協整與誤差修正模型
長期均衡與協整分析
經典回歸模型是建立在平穩數據變量基礎上的。許多經濟變量是非平穩的，使用經典回歸模型會出現偽回歸等諸多問題。但是如果變量之間有着長期的穩定關系，即它們之間是協整的，則可以使用經典回歸模型。
長期均衡意味着經濟系統不存在破壞均衡的內在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以使其重新回到均衡狀態。
假設 \(X\) 與 \(Y\) 之間的長期均衡關系由下式描述：
這個式子對均衡關系的解釋為：給定 \(X\) 的一個值，\(Y\) 相應的均衡值也隨之確定為 \(\alpha_0+\alpha_1X\) 。
這個式子隱含了一個重要的假設：\(\mu_t\) 必須是平穩序列。
如果假設不成立，即 \(\mu_t\) 有上升或下降的隨機性趨勢。會導致 \(Y\) 對其均衡點的任何偏離被長期累積下來而不能被消除。
在這個假設的基礎上，我們稱 \(\mu_t\) 為非均衡誤差，它是變量 \(X\) 和 \(Y\) 的一個線性組合
如果 \(X\) 與 \(Y\) 之間具有長期均衡關系，則 \(\mu_t\) 應是一零均值平穩時間序列，即零均值 \({\rm I}(0)\) 序列。
另一方面，非平穩的時間序列 \(X\) 和 \(Y\) 的線性組合可能成為平穩時間序列，我們稱 \(X\) 和 \(Y\) 是協整的。由此便引出了協整的定義。
協整的定義
如果時間序列 \(Y_{t1},Y_{t2},...,Y_{tk}\) 都是 \(d\) 階單整的，存在向量 \(\boldsymbol\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)\)，使得
\[Z_t=\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{Y}^{\rm T}=\alpha_1Y_{t1}+\alpha_2Y_{t2}+...+\alpha_kY_{tk}\sim {\rm I}(d-b) \ , \ \ \ \ d\geq b\geq 0 \ , \]則稱序列 \(Y_{t1},Y_{t2},...,Y_{tk}\) 是 \((d,\,b)\) 階協整，記為 \({\rm CI}(d,\,b)\) 。
如果兩個變量都是單整變量，只有當它們的單整階數相同時，才可能協整；如果它們的單整階數不相同，就不可能協整。
如果存在三個以上的單整變量且具有不同的單整階數，有可能經過線性組合構成低階單整變量。
例如：\(W_t\sim{\rm I}(1)\) ，\(V_t\sim{\rm I}(2)\) ，\(U_t\sim{\rm I}(2)\) ，
若進行以下的線性變換並滿足以下條件：
\[P_t=aV_t+bU_t\sim{\rm I}(1) \ , \]\[Q_t=cW_t+dP_t\sim{\rm I}(0) \ , \]則有結論：
\[V_t,\,U_t\sim{\rm CI}(2,\,1) \ , \]\[W_t,\,P_t\sim{\rm CI}(1,\,1) \ . \]
\({\rm CI}(d,\,d)\) 的經濟意義：兩個變量雖然它們具有各自的長期波動規律，但是如果它們是 \((d,d)\) 階協整的，則它們之間存在着一個長期穩定的比例關系。即使兩個時間序列是非平穩的，也可以用經典的回歸分析方法建立回歸模型。
協整的檢驗
兩變量 Engle-Granger 檢驗
檢驗兩個呈現 \({\rm I}(1)\) 的變量 \(y_t,\,x_t\) 是否為協整。
step.1 用 OLS 估計如下方程並計算非均衡誤差（該回歸又被稱為協整回歸、靜態回歸）：
得到
step.2 檢驗 \(e_t\) 的平穩性：
如果 \(e_t\) 是平穩序列 \({\rm I}(0)\) ，則 \(y_t,x_t\sim {\rm CI}(1,1)\)， \(x_t\) 與 \(y_t\) 之間存在協整關系；
如果 \(e_t\) 是非平穩的，則 \(x_t\) 與 \(y_t\) 之間不存在協整關系。
檢驗方法：DF 檢驗或 ADF 檢驗
