計量經濟學導論12：格蘭傑因果關系檢驗

目錄

• 格蘭傑因果關系檢驗
  • 時間序列向量自回歸模型
    • 向量自回歸模型設定
    • 向量自回歸模型的估計
  • 格蘭傑因果關系檢驗
  • 格蘭傑因果關系檢驗的實際問題

格蘭傑因果關系檢驗

時間序列向量自回歸模型

格蘭傑因果關系檢驗在時間序列計量經濟學模型中被廣泛采用，在討論其細節之前，我們需要對向量自回歸模型作簡單的介紹。

向量自回歸模型設定

將單個時間序列自回歸模型擴展到多個時間序列，即構成向量自回歸模型。寫出含有 \(k\) 個時間序列，\(p\) 階滯后的向量自回歸模型 \({\rm VAR}(p)\) 表示如下：

\[\boldsymbol{Y}_t=\boldsymbol\mu+\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{Y}_{t-1}+...+\boldsymbol{A}_p\boldsymbol{Y}_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_t \ , \ \ \ \ t=1,2,...,T \ . \]

我們將矩陣形式展開寫， \({\rm VAR}(p)\) 模型包括：

\[\boldsymbol{Y}_{t-i}=\left[ \begin{array}{c} Y_{1,t-i} \\ Y_{2,t-i} \\ \vdots \\ Y_{k,t-i} \\ \end{array} \right] \ ,\ \ \ \ i =0,1,2,\cdots,p \ . \]

\[\boldsymbol{A}_j=\left[ \begin{array}{cccc} a_{11,j} & a_{12,j} & \cdots &a_{1k,j} \\ a_{21,j} & a_{22,j} & \cdots &a_{2k,j} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1,j} & a_{k2,j} & \cdots &a_{kk,j} \\ \end{array} \right] \ , \ \ \ \ j=1,2,\cdots,p \ . \]

\[\boldsymbol\mu=(\mu_1,\mu_2\,...,\mu_k)^{\rm T} \ ,\ \ \ \ \boldsymbol\varepsilon_t=(\varepsilon_{1t},\varepsilon_{2t},...,\varepsilon_{kt})^{\rm T} \ . \]

具體看一下 \({\rm VAR}(p)\) 模型的結構：

• \(\boldsymbol{Y}_t\) 是 \(k\) 維內生變量向量，\(p\) 是滯后階數，樣本數目為 \(T\) ；
• \(\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\cdots,\boldsymbol{A}_p\) 是 \(k\times k\) 系數矩陣；
• \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\sim N(\boldsymbol0,\,\boldsymbol\Sigma)\) 是 \(k\) 維隨機擾動向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后項相關；
• \(\boldsymbol\Sigma\) 是 \(\boldsymbol\varepsilon_t\) 的協方差矩陣，是一個 \(k\times k\) 的正定矩陣。

\({\rm VAR}\) 模型主要是通過實際經濟數據而非經濟理論來確定的經濟系統的動態結構模型。

在建模的過程中只需明確兩個量，一個是所含變量個數 \(k\) ，即共有哪些變量是相互有關系的，並且需要把這些變量包括在 \({\rm VAR}\) 模型中；另一個是自回歸的最大滯后階數 \(p\) ，使模型能反映出變量間相互影響的關系並使得模型的隨機誤差項 \(\boldsymbol\varepsilon_t\) 是白噪聲。

\({\rm VAR}\) 模型不存在識別問題和內生解釋變量問題，每個方程都可以看做獨立的方程進行普通最小二乘參數估計。

向量自回歸模型的估計

模型最優滯后階數的確定：

• 一方面想要使得滯后階數足夠大，以便能充分利用所構造模型的變量信息。
• 另一方面，滯后階數不能過大，因為滯后階數越大，需要估計的參數越多模型的自由度就越少，而通常數據有限，可能不足於估計模型。
• 常用准則：\({\rm AIC}\) ，\({\rm SC}\) 。

