1. Rosenbrock 函數
在數學最優化中，Rosenbrock 函數是一個用來測試最優化算法性能的非凸函數，由Howard Harry Rosenbrock 在 1960 年提出 。也稱為 Rosenbrock 山谷或 Rosenbrock 香蕉函數，也簡稱為香蕉函數。
Rosenbrock 函數的定義如下：
f(x)=100(y−x2)2+(1−x)2
Rosenbrock 函數的每個等高線大致呈拋物線形，其全域最小值也位在拋物線形的山谷中（香蕉型山谷）。很容易找到這個山谷，但由於山谷內的值變化不大，要找到全域的最小值相當困難。
這篇文章分別用 Python 和 Math.Net 求Rosenbrock函數的最小值
2. Python
Python 里面的 scipy.optimize 提供了豐富的優化算法，對於 Rosenbrock函數，它的求解代碼如下：
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def rosenbrock(x):
return (1 - x[0])**2 + 100 * ((x[1] - x[0] * x[0])**2)
x0 = np.array([1.2, 1.2])
best = minimize(rosenbrock, x0)
print(best)
minimize 有兩個參數，其中 rosenbrock 是要去求得最小值得 objective function；x0 是初始值，有時候初始值對結果影響很大。
上面代碼得輸出如下：
fun: 3.3496916936926394e-12
hess_inv: array([[0.49944334, 0.99865554],
[0.99865554, 2.00167338]])
jac: array([-4.95083209e-05, 2.79682766e-05])
message: 'Desired error not necessarily achieved due to precision loss.'
nfev: 159
nit: 10
njev: 49
status: 2
success: False
x: array([0.99999874, 0.9999976 ])
即 x(1) 和 y(1) 在接近 (1,1) 的情況下，Rosenbrock 函數有最小值，最小值接近 0。
也可以通過參數 'method='nelder-mead' 指定 minimize 使用 Nelder-Mead 算法，Nelder-Mead 算法是一種求多元函數局部最小值的算法，其優點是不需要函數可導並能較快收斂到局部最小值。使用 Nelder-Mead 算法的輸出結果如下：
final_simplex: (array([[0.999993 , 0.99998474],
[0.99995096, 0.99990431],
[1.00003347, 1.00007239]]), array([2.05633807e-10, 2.97215547e-09, 4.09754011e-09]))
fun: 2.0563380675204333e-10
message: 'Optimization terminated successfully.'
nfev: 82
nit: 43
status: 0
success: True
x: array([0.999993 , 0.99998474])
其它參數的說明請參考 官方文檔。
3. Math.Net
Math.Net 是一個開源項目，旨在構建和維護涵蓋基礎數學的工具箱，以滿足 .Net 開發人員的高級需求和日常需求。其中 Math.NET Numerics 旨在為科學、工程和日常使用中的數值計算提供方法和算法。涵蓋的主題包括特殊函數，線性代數，概率模型，隨機數，插值，積分變換等等。
要使用 Math.NET Numerics，首先安裝它的 Nuget 包：
Install-Package MathNet.Numerics
相比 Python，Math.Net 求解 Rosenbrock 函數的代碼復雜些。它先使用 ObjectiveFunction.Value 創建目標函數，然后使用 NelderMeadSimplex 的 FindMinimum 函數求解，代碼如下：
using MathNet.Numerics.LinearAlgebra;
using MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Double;
using MathNet.Numerics.Optimization;
using System;
double Value(Vector<double> input)
{
return Math.Pow((1 - input[0]), 2) + 100 * Math.Pow((input[1] - input[0] * input[0]), 2);
}
var obj = ObjectiveFunction.Value(Value);
var solver = new NelderMeadSimplex(convergenceTolerance: 0.0000000001, maximumIterations: 1000);
var initialGuess = new DenseVector(new[] { 1.2, 1.2 });
var result = solver.FindMinimum(obj, initialGuess);
Console.WriteLine("Value:\t" + result.FunctionInfoAtMinimum.Value);
Console.WriteLine("Point:\t" + result.MinimizingPoint[0] + " , " + result.MinimizingPoint[1]);
Console.WriteLine("Iterations:\t" + result.Iterations);
輸出如下：
Value: 5.352382362443507E-19
Point: 1.0000000007114838 , 1.0000000014059296
Iterations: 145
雖然 MathNet.Numerics.Optimization 命名空間下還提供了其它類，例如 BfgsBMinimizer 和 NewtonMinimizer，但它們還需要開發者提供梯度函數，這對我來說太復雜了，反而不如 NelderMeadSimplex 好用。
4. 最后
Math.Net 提供了很多多元函數局部最小值的算法，但比起 Python 還是簡化了太多，例如我還搞不清楚 Math.Net 中的優化算法怎么添加約束條件，這方面有機會再研究研究。