注意：這里的檢驗對象是協整回歸計算出的誤差項，並非真正的非均衡誤差。而 OLS 法采用了最小殘差平方和的原理，因此估計量 \(\delta\) 是向下偏倚的，這將導致拒絕零假設的機會比實際情形大。因此對於 \(e_t\) 的平穩性檢驗的 DF 與 ADF 臨界值比正常的 DF 與 ADF 檢驗的臨界值小。
多變量協整關系檢驗
擴展的 EG 檢驗
為什么多變量協整關系的檢驗比雙變量復雜？——協整變量間可能存在多種穩定的線性組合。
例如：假設有4個 \({\rm I}(1)\) 的變量 \(Z,X,Y,W\) ，它們有如下的長期均衡關系：
\[Z_t=\alpha_0+\alpha_1W_t+\alpha_2X_t+\alpha_3Y_t+\mu_t \ , \]得到非均衡誤差 \(\mu_t\) 是 \({\rm I}(0)\) 序列
\[\mu_t=Z_t-\alpha_0-\alpha_1W_t-\alpha_2X_t-\alpha_3Y_t\sim{\rm I}(0) \ . \]但存在另一種情況，假設 \(Z\) 與 \(W\) ，\(X\) 與 \(Y\) 之間分別存在長期均衡關系
\[Z_t=\beta_0+\beta_1W_t+u_t \ , \]\[X_t=\gamma_0+\gamma_1Y_t+v_t \ , \]則非均衡誤差項 \(u_t\) 和 \(v_t\) 一定是平穩序列 \({\rm I}(0)\) 。於是它們的線性組合也一定是平穩序列，如：
\[w_t=u_t+v_t=Z_t-\beta_0-\gamma_0-\beta_1W_t+X_t-\gamma_1Y_t\sim{\rm I}(0) \ . \]因此存在多組協整向量。
多變量的協整檢驗步驟：
- 與雙變量基本相同，需要檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩定的線性組合。
- 在檢驗是否存在穩定的線性組合時，需要通過設置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進行 OLS 估計並檢驗殘差序列是否為平穩序列。如果不平穩則需更換被解釋變量，進行同樣的 OLS 估計和相應的殘差序列的平穩性檢驗。
- 當所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩的殘差項序列，則認為這些變量間不存在 \((1,\,1)\) 階協整。
一般差分模型的問題
對於非平穩時間序列，可以通過差分的方法將其化為穩定序列。
但是這種做法會引起兩個問題：
- 如果 \(X\) 與 \(Y\) 之間存在長期穩定的均衡關系，且誤差項 \(\mu_t\) 不存在序列相關性，則差分式中的 \(v_t\) 是一個一階移動平均時間序列，因而存在序列相關的問題。
- 如果采用差分形式進行估計，則關於變量水平值的重要信息將被忽略，這時的模型只表達了 \(X\) 和 \(Y\) 之間的短期關系，而沒有揭示它們間的長期關系。
例如，當我們使用 \(\Delta Y_t=\alpha_1\Delta X_t+v_t\) 進行回歸分析時，容易出現截距項顯著不為 \(0\) 的情況，即我們得到的估計方程是
\[\Delta Y_t=\hat\alpha_0+\hat\alpha_1\Delta X_t+\hat{v}_t\ , \ \ \ \ \hat\alpha_0\neq0 \ . \]此時即使保持 \(X\) 不變， \(Y\) 也會出於長期的上升或下降的過程中，這意味着 \(X\) 與 \(Y\) 之間不存在靜態均衡，與大多數具有長期均衡的經濟理論假說不相符。
誤差修正模型
假設 \(X_t\) 與 \(Y_t\) 的長期均衡關系為
由於現實經濟中 \(X\) 與 \(Y\) 很少處在均衡點上，因此實際觀測到的只是 \(X\) 與 \(Y\) 之間的短期或非均衡的關系。假設 \(X\) 與 \(Y\) 之間的非均衡關系體現為如下 \((1,\,1)\) 階分布滯后模型的形式：
該模型顯示出 \(t\) 期的 \(Y\) 不僅與 \(X\) 的變化有關，而且與 \(t-1\) 期的 \(X\) 與 \(Y\) 的狀態值有關。但由於變量可能具有非平穩性，因此不能直接進行 OLS 估計。