格蘭傑因果關系檢驗

原理：\({\rm VAR}\) 模型解釋了某變量的變化受其自身及其他變量過去的行為的影響。當兩個變量在時間上有先導即滯后關系時，可以從統計上考察這種關系是單向的還是雙向的。

格蘭傑因果關系檢驗的表述如下：

在時間序列情形下，兩個經濟變量 \(X\) 和 \(Y\) 之間的格蘭傑因果關系定義為：若在包含了變量 \(X\) 和 \(Y\) 的歷史信息的條件下，對變量 \(Y\) 的預測效果只要優於只單獨由 \(Y\) 的歷史信息對 \(Y\) 進行的預測效果，即變量 \(X\) 有助於解釋變量 \(Y\) 的將來的變化，則認為變量 \(X\) 是變量 \(Y\) 的格蘭傑原因。

考察 \(X\) 是否影響 \(Y\) 的問題，主要看當期的 \(Y\) 能夠在多大程度上被過去的 \(X\) 解釋，在 \(Y_t\) 方程中加入 \(X\) 的滯后項是否使解釋程度顯著提高。

首先建立 \({\rm VAR}\) 模型：

\[Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ , \]

\[X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ . \]

有四種可能存在的因果關系：

• 若 \(X\) 對 \(Y\) 有單向影響：\(\alpha\) 整體不為零，\(\lambda\) 整體為零。

• 若 \(Y\) 對 \(X\) 有單向影響：\(\alpha\) 整體為零，\(\lambda\) 整體不為零。

• 若 \(X\) 對 \(Y\) 有單向影響：\(\alpha\) 和 \(\lambda\) 整體不為零。

• 若 \(X\) 對 \(Y\) 有單向影響：\(\alpha\) 和 \(\lambda\) 整體為零。

格蘭傑檢驗通過受約束的 \(F\) 檢驗完成。例如：

\[Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ , \]

\[H_0:\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_m=0 \ , \]

\[F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ . \]

如果 \(F>F_\alpha(m,\,n-k)\) 則拒絕 \(X\) 不是 \(Y\) 的格蘭傑原因的原假設。

\[X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ , \]

\[H_0:\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0 \ , \]

\[F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ . \]

如果 \(F<F_\alpha(m,\,n-k)\) 則不拒絕 \(Y\) 不是 \(X\) 的格蘭傑原因的原假設。

綜上所述，\(X\) 是 \(Y\) 的格蘭傑原因。

關於 \(F\) 檢驗的自由度：如果回歸模型中包含常數項，則 \(k=2m+1\) ，如果不包括常數項（如差分模型），則 \(k=2m\) 。

格蘭傑因果關系檢驗的實際問題

滯后期長度的選擇問題。檢驗結果對於滯后期長度的選擇比較敏感，不同的滯后期可能會得到不同的檢驗結果。因此，一般而言，需要進行不同滯后期長度下的檢驗，觀測其敏感程度，並且根據模型中隨機干擾項不存在序列相關時的滯后期長度來選取滯后期。

時間序列的平穩性問題。格蘭傑因果關系檢驗是針對平穩時間序列的。對於同階單整的非平穩序列，理論上不能直接采用。如果將變量經過差分使之成為平穩序列之后再進行檢驗，經濟意義就發生了變化，檢驗的就不是兩個變量之間的關系，而是兩個變量的增量之間的關系。

樣本容量的問題。時間序列的樣本容量對檢驗結果具有影響。試驗表明，對於兩個平穩序列，隨着樣本容量的增大，判斷出存在格蘭傑因果關系的概率顯著增大。

格蘭傑因果關系檢驗是必要性條件檢驗，而不是充分性條件檢驗。經濟行為上存在因果關系的時間序列，是能夠通過格蘭傑因果關系檢驗的；而在統計意義上通過格蘭傑因果關系檢驗的時間序列，在經濟行為上並不一定存在因果關系。