濾波器的時候可以達到調節Q的目的，Q的大小決定帶寬。

 

2.31分貝

 

兩個信號比較功率和幅值，比如放大器輸出是輸入的十倍，這叫增益。

若要是十分之一，就是衰減。

 

功率表示的范圍很大，不方便直接表示。我們取對數。

貝爾定義了功率的比值

 

P₀是參考電壓

 

一分貝是10bel。

翻一倍，就是10lg2=3.01dB

減小到0.5，就是10lg（0.5）=-3.01dB

負號表示功率減小，直接認為增益是-3dB，或者是3dB的下降。

 

對於一些標准參考值，比如常用的參考功率是1mW，功率與1mW進行比值得出的分貝是dB_m

要注意的是，一切比值建立在阻抗不變的基礎上。

 

2.32輸入和輸出阻抗

 

輸入阻抗是從輸入端看過去的阻抗，把電路看成一個原件測量。可想而知輸入阻抗和電壓頻率也有關系。

輸出阻抗就是從輸出一方得到的阻抗，這時候把這個電路看作電源，它的戴維南等效電路就是一個電壓源串聯一個電阻抗。所以這個電阻抗應該盡可能的小來提升電源效率。

在信號傳輸上，電源的輸出阻抗不大於負載輸入阻抗的0.1倍。

 

輸出阻抗就是戴維南等效阻抗。把電源置零可以得到。

 

 

2.33二端口網絡和濾波器

 

濾波器：連接RLC，設計成一個網絡，使之能讓一定頻率的信號通過而阻擋其他頻率的信號。

說四種：低通，高通，帶通，帶阻濾波器。

 

低通濾波器：

RC低通濾波器，實際上是一個RC分壓器，輸出是C的兩端。

頻率低時，電阻阻抗很大，電路電流很小，輸出電壓近似於輸入電壓。

電容的延時作用，在低頻時，輸出電壓與輸入電壓的相位差很小，在頻率無窮大時，輸出滯后90°。

 

電壓傳遞函數：H=V_OUT/V_IN=

這個公式一開始還沒啥感覺，后來就有內味了。

兩者之比，以輸出為單位1，輸入的實部也是1，只是有虛數的變化。也就是相位差。

我們把它改寫成分母是1的，就能直觀得出輸出發生了什么變化。

 

但是我們如果接入一個負載R_L，情況就不一樣了。實際分壓是電容和R_L上的分壓，就需要重新計算。得出，負載讓濾波器的增益減小，讓截止頻率增大。

P160

。。。。。。。

 

 

2.34瞬態電路：

瞬態現象反映了由於外部電路的突然變化引起的電壓變化。

換路引起瞬態發生，根本原因是電容的電場能和電感的磁場能不能突變。

換路定律：在換路的瞬間，電容兩端的電壓和電感上的電流不可能突變。

 

 

 

激勵和響應：

電路從電源、信號源輸入的信號稱為激勵或者輸入。

電路在外部激勵或者內部儲能作用下產生的電壓電流稱為響應或者輸出。

 

1.     零輸入響應：在沒有外部激勵，僅憑自身儲能產生的響應。

2.     零狀態響應：在外部換路時，自身儲能元件沒有能量時的響應。

3.     全響應，既有外部輸入也有自身儲能產生的響應。

 

當響應有輸入成分時，我們可以分為階躍響應，正弦響應，脈沖響應。

 

一階電路：只含有一個儲能元件，或者簡化之后只含有一個儲能元件的電路。

對於一階電路的瞬態分析列出的方程都是一階微分方程。

 

對於零輸入響應和零狀態響應我們可以看成是全響應的特例。

 

有：

F(t)是任意瞬態響應。

 

2.35周期非正弦電源電路

 

如果一個非周期電源施加到電容電感上，比如三角波、鋸齒波。我們怎么辦？

不能用直流分析，也不是正弦電路不能用復阻抗理論。

如何分析？

能用的就是基爾霍夫定律。再用數學式子表示。因為不能用復阻抗，所以會得出微分方程。

 

為了避免求微分方程，我們也知道電源的表達式不好寫，但是我們要使用復阻抗就需要有正弦波。要把電源表示成正弦信號的疊加。

傅里葉說：一系列正弦波相加可以獲得任意非正弦周期波形。

這就是諧波分析。用傅里葉級數表示信號

 

可以看出，兩部分組成：直流分量和交流分量。

交流分量又稱為諧波。

 

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

傅里葉級數請看

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

這個真不錯

然后我們用傅里葉變換可以得到任意信號的傅里葉級數表示，最后運用疊加定理，把每個分量單獨的看作正弦量進行復阻抗分析。

 

運用傅里葉變換分析電路的步驟，運用傅里葉變換對計算電源的傅里葉變換式，把時域問題轉換成頻域問題，然后通過阻抗求電流的傅里葉變換式，最后根據傅里葉變換對進行反變換，載回到時域上來。

這樣雖然要積分，但是可以避免求解微分方程。

 

至此，基礎理論部分全部結束。

除了濾波器。

 

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BY：胡小安