差分變形得
將上式中的參數與 \(Y_t=\alpha_0+\alpha_1X_t+u_t\) 中的相應參數視為相等，則上式中參數 \(\lambda\) 之后的項為 \(t-1\) 期的非均衡誤差項。這表明 \(Y\) 的短期變化 \(\Delta Y_t\) 不僅受 \(X\) 的短期變化 \(\Delta X_t\) 影響，而且根據前一時期的非均衡程度 \({\rm ecm}_{t-1}\) 進行相應的修正調整。
誤差修正項 \({\rm ecm}\) ：
一階誤差修正模型
一般情況下 \(|\delta|<1\)，有 \(0<\lambda<1\) 。
據此分析 ECM 模型的修正作用：
- 若上期的實際值大於長期均衡值，即 \(Y_{t-1}>\alpha_0+\alpha_1X_{t-1}\)，則 \({\rm ecm}\) 為正，當期的短期變動 \(\Delta Y_t\) 減少；
- 若上期的實際值小於長期均衡值，即 \(Y_{t-1}<\alpha_0+\alpha_1X_{t-1}\)，則 \({\rm ecm}\) 為負，當期的短期變動 \(\Delta Y_t\) 增大。
參數的經濟意義：
- 長期均衡模型 \(Y_t=\alpha_0+\alpha_1X_t+u_t\) 中的 \(\alpha_1\) 可視為 \(Y\) 關於 \(X\) 的長期彈性；
- 短期非均衡模型 \(Y_t=\beta_0+\beta_1X_t+\beta_2X_{t-1}+\delta Y_{t-1}+u_t\) 中的 \(\beta_1\) 可視為 \(Y\) 關於 \(X\) 的短期彈性。
格蘭傑表述定理
問題：是否變量間的關系都可以通過 ECM 來表述？
Granger 表述定理：如果變量 \(X\) 與 \(Y\) 是協整的，則它們間的短期非均衡關系總能由一個誤差修正模型表述。
其中，\({\rm ecm}\) 是非均衡誤差項（長期均衡偏差項），\(\lambda\) 是短期調整參數。該模型沒有明確指出 \(Y\) 和 \(X\) 的滯后階數，可以包含多階滯后項。由於一階差分項是 \({\rm I}(0)\) 變量，因此模型中允許采用 \(X\) 的非滯后差分項 \(\Delta X_t\) 。
建立誤差修正模型的步驟
首先，對經濟系統進行觀察和分析，提出長期均衡關系假設。
然后，對變量進行協整分析，以發現變量之間的協整關系，即檢驗長期均衡關系假設，並以這種關系構成誤差修正項。
最后，建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其他反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。
EG 兩步法
step.1 利用 OLS 進行協整回歸，檢驗變量間的協整關系，估計協整向量（長期均衡關系參數）
step.2 若協整性存在，則以第一步求得的殘差作為非均衡誤差項 \({\rm ecm}\) 加入到誤差修正模型中，並用 OLS 估計相應參數
在確定 ECM 模型滯后項階數時，需要先對模型進行回歸，之后檢驗 ECM 模型的殘差是否具有自相關性，或者采用 \(Q\) 統計量檢驗殘差是否為白噪聲。如果接受了不具有自相關性的零假設，則說明 ECM 模型的滯后階數選擇正確，否則需重新調整參數。
注意：在進行變量間的協整檢驗時，如有必要可在協整回歸式中加入趨勢項，這時對殘差項的穩定性檢驗就無須設置趨勢項。另外，第二步中變量的差分滯后期數，可以通過殘差項序列是否存在自相關性來判斷，如果存在自相關，則應加入變量差分后的滯后項。
注意：在實際應用研究中，如果 ECM 中誤差修正項參數估計值為正，模型設定肯定是錯誤的。在實際分析的模型設定中，變量常以對數的形式出現，原因在於變量對數的差分近似地等於該變量的變化率，而經濟變量的變化率常常是平穩序列。
直接估計法
打開誤差修正模型中非均衡誤差項的括號，直接用 OLS 估計模型，以雙變量為例
這時可以一並獲得短期彈性和長期彈性的參數估計值，但仍然需要事先對變量間的協整關系進行檢驗。