一.問題
椅子四條腿的椅腳連線呈長方形能在不平的地面上放穩嗎？
二.問題分析
經過分析，可以用變量表示椅子的位置，用函數表示椅子四腳與地面的距離，進而用數學語言把模型假設和椅腳同時着地表達出來.
三模型假設
（1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處視為一點，四腳的連線呈長方形．
（2）地面高度是連續變化的，沿周圍任意方向都不會出現間斷 (高度突變)，即地面是連續曲面．這個假設相當於給出了椅子能放穩的必要條件．
（3）椅子在任何位置至少有三只腳同時着地．為保證這一點，要求對於椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的．因為在地面上與椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當的范圍內，如果出現深溝或凸峰(即使是連續變化的)，此時三只腳是無法同時着地的．
四、模型建立
綜上可知，解決問題的關鍵在於選擇合適的變量，把椅子四只腳同時着地表示出來．
首先，引入合適的變量表示椅子位置的平移或旋轉變換．其實平移椅子后問題的參數沒有發生本質變化，所以將椅子就地旋轉，找到椅子能放穩的條件．
注意到椅腳連線呈長方形，是中心對稱圖形，繞它的對稱中心旋轉180度后，椅子仍在原地．把長方形繞它的對稱中心O旋轉，這可以表示椅子位置的改變。於是，旋轉角度θ這一變量就表示了椅子的位置．建立直角坐標系來解決問題．
如下圖所示，設椅腳連線為長方形ABCD，以對角線AC所在的直線為x軸，對稱中心O為原點，建立平面直角坐標系．椅子繞O點沿逆時針方向旋轉角度θ后，長方形ABCD轉至A’B’C’D’的位置，這樣就可以用旋轉角θ（0≤θ≤π）表示出椅子繞點O旋轉θ后的位置．
其次，把椅腳是否着地用數學形式表示出來．
我們知道，當椅腳與地面的豎直距離為零時，椅腳就着地了，而當這個距離大於零時，椅腳不着地．由於椅子在不同的位置是θ的函數，因此，椅腳與地面的豎直距離也是θ的函數．
因為椅子四只腳與地面的豎直距離有四個θ相關的函數．而由假設(3)可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時着地，即這四個函數函數值對於任意角度θ至少有三個同時為0．因此，只需引入兩個距離函數即可．考慮到長方形ABCD是中心對稱圖形，繞其對稱中心O沿逆時針方向旋轉180°后，長方形位置不變，但A,C和B,D對換了．
因此，記 A、B兩腳與地面豎直距離之和為f（θ），C、D兩腳與地面豎直距離之和為g（θ），其中θ∈[0，π]，從而將原問題數學化。
數學模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非負連續函數，對∀θ，f（θ）•g(θ)＝0，證明：∃θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。
五、模型求解
①若f（0）＝g（0）＝0，那么結論成立。
②若f（0）與g（0）不同時為零，不妨設f（0）＞0，g（0）＝0。將長方形ABCD繞點O逆時針旋轉角度π后，A，B與C，D互換，但長方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.∴f（0）＞0，g（0）＝0 → g（π）＞0，f（π）＝0。
令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的連續性知h(θ)也是連續函數。
又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，
根據連續函數介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0） ；
又因為f（θ0）•g（θ0）＝0，
所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。即四只腳同時着地，穩